山东省新泰市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

山东省新泰市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

新泰一中高一下学期期中考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1.复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 虚部-1，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎2.在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.‎ 详解：根据向量运算法则，可得 ‎ ，‎ 所以，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.‎ ‎3.某校共有学生3 000名,各年级男、女生人数如表所示,已知高一、高二年级共有男生1 120人,现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生,则应在高三年级抽取的学生人数为(　　)‎ 高一年级 高二年级 高三年级 女生 ‎456‎ ‎424‎ y 男生 ‎644‎ x z A. 16 B. ‎18 ‎C. 20 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意得,高一、高二学生总数是1120+(456+424)=2000,∴高三学生总数是3000-2000=1000.‎ 用分层抽样法在高三年级抽取的学生数为×60=20.‎ 故选C.‎ ‎4.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为(　　)‎ A. 0.4 ‎B. ‎0.6 ‎C. 0.8 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．‎ 考点：古典概型．‎ ‎5.(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.‎ 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 ‎6.如图，平行六面体中，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则、平行四边形法则、空间向量的数量积以及向量模的求法，属于基础题.‎ ‎7.在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，，分别为和的中点，当和所成角的余弦值为时，与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，以为原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由和所成角的余弦值为，求出．由此能求出与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】设，以为原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，，，，，，‎ 和所成角的余弦值为，‎ ‎，‎ 解得．，，，‎ 平面的法向量，‎ 与平面所成角的正弦值为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎8.已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.‎ ‎【详解】.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9.已知直线，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 直线的倾斜角是 B. 若直线则 C. 点到直线的距离是 D. 过与直线平行的直线方程是 ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于A．求得直线的斜率k即可知直线l的倾斜角，即可判断A的正误；对于B．求得直线的斜率k′，计算kk′是否为﹣1，即可判断B的正误；对于C．利用点到直线的距离公式，求得点到直线l的距离d，即可判断C的正误；对于D．利用直线的点斜式可求得过与直线l平行的直线方程，即可判断D的正误．‎ ‎【详解】对于A．直线的斜率k＝tanθ，故直线l的倾斜角是，故A错误；‎ 对于B．因为直线的斜率k′，kk′＝1≠﹣1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；‎ 对于C．点到直线l的距离d2，故C正确；‎ 对于D．过与直线l平行的直线方程是y﹣2（x﹣2），整理得：，故D正确．‎ 综上所述，正确的选项为CD．‎ 故选：CD．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判定，着重考查直线的方程的应用，涉及直线的倾斜角与斜率，直线的平行与垂直的应用，属于基础题．‎ ‎10.在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，‎ ‎，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）‎ A. 成绩在的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000‎ C. 考生竞赛成绩的平均分约为70 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图分别计算可得；‎ ‎【详解】解：由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；‎ 考生竞赛成绩的平均分约为，故C正确；‎ 因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，‎ 所以中位数为，故D错误．‎ 故选：ABC．‎ ‎【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算中位数、平均数，以及频率，属于基础题.‎ ‎11.如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：( )‎ A. ∥平面 B. 平面∥平面 C. 直线与直线所成角的大小为 D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD∥平面OMN，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ON∥PD，所以只需证明PD⊥PB，利用勾股定理证明即可.‎ ‎【详解】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠ PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又 ‎∥ON，所以，故ABD均正确.‎ ‎【点睛】解决平行关系基本问题的3个注意点 ‎(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．‎ ‎(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．‎ ‎(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．‎ ‎12.设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，则点是边的中点 B. 若，则点在边的延长线上 C. 若，则点是的重心 D. 若，且，则的面积是的面积的 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.‎ ‎【详解】A中：,即：‎ ‎,则点是边的中点 B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.‎ C. ‎ 设中点D,则,，由重心性质可知C成立.‎ D．且设 所以，可知三点共线，所以的面积是面积的 故选择ACD ‎【点睛】通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.如图，在中，，，D为BC边上的点，且，，则______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，且为的中点，，且易求得，，而代入即可得结果.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴，且为的中点，‎ ‎∴在直角三角形中可求得，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故答案为1.‎ ‎【点睛】本题为向量的数量积的运算，把向量适当转化是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎14.已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由直线，即，此时直线恒过点，‎ ‎ 则直线的斜率，直线的斜率，‎ ‎ 若直线与线段相交，则，即，‎ ‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎ 点睛：本题考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中把直线与线段有交点转化为直线间的斜率之间的关系是解答的关键，同时要熟记直线方程的各种形式和直线过定点的判定，此类问题解答中把直线与线段有交点转化为定点与线段端点斜率之间关系是常见的一种解题方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．