陕西省延安市第一中学2019-2020学年高二下学期线上摸底考试数学（理）试题

陕西省延安市第一中学2019-2020学年高二下学期线上摸底考试数学（理）试题

‎2019-2020学年度第二学期摸底考试 高二年级(理科)数学试题 ‎ 一､单选题(每小题5分，共60分)‎ ‎1.若复数满足，则=（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解出复数，求得，然后计算其模长即可.‎ ‎【详解】解：因为，所以 所以 所以 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的综合运算，复数的模长，属于基础题.‎ ‎2.复数（其中为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法法则将复数化为一般形式，进而可求得复数的共轭复数，由此可得出复数的共轭复数在复平面对应的点所在的象限.‎ ‎【详解】，则，‎ 因此，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，考查了复数的除法法则和共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）‎ A. 假设、、都是偶数 B. 假设、、都不是偶数 C. 假设、、至多有一个偶数 D. 假设、、至多有两个偶数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，‎ 所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设都不是偶数”，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4.下列散点图中,变量x,y不具有相关关系的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相关关系的概念，对四个选项图像进行判断，找出不具有相关关系的选项.‎ ‎【详解】由变量相关关系定义，如果散点大部分分布在一条曲线附近就说两变量具有相关关系，选项D的散点没有这一特征，故不具有相关关系的是D选项.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查相关关系的概念，考查散点图等知识，属于基础题.‎ ‎5.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于（　　）‎ A. B. C. 10 D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由a1，a3，a4成等比数列，可得=a‎1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．‎ ‎【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴=a‎1a4，‎ ‎∴=a1•（a1+3×2），‎ 化为‎2a1=-16，‎ 解得a1=-8．‎ ‎∴则S9=-8×9+ ×2=0，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎6.甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃．‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设其中一个人说了谎，针对其他回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．‎ ‎【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， ‎ 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃；‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．‎ ‎7.若数列是等差数列，则数列也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为　　‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．‎ ‎【详解】解：数列是等差数列，则，‎ 数列也为等差数列 正项数列是等比数列，设首项为，公比为，‎ 则 是等比数列 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．‎ ‎8.下列说法错误的是　　‎ A. 回归直线过样本点中心 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1‎ C. 在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位 D. 对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：A. 两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心 B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；‎ C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位 D.正确.‎ 详解：A. 两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心；‎ B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；‎ C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位 D.错误，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大 故选：D.‎ 点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题．‎ ‎9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，P到l2‎ 的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2．‎ ‎10.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．‎ ‎【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．‎ ‎【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．‎ ‎11.的展开式中常数项为（ ）‎ A. B. ‎160 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为展开式中的通项公式可得，令所以展开式中的常数项是，应选答案A．‎ ‎12.用数学归纳法证明不等式是正整数，，从到变化时，左边增加的项数是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和时不等式左边的形式可确定增加的项数.‎ ‎【详解】当时，不等式左边为：；‎ 当时，不等式左边为：；‎ 左边增加的项数为：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查数学归纳法的应用，关键是明确不等式左侧的变化特点，属于基础题.‎ 二､填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎13.若的展开式中的系数为20，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎(x+a)(1+2x)5的展开式中x3的系数为 ‎，‎ 即40+‎80a=20，‎ 解得.‎ ‎14.观察下列等式：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ 猜想：________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察等式右边的数的规律为，即可得解.‎ ‎【详解】观察可得，，，‎ 由以上规律可得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理，属于基础题.‎ ‎15.