2015年高考数学（理科）真题分类汇编I单元　统计

2015年高考数学（理科）真题分类汇编I单元　统计

‎ 数 学 I单元　统计 ‎ I1　随机抽样 ‎17．I1、I2[2015·广东卷] 某工厂36名工人的年龄数据如下表．‎ 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 ‎1‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎36‎ ‎19‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎34‎ ‎2‎ ‎44‎ ‎11‎ ‎31‎ ‎20‎ ‎43‎ ‎29‎ ‎39‎ ‎3‎ ‎40‎ ‎12‎ ‎38‎ ‎21‎ ‎41‎ ‎30‎ ‎43‎ ‎4‎ ‎41‎ ‎13‎ ‎39‎ ‎22‎ ‎37‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎5‎ ‎33‎ ‎14‎ ‎43‎ ‎23‎ ‎34‎ ‎32‎ ‎42‎ ‎6‎ ‎40‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎24‎ ‎42‎ ‎33‎ ‎53‎ ‎7‎ ‎45‎ ‎16‎ ‎39‎ ‎25‎ ‎37‎ ‎34‎ ‎37‎ ‎8‎ ‎42‎ ‎17‎ ‎38‎ ‎26‎ ‎44‎ ‎35‎ ‎49‎ ‎9‎ ‎43‎ ‎18‎ ‎36‎ ‎27‎ ‎42‎ ‎36‎ ‎39‎ ‎(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据．‎ ‎(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2.‎ ‎(3)36名工人中年龄在x－s与x＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?‎ ‎2．I1[2015·湖北卷] 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 ‎2．B　[解析] 设这批米内夹谷约为x石．由分层抽样的特点，得＝，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石．故选B.‎ ‎12．I1、I2[2015·湖南卷] 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图14所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．‎ 图14‎ ‎12．4　[解析] 将运动员按成绩由好到差分为7组，则第一组(130，130，133，134，135)，第二组(136，136，138，138，138)，第三组(139，141，141，141，142)，第四组(142，142，143，143，144)，第五组(144，145，145，145，146)，第六组(146，147，148，150，151)，第七组(152，152，153，153，153)，故成绩在[139，151]内恰有4组，故有4人．‎ I2　用样本估计总体 ‎6．I2[2015·安徽卷] 若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2‎ ‎－1，…，2x10－1的标准差为(　　)‎ A．8 B．15‎ C．16 D．32‎ ‎6．C　[解析] 设yi＝2xi－1(i＝1，2，…，10)，则s＝4s＝4×64，因此sy＝＝16.‎ ‎17．I1、I2[2015·广东卷] 某工厂36名工人的年龄数据如下表．‎ 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 ‎1‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎36‎ ‎19‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎34‎ ‎2‎ ‎44‎ ‎11‎ ‎31‎ ‎20‎ ‎43‎ ‎29‎ ‎39‎ ‎3‎ ‎40‎ ‎12‎ ‎38‎ ‎21‎ ‎41‎ ‎30‎ ‎43‎ ‎4‎ ‎41‎ ‎13‎ ‎39‎ ‎22‎ ‎37‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎5‎ ‎33‎ ‎14‎ ‎43‎ ‎23‎ ‎34‎ ‎32‎ ‎42‎ ‎6‎ ‎40‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎24‎ ‎42‎ ‎33‎ ‎53‎ ‎7‎ ‎45‎ ‎16‎ ‎39‎ ‎25‎ ‎37‎ ‎34‎ ‎37‎ ‎8‎ ‎42‎ ‎17‎ ‎38‎ ‎26‎ ‎44‎ ‎35‎ ‎49‎ ‎9‎ ‎43‎ ‎18‎ ‎36‎ ‎27‎ ‎42‎ ‎36‎ ‎39‎ ‎(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据．‎ ‎(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2.‎ ‎(3)36名工人中年龄在x－s与x＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?‎ ‎2．I2[2015·江苏卷] 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．‎ ‎2．6　[解析] x＝×(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.‎ ‎18．I2[2015·全国卷Ⅱ] 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ A地区：62　73　81　92　95　85　74　64　53　76　78　86　95　66　97　78　88　82　76　89‎ B地区：73　83　62　51　91　46　53　73　64　82　93　48　65　81　74　56　54　76　65　79‎ ‎(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；‎ 图16‎ ‎(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．‎ 假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．‎ ‎18．解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：‎ 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．‎ ‎(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；‎ CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；‎ CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；‎ CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”．‎ 则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2，‎ 所以P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)‎ ‎＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)‎ ‎＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．‎ 由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，，故P(CA1)＝，P(CA2)＝，‎ P(CB1)＝，P(CB2)＝，所以P(C)＝×＋×＝0.48.‎ ‎16．K2，I2[2015·北京卷] A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：‎ A组：10，11，12，13，14，15，16；‎ B组：12，13，15，16，17，14，a.‎ 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．‎ ‎(1)求甲的康复时间不少于14天的概率．‎ ‎(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．‎ ‎(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)‎ ‎16．解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，‎ 事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1，2，…，7.‎ 由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1，2，…，7.‎ ‎(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是 P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.‎ ‎(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，‎ C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.‎ 因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)‎ ‎＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.‎ ‎(3)a＝11或a＝18.‎ I3 正态分布 ‎4．I3[2015·湖北卷] 设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图11所示．下列结论中正确的是(　　)‎ 图11‎ A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)‎ B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)‎ C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)‎ D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)‎ ‎4．C　[解析] 对于A项，由X，Y的正态分布密度曲线可知，μ1<μ2，所以P(Y≥μ1)>0.5＝P(Y≥μ2)，故A项错误；‎ 对于B项，因为X的正态分布密度曲线比Y的正态分布密度曲线更“瘦高”，所以σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B项错误．‎ 对于C项，在y轴右侧作与x轴垂直的一系列平行直线，可知在任何情况下，X的正态分布密度曲线与直线和x轴围成的图形面积都大于Y的正态分布密度曲线与直线和x轴围成的图形面积，即对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，故C项正确．‎ 对于D项，由图像可知，在y轴的右侧某处，显然满足P(X≥t)0.5＝P(Y≥μ2)，故A项错误；‎ 对于B项，因为X的正态分布密度曲线比Y的正态分布密度曲线更“瘦高”，所以σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B项错误．‎ 对于C项，在y轴右侧作与x轴垂直的一系列平行直线，可知在任何情况下，X的正态分布密度曲线与直线和x轴围成的图形面积都大于Y的正态分布密度曲线与直线和x 轴围成的图形面积，即对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，故C项正确．‎ 对于D项，由图像可知，在y轴的右侧某处，显然满足P(X≥t)

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