‎ ‎15.在空间直角坐标系中，点为平面ABC外一点，其中若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量坐标运算，先求得，再根据法向量与垂直可确定法向量中的参数m.表示出，即可由法向量法求得点P到平面ABC的距离.‎ ‎【详解】在空间直角坐标系中，‎ 所以，‎ 而平面的一个法向量为，‎ 所以，即，‎ 解得，‎ 所以，‎ 点，则，‎ 则由点到平面距离公式可得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量中法向量的简单应用，点到平面距离公式的向量求法，属于基础题.‎ ‎16.已知空间四边形中，，，，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 如图：由于是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R=，．填．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知直线恒过定点.‎ ‎（Ⅰ）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出定点的坐标，设要求直线的方程为，将点的坐标代入方程可求得的值，即可写出直线的方程 ‎（Ⅱ）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式即可得到答案 ‎【详解】直线可化为，‎ 由可得，所以点A的坐标为. ‎ ‎（Ⅰ）设直线的方程为，‎ 将点A代入方程可得，所以直线的方程为,‎ ‎（Ⅱ）①当直线斜率不存在时，因为直线过点A，所以直线方程为，‎ 符合原点到直线的距离等于3. ‎ ‎②当直线斜率不存在时，设直线方程为，即 因为原点到直线的距离为3，所以，解得 所以直线的方程为 综上所以直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的垂直关系的应用及直线方程的求法，点到直线的距离公式，主要分斜率存在和不存在两种情况讨论，属于基础题．‎ ‎18.如图，在中，已知为线段上的一点，.‎ ‎（1）若，求，的值；‎ ‎（2）若，，，且与的夹角为时，求的值.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用向量的线性运算化简得,即x=,y=.（2）先求出 再计算·()=.‎ ‎【详解】(1)∵,‎ ‎∴,即2,‎ ‎∴,即x=,y=.‎ ‎(2)∵=3,∴=3+3,即4+3,‎ ‎∴.∴x=,y=.‎ ‎·()‎ ‎=‎ ‎=×22-×42+×4×2×=-9.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于平面内的不共线的向量，则平面的任意一个向量总可以表示成，其中是基底.‎ ‎19.如图，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）（–5，–4） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，根据题意写出关于的方程组，得到点坐标；（2）由两点间距离公式求出，再由两点得到直线的方程，利用点到直线的距离公式，求出点到的距离，由三角形面积公式得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，设点，‎ 根据AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，‎ 根据中点公式，可得，解得，‎ 所以点的坐标是．‎ ‎（2）因为， ‎ 得．‎ ‎，‎ 所以直线的方程为，即，‎ 故点到直线的距离，‎ 所以的面积．‎ ‎【点睛】本题考查中点坐标公式，两点间距离公式，点到直线的距离公式，属于简单题.‎ ‎20.如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求异面直线和所成角；‎ ‎（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面平面，再证明平面；（2）分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线和所成角；（3）设，，利用向量法得到，解方程即得t的值和的长.‎ ‎【详解】（1）∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴，，‎ 如图，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系,‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴异面直线和所成角为.‎ ‎（3）设为平面的法向量，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，即，‎ 设，，‎ ‎∴，‎ 设与平面所成角为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（舍），，‎ ‎∴的长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的证明，考查异面直线所成的角和线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎21.某校两个班级100名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区如下表：‎ 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 ‎（1）求频率表分布直方图中的值；‎ ‎（2）根据频率表分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；‎ ‎（3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.‎ ‎【答案】(1) a=0.005;(2) 74.5;(3)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（１）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；‎ ‎（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；‎ ‎（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解．‎ 试题解析：‎ 解：（1）由题意得‎10a+001×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005． ‎ ‎（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5‎ ‎（3）由直方图，得：‎ 第3组人数为0.3×100=30，‎ 第4组人数为0.2×100=20人，‎ 第5组人数为0.1×100=10人．‎ 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为：‎ 第3组：人，‎ 第4组：人，‎ 第5组：=1人．‎ 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． ‎ 设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：‎ ‎（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），‎ 其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为.‎ 考点：①频率分布直方；②平均数的求法；③古典概率．‎ ‎22.如图所示的几何体中，平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，点M，N分别在棱FD，ED上.‎ ‎（1）若平面MAC，设，求的值；‎ ‎（2）若，平面AEN平面EDC所成的锐二面角为，求BE的长.‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，，设，可得∥平面，进而可得∥，由中位线的性质可得答案；‎ ‎（2）如图建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式列方程求解.‎ ‎【详解】（1）解：连接，，设，‎ 因为四边形为菱形，所以为与的中点，‎ 连接，因为∥平面，且平面平面，‎ 所以∥，‎ 因为为的中点，所以为的中点，‎ 即；‎ ‎（2），又四边形ABCD为菱形，‎ 则四边形ABCD为正方形，‎ ‎，‎ 又因平面，可如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ 设，则， ‎ 因为，所以， ‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，‎ 又，‎ 由 即，取，‎ 设平面的法向量为，‎ 又 由 得，取，‎ 因为平面与平面 所成的锐二面角为，‎ 所以，‎ 解得，即的长为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行性质，考查向量法求二面角，考查学生的计算能力与推理能力，是中档题.‎ ‎ ‎