2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题（Word版）
兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末考试试题
数 学（文）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数，则 ( )
A． B． C． D．
2．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
B．能被3整除的整数，一定能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
3．抛物线x2＝16y的准线方程是( )
A．x＝ B．x＝－ C．y＝4 D．y＝－4
4．若双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
5．“1
0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A． B． C． D．
11．设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是( )
A． B． C． D．
12．已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A、B两点，为抛物线的焦点， ，则＝（ ）
A． B． C ． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数满足，则复数的虚部为_______.
14.已知命题p：x > 0，总有(x＋1)>1.则为 .
15.已知A是双曲线C:的右顶点，过左焦点F与y
轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围 .
16.已知椭圆的离心率e＝，A、B是椭圆上两点，N(3，1)是线段AB的中点．则直线AB的方程为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
已知为实数，命题：点M（1，1）在圆的内部；命题 ：都有．若“∧”为假命题，且“∨”为真命题，求的取值范围．
18． （本小题12分）
设A、B是抛物线y2＝8x上的两点，A与B的纵坐标之和为8．
（1）求直线AB的斜率；
（2）若直线AB过抛物线的焦点F，求．
19． （本小题12分）
已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，渐近线方程为y=±x，且双曲线过点P(4，－)．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若点M(x1，y1)在双曲线上，求·的范围．
20． （本小题12分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1(－，0)，点M(，)在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P(1，0)的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB(O是坐标原点)的面积
S＝，求直线AB的方程．
21．（本小题12分）
已知抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点为F，抛物线上的点P到y轴的距离等于．
(1) 求p的值；
(2) 是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与抛物线C有两个交点A、B的任一直线，都有·＜0? 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．（本小题12分）
已知椭圆的离心率e＝，右焦点为F，过点B（0，－b）和点F的直线与原点的距离为1．
（1）求此椭圆的方程；
（2）过该椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P、Q．若，则实数 λ 的取值范围．
兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末试题答案
数 学（文）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
D
B
C
A
C
D
A
C
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．-1 14．使得 15．(1，2) 16.x＋y－4＝0
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
已知为实数，命题：点M（1，1）在圆的内部；命题 ：都有．若“∧”为假命题，且“∨”为真命题，求的取值范围．
解：由题意得，当真时，，解得，
当真时，则，解得．
由题意得，与一真一假，从而
当真假时有 无解；
当假真时有解得．
∴实数的取值范围是． ………………10分
18．（本小题12分）
设A、B是抛物线y2＝8x上的两点，A与B的纵坐标之和为8．
（1）求直线AB的斜率；
（2）若直线AB过抛物线的焦点F，求．
解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2). 又y1＋y2＝8，
则k＝＝1，直线AB的斜率为1． ………………6分
（2）由题可知F(2，0)，则直线AB的方程为y＝x－2，
代入y2＝8x消去x并整理，得x2－12x+4＝0，
由弦长公式得|AB|＝16． ………………12分
19．（本小题12分）
已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，渐近线方程为y=±x，且双曲线过点P(4，－)．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若点M(x1，y1)在双曲线上，求·的范围．
解：(1)设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6．
∴双曲线的方程为x2－y2＝6． ………………6分
(2) 由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
＝(－2－x1，－y1)，＝(2－x1，－y1)，
∴·＝x12－12＋y，
∵点M(x1，y1)在双曲线上，∴x12＝6＋y，
∴·＝2y－6 ， ∵y12 ， ∴·6． ………………12分
20．（本小题12分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1(－，0)，点M (，)在椭圆C上．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 过点P(1，0)的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB(O是坐标原点)的面积
S＝，求直线AB的方程．
解： (1)设椭圆C的方程为＋=1(a>b>0)，
因为椭圆的左焦点为F1(－，0)，设椭圆的右焦点为F2(，0),由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，从而b=1，
所以椭圆C的方程为 ＋y2＝1． ………………5分
(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题可设直线AB的方程为x＝my＋1．
由消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，
所以则S＝|OP||y1－y2|＝．
由S＝，解得m2＝1，即m＝±1．
故直线AB的方程为x＝±y＋1，即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求． ……………12分
21．（本小题12分）
已知抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点为F，抛物线上的点P到y轴的距离等于．
(1) 求p的值；
(2)是否存在正实数m，对于过点M(m，0)且与抛物线C有两个交点A、B的任一直线，都有
·＜0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)由定义抛物线可知p=2． ………………3分
(2)设过点M(m，0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＜0⇔
(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0．②
又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1＜0
即＋y1y2－＋1＜0．③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2．④
对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，
即3－2＜m＜3＋2．
由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)． ………………12分
22．（本小题12分）
已知椭圆的离心率e＝，右焦点为F，过点B（0，－b）和点F的直线BF与原点的距离为1．
（1）求此椭圆的方程；
（2）过该椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q．若，求实数λ的取值范围．
解：(1)
∴椭圆的方程为． ………5分
(1) 由题可设直线l：y＝k(x＋2)，
由消去x得(k2＋1)y2－4ky＝0，所以yQ＝，同理yP＝．
又λ＝．
则λ＝．
因为k2>0，所以0<λ<1． ………………12分
