2017-2018学年江苏省宿迁市高二上学期期末考试数学试题 解析版

2017-2018学年江苏省宿迁市高二上学期期末考试数学试题 解析版

宿迁市2017—2018学年度高二第一学期期末数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1. 写出命题“”的否定：______．‎ ‎【答案】‎ ‎...............‎ ‎2. 抛物线的准线方程是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填 ‎3. 直线和圆的公共点个数为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为 ，所以直线与圆相交，即公共点个数为2‎ ‎4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为______．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】执行循环为： ‎ 结束循环，输出 ‎ ‎5. 已知长方形中，，，为的中点，若在长方形内随机取一点，则的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】概率为几何概型，测度为面积，概率等于 ‎ ‎6. 根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果S为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】执行循环为 ‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎7. 已知一组数据，8，7，9，7，若这组数据的平均数为，则它们的方差为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为平均数为，所以 方差为 ‎ ‎8. 以为圆心且与圆外切的圆的标准方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，即标准方程为 ‎9. 若函数的图象在点处的切线方程为，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎10. 已知双曲线与有公共渐近线，且一个焦点为，则双曲线的标准方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设双曲线：,则 ‎ ‎11. 已知，则“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的______ 条件(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个)．‎ ‎【答案】必要不充分 ‎【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以 ‎ 因此“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎12. 函数在上的最大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 当时， ；当时，， 因此当时，‎ ‎13. 已知椭圆的左焦点为，下顶点为．若平行于且在轴上截距为 的直线与圆相切，则该椭圆的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 ‎ ‎14. 已知关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ‎ 令 ‎ 因此 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. 已知命题，命题点在圆的内部．‎ ‎ (1)若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎ (2)若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据二次不等式恒成立得,解得命题为真时的取值范围（2）根据点在圆内得命题为真时的取值范围,由“”为假命题，得为假命题，为假命题．根据补集得命题为假时的取值范围,最后根据交集得实数的取值范围．‎ 试题解析：（1）因为恒成立，‎ ‎ 则， ‎ ‎　　　解得，所以实数的取值范围是． ‎ ‎（2）因为“”为假命题，所以为假命题，为假命题． ‎ 当为真命题时，，解得，‎ 所以为假命题时 ‎ 由（1）知，为假命题时 ‎ 从而，解得 ‎ 所以实数的取值范围为 ‎16. 某市电力公司为了制定节电方案，需要了解居民用电情况．通过随机抽样，电力公司获得了50户居民的月平均用电量，分为六组制出频率分布表和频率分布直方图（如图所示）．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）为了解用电量较大的用户用电情况，在第5、6两组用分层抽样的方法选取5户 ． ‎ ‎①求第5、6两组各取多少户？‎ ‎②若再从这5户中随机选出2户进行入户了解用电情况，求这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率．‎ ‎【答案】(1) (2) ①3,2② ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据小长方形面积等于概率求得b，再根据频数等于总数与频率乘积得a（2）①根据分层抽样，由比例关系确定抽取户数②先根据枚举法确定总事件数，再从中确定满足条件事件数，最后根据古典概型概率公式求概率 试题解析：（1）频率分布直方图，知第5组的频率为，即 ‎ 又样本容量是50，所以． ‎ ‎（2）①因为第5、6两组的频数比为，‎ 所以在第5、6两组用分层抽样的方法选取的5户中，‎ 第5、6两组的频数分别为3和2． ‎ ‎②记“从这5户中随机选出2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内”为事件，‎ 第5组的3户记为，第6组的2户记为，‎ 从这5户中随机选出2户的可能结果为：，共计10个， ‎ 其中2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的结果为：‎ ‎，共计7个． ‎ 所以， ‎ 答：这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率为．‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎17. 如图，已知圆，点．‎ ‎ (1)求经过点且与圆相切的直线的方程；‎ ‎ (2)过点的直线与圆相交于两点，为线段的中点，求线段长度的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设直线方程点斜式，再根据圆心到直线距离等于半径求斜率；最后验证斜率不存在情况是否满足题意（2）先求点的轨迹：为圆，再根据点到圆上点距离关系确定最值 试题解析：（1）当过点直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件． ‎ 当切线的斜率存在时，设：，即，‎ 圆心到切线的距离等于半径3，‎ ‎，解得． ‎ 切线方程为，即 ‎ 故所求直线的方程为或． ‎ ‎（2）由题意可得，点的轨迹是以为直径的圆，记为圆． ‎ ‎ 则圆的方程为． ‎ 从而， ‎ 所以线段长度的最大值为，最小值为，‎ 所以线段长度的取值范围为．‎ ‎18. 某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是 的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．‎ ‎ (1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求函数的定义域；‎ ‎ (2)当为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？‎ ‎【答案】(1) (2) 切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是 ‎【解析】试题分析：（1）先用x表示长宽高，再根据长方体体积公式列函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，最后根据单调性确定函数最值 试题解析：（1）因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为， ‎ 所以铁皮箱的体积 ．‎ 函数的定义域为． ‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 令，解得． ‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减． ‎ 所以函数在处取得极大值，这个极大值就是函数的最大值．‎ 又． ‎ 答：切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是．‎ ‎19. 已知椭圆的左焦点为,且过点．‎ ‎ (1)求椭圆的标准方程；‎ ‎ (2)已知分别为椭圆的左、右顶点,为直线上任意一点，直线分别交椭圆于不同的两点．求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．‎ ‎【答案】(1) (2) 直线恒过定点，且定点坐标为 ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义确定a，再根据c求b（2）设根据直线与椭圆方程联立方程组解得，N坐标，再根据两点式求MN直线方程，化成点斜式，求出定点 试题解析：(1)椭圆的一个焦点，则另一个焦点为, ‎ ‎ 由椭圆的定义知:，代入计算得． ‎ ‎ 又, 所以椭圆的标准方程为． ‎ ‎ (2)设，‎ ‎ 则直线，与联立，解得 ‎ ‎ 同理 ‎ ‎ 所以直线的斜率为= ‎ ‎ 所以直线 ‎ ‎ 所以直线恒过定点，且定点坐标为 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎20. 已知函数,其中为正实数．‎ ‎(1)若函数在处的切线斜率为2，求的值；‎ ‎(2)求函数的单调区间；‎ ‎(3)若函数有两个极值点，求证：．‎ ‎【答案】(1)1(2) 单调减区间为,,单调减区间为．（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得，解得的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得，再化简，进而化简所证不等式为，最后利用导函数求函数单调性，进而确定最小值，证得结论 试题解析：(1)因为，所以， ‎ 则,所以的值为1． ‎ ‎ (2)，函数的定义域为，‎ ‎ 若,即,则,此时的单调减区间为; ‎ ‎ 若,即,则的两根为, ‎ ‎ 此时的单调减区间为,,‎ ‎ 单调减区间为． ‎ ‎ (3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．‎ ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 要证,只需证． ‎ ‎ 构造函数，则，‎ ‎ 在上单调递增,又,且在定义域上不间断,‎ 由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且． ‎ ‎ 则在上递减,上递增,所以的最小值为． ‎ 因为, ‎ ‎ 当时,,则,所以恒成立．‎ ‎ 所以,所以，得证．‎ ‎ ‎ ‎ ‎