将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有__________种不同分法．（结果用数字作答）‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把5本书分成3组，1组3本，另两组各1本，再把这三组书分配给甲、乙、丙三人,即可求解.‎ ‎【详解】5本书分成3组，1组3本，另两组各1本，有分法，‎ 把3组书分给甲、乙、丙三人，共有种分法，‎ 根据乘法原理共有种不同的分法.‎ 故答案为:60‎ ‎【点睛】本题考查排列组合混合问题，解题依据是选组后排，属于基础题.‎ ‎16.已知，，且，则的最小值等于______．‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ 分析：构造基本不等式模型，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.‎ 详解：，‎ ‎，，，， ‎ ‎，当且仅当时取等号.‎ ‎.‎ ‎ 的最小值等于11.‎ 故答案为11.‎ 点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.‎ 三､解答题(共70分)‎ ‎17.已知数列满足，.‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.‎ ‎【答案】（1），，；（2），证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由与的关系，我们从依次代入整数值，即可求出，，；‎ ‎（2）由，，的值与的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．‎ ‎【详解】解：（1），．，，．‎ ‎（2）由，，的值，可猜想，‎ 证明：①当时，由得结论成立；‎ ‎②假设时结论成立，即．‎ 当时，．‎ 当时结论成立．‎ 由①②可知，对任意正整数都成立．‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳推理，数学归纳法，数列的通项等相关基础知识．考查运算化简能力、推理论证能力和化归思想，属于中档题．‎ ‎18.（1）设，，都是正数，求证：；‎ ‎（2）证明：求证.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用综合法，由基本不等式，即可作出证明，得到结论；‎ ‎（2）利用分析法，即可作差证明．‎ ‎【详解】（1）由题意，因为 ‎，‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ ‎（2）证明：要证，‎ 只需证明，‎ 即证明，‎ 也就是证明，‎ 上式显然成立，故原不等式成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中利用基本不等式和合理使用综合法与分析法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎19.从8名运动员中选4人参加4×‎100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（用数字结尾）  （1）甲、乙两人必须跑中间两棒；  （2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；  （3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒.‎ ‎【答案】（1）60; （2）480；（3）180.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）甲、乙两人必须跑中间两棒，甲和乙两个人本身有一个排列，余下的两个位置需要在6个人中选个排列 ；（2）甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，需要从甲和乙两个人中选出一个有种结果，需要在第一和第四棒中选一棒，有种结果，另外6个人要选三个在三个位置排列；（3）首先甲和乙两个人在相邻的位置本身有种结果，其余6名同学选两人三个元素在三个位置排列共有种结果，根据计数原理得到结果．‎ ‎【详解】（1）甲、乙两人必须跑中间两棒，甲和乙两个人本身有一个排列，  余下的两个位置需要在6个人中选2个排列  根据分步计数原理知道共有； （2）甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，  需要从甲和乙两个人中选出一个有种结果，  需要在第一和第四棒中选一棒，有种结果，  ‎ 另外6个人要选三个在三个位置排列，根据计数原理共有； （3）∵甲、乙两名同学必须入选，而且必须跑相邻两棒  ∴首先甲和乙两个人在相邻的位置本身有种结果，  其余6名同学选两人三个元素在三个位置排列共有种结果，  根据分步计数原理得到共有.‎ ‎【点睛】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．‎ ‎20.为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：‎ 未发病 发病 总计 未注射疫苗 ‎20‎ 注射疫苗 ‎30‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为.‎ ‎（1）求列联表中的数据，，，的值；‎ ‎（2）能够有多大把握认为疫苗有效？‎ ‎(参考公式，)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），，，；（2）至少有的把握认为疫苗有效.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由“注射疫苗”动物的概率为，可得，求得值，进而求得与，的值；‎ ‎（2）由列联表求得的值，对应附表，即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件，由已知得，‎ 所以，，，.‎ ‎（2）.‎ 所以至少有的把握认为疫苗有效.‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立性检验，以及概率的综合应用，其中解答中认真审题，准确求解相应的概率和利用公式求处的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21.已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：‎ ‎(1)展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎(2)展开式中系数最大的项．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 试题分析：‎ 解题思路：（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出值，利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用进行求解.‎ 规律总结：解决二项式定理问题，要区分二项式系数与各项系数，如的二项式系数为,系数为405.‎ ‎【详解】‎ 试题解析：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.‎ 又展开式中二项式系数和为2n，‎ ‎∴22n－2n＝992，n＝5‎ ‎(1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝()3(3x2)2＝90x6，T4＝()2(3x2)3＝270‎ ‎(2)设展开式中第r＋1项系数最大，‎ 则Tr＋1＝()5－r(3x2)r＝3r，‎ ‎∴≤r≤，∴r＝4，‎ 即展开式中第5项系数最大，T5＝()(3x2)4＝405.‎ 考点：二项式定理.‎ ‎22.用这六个数字，完成下面两个小题．‎ ‎（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；‎ ‎（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当末位数字是时，百位数字有个选择，共有（个）；‎ 当末位数字是，首位数字是时，共有个；‎ 当末位数字是时，首位数字是或或时，共有（个）；‎ 故共有（个）．‎ ‎（2）中有一个取时，有条；都不取时，有（条）；‎ 与重复；，与重复．‎ 故共有（条）．‎ 考点：排列的应用，分类计数原理．‎ ‎ ‎