甘肃省天水市甘谷第一中学2019-2020学年高二上学期月考数学（文）试题

甘肃省天水市甘谷第一中学2019-2020学年高二上学期月考数学（文）试题

甘谷一中2019-2020学年第一学期高二第二次检测考试文科数学 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知全集，，，那么 等于( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 先解不等式得集合B，再根据补集与交集定义求结果.‎ ‎【详解】因为，所以，选C.‎ ‎【点睛】本题考查解不等式以及集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎2.命题“，”的否定是　　‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定即可.‎ ‎【详解】根据全称命题的否定是特称命题，‎ 命题的否定是：，．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查全称命题和特称命题的否定,属于基础题.‎ ‎3.下列导数运算正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断.‎ ‎【详解】∵根据函数的求导公式可得，∵，∴A错；∵，∴B错；∵，C错；D正确.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数.‎ ‎4.已知函数，则的值为（　　）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的导函数，代入即得答案.‎ ‎【详解】根据题意，，所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查导函的四则运算，比较基础.‎ ‎5.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 A. B. ‎ C. 或 D. 以上答案都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出直线与坐标轴的交点，分别讨论椭圆焦点在轴和 轴的情况，利用椭圆的简单性质求解即可．‎ ‎【详解】直线与坐标轴的交点为，‎ ‎（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为 则，所求椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为 ‎，所求椭圆的标准方程为.‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在轴还是轴上，要分情况讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于基础题．‎ ‎6.直线=与椭圆=的位置关系为（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可得直线=恒过定点，利用点在椭圆内部可判断直线与椭圆的位置关系为相交．‎ ‎【详解】由题意得直线=恒过定点，而点在椭圆=的内部，所以直线与椭圆相交.故选A．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的判断，在解题时，利用直线上某点与椭圆的位置来判断直线与椭圆的位置关系．‎ ‎7.函数的单调减区间是　　‎ A. B. ‎ C. ， D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】求解函数的导数可得，求0，由x>0，解得．所以x的取值范围为．‎ 故选A.‎ ‎8.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=‎ A. 2 B. 3‎ C. 4 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．‎ ‎【详解】因为抛物线焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．‎ ‎9.函数，的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 先对函数求导，确定函数在区间内的单调性，然后确定其最大值即可．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，易得当时，恒成立，所以在闭区间内单调递减，故当时，取最大值，即，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查闭区间内函数最值问题，首先需要明白在闭区间内最值≠极值，其次是当时不一定单调递减，反之，当单调递减时，一定有．‎ ‎10.函数有( )‎ A. 最大值为1 B. 最小值为1‎ C. 最大值为 D. 最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.‎ ‎【详解】解:，当时，，当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 有最大值为，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.‎ ‎11.设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有 所以，所以 又因为，所以，，所以 所以答案选C.‎ 考点：椭圆的简单几何性质.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数,利用已知不等式得单调性,再根据单调性可解得不等式的解集.‎ ‎【详解】因为是奇函数且,所以,‎ 令,则,‎ 因为时, ,所以,所以函数在上为减函数,‎ 所以当时, 化为 ,所以,‎ 当时,,所以等价于等价于,可化为 ,‎ 所以 ,所以,‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性解不等式,本题的解题关键是构造出一个函数,能利用已知不等式判断单调性,并能根据单调性解不等式.属于中档题/‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.设或；或，则是的________条件．‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先判断是的什么条件，根据原命题与逆否命题的关系即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，当成立时，可得是成立的，反之不成立，所以是必要不充分条件，‎ 从而是的充分不必要条件，故答案是：是的充分不必要条件.‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，以及命题的关系，其中解答中熟记充要条件的判定方法，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎14.已知在处的切线方程为，则实数的值为_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，通过已知可以求出切线方程的斜率，然后把 代入导函数中，求出实数的值.‎ ‎【详解】因为，所以，由题意有，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的导数的几何意义.‎ ‎15.设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果．‎ 详解】椭圆，‎ 可得，设，，‎ 可得，‎ 化简可得：，‎ ‎，故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎16.已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F 的直线与圆Q切于点P，则的最小值为________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：. 由抛物线的定义知：为点到准线的距离,易知,抛物线的顶点到准线的距离最短,.‎ 考点：向量；抛物线的性质.‎ 三、解答题 ‎17.已知，若q是p的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式化简命题,再根据真子集关系列式可解得答案.‎ ‎【详解】∵≤2 , ∴p : －2≤x≤10 ,‎ ‎ 又∵,所以 ,‎ 因为,所以,∴,‎ ‎ 又∵q是p的充分而不必要条件,所以 Ü,‎ 所以且 ,解得,又,‎ 所以.‎ ‎∴实数m的取值范围 ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式,一元二次不等式的解法,根据充分而不必要条件求参数,属于基础题.‎ ‎18.在中，角所对的边分别为，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知，的面积为1，求边．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理化简即得A的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理，转 化求解即可．‎ ‎【详解】（1）∵bcosA+asinB=0‎ ‎∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0‎ ‎∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0‎ ‎∵，∴tanA=﹣1又0＜A＜π ‎∴‎ ‎（2）∵，S△ABC=1，∴‎ 即：‎ 又 由余弦定理得：‎ 故：‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力．‎ ‎19.已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率．‎ 求椭圆的方程；‎ 求以点为中点弦所在的直线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）焦点为，求得,根据离心率，求得,可得,从而可得结果；（2）设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减，利用平方差公式分解因式；转化为斜率与中点坐标的关系式，可求出弦所在直线斜率，利用点斜式可得结果.‎ ‎【详解】设椭圆方程为，‎ 由已知，又，解得，所以，‎ 故所求方程为．‎ 由题知直线的斜率存在且不为，‎ 设直线与椭圆相交代入椭圆方程得 作差得，即 得所以直线方程的斜率．‎ 故直线方程是 即．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和利用点差法求中点弦问题,利用设而不求得到斜率，从而求出直线方程. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于 的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎20.已知数列满足（，），且，．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知条件可得，即可得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，利用错位相减法求其前项和.‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：∵当时，，‎ ‎∴． ‎ ‎∴，．‎ ‎∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列． ‎ ‎（Ⅱ）解： ‎ ‎∵， ①‎ ‎∴，② ‎ ‎①②：， ‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ‎，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导得到，代入切点横坐标得到斜率，再写出切线方程；‎ ‎（2）令，证明其导函数在上恒为正，即在上恒增，而要满足在上恒成立，从而得到的取值范围 ‎【详解】（1），，‎ ‎（1），又（1），即切线的斜率，切点为，‎ 曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）令，，则，‎ 令，则．‎ 当时，，函数在上为增函数，故（1）；‎ 从而，当时，（1）．‎ 即函数在上为增函数，故（1）．‎ 因此，在上恒成立，必须满足．‎ 实数的取值范围为，．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题.‎ ‎22.已知抛物线与直线相交于、两点，点为坐标原点 .‎ ‎（1）当k=1时,求的值；‎ ‎（2）若的面积等于，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1） （2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；‎ ‎（2）直接代入三角形面积公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）设，由题意可知：k=1，∴，‎ 联立y2＝x得：y2-y﹣1＝0显然：△＞0，‎ ‎∴，‎ ‎∴（y12）（y22）+y1y2＝（﹣1）2-1＝0，‎ ‎（2）联立直线 与y2＝x得ky2-y﹣k＝0显然：△＞0，‎ ‎∴，‎ ‎∵S△OAB1×|y1﹣y2|，‎ ‎ 解得：k＝±，‎ ‎∴直线l的方程为：2x+3y+2＝0或2x﹣3y+2＝0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．‎