高中数学（人教A版）必修5能力强化提升及单元测试：2-4第1课时

高中数学（人教A版）必修5能力强化提升及单元测试：2-4第1课时

‎2.4　等比数列 第1课时　等比数列的概念及通项公式 双基达标　(限时20分钟) ‎1．设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是 (　　)．‎ A．1 B. C. D. 解析　a4＝a3q＝a3·＝×＝＝30＝1.‎ 答案　A ‎2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于 (　　)．‎ A．64 B．81 C．128 D．243‎ 解析　由，得 ‎∴a7＝a1q6＝64，选A.‎ 答案　A ‎3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 (　　)．‎ A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9‎ C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9‎ 解析　∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，‎ ‎∴b＝－3，且a，c必同号．‎ ‎∴ac＝b2＝9.‎ 答案　B ‎4．在等比数列{an}中，若2a4＝a6－a5，则公比q是________．‎ 解析　法一　由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，‎ ‎∴q＝－1或q＝2.‎ 法二　∵a5＝a4q，a6＝a4q2，‎ ‎∴由已知条件得2a4＝a4q2－a4q，‎ 即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.‎ 答案　－1或2‎ ‎5．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.‎ 解析　由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，‎ 得a＝5，则a1＝4，q＝＝，an＝4·n－1.‎ 答案　4·n－1‎ ‎6．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．‎ ‎(1)求a1及an；‎ ‎(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．‎ 解　(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，‎ an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．‎ a1＝k＋1也满足上式，‎ 所以an＝2kn－k＋1，n∈N*.‎ ‎(2)由am，a2m，a4m成等比数列，‎ 得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，‎ 将上式化简，得2km(k－1)＝0，‎ 因为m∈N*，所以m≠0，故k＝0或k＝1.‎ 综合提高　(限时25分钟) ‎7．下列数列为等比数列的是 (　　)．‎ A．2,22,222，… 　　 B.，，，…‎ C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… 　　 D．0,0,0，…‎ 解析　A项中，≠，∴A不是；B项是首项为，公比为的等比数列；C项中，当s＝1时，数列为0,0,0，…，∴不是；D项显然不是．‎ 答案　B ‎8．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则，，(　　)．‎ A．是等差数列但不是等比数列 B．是等比数列但不是等差数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列 解析　可分别求得＝，＝1，×＝1，由等比中项易得，，三者构成等比数列．‎ 答案　B ‎9．数列{an}中，a1＝1且an＋1＝3an＋2，则an＝________.‎ 解析　由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)，‎ 令an＋1＝bn则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＝2，‎ ‎∴{bn}是以2为首项，以3为公比的等比数列，‎ ‎∴bn＝2·3n－1，∴an＝bn－1＝2·3n－1－1.‎ 答案　2·3n－1－1‎ ‎10．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任何m，n∈N*，都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)，给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26，其中正确的个数是________个．‎ 解析　∵f(1,1)＝1且f(m＋1,1)＝2f(m,1)，‎ ‎∴数列{f(m,1)}构成以1为首项以2为公比的等比数列，‎ ‎∴f(5,1)＝1·24＝16，∴(2)正确；‎ 当m＝1时，条件①变为f(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，‎ 又f(1,1)＝1，‎ ‎∴数列{f(1，n)}是以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ ‎∴f(1,5)＝f(1,1)＋4×2＝9.故(1)正确．‎ ‎∵f(5,1)＝16，f(5，n＋1)＝f(5，n)＋2，‎ ‎∴{f(5，n)}也成等差数列．‎ ‎∴f(5,6)＝16＋(6－1)·2＝26，‎ ‎∴(3)正确，故有3个正确．‎ 答案　3‎ ‎11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.‎ ‎(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明　法一　因为an＋1＝2an＋1，‎ 所以an＋1＋1＝2(an＋1)．‎ 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.‎ 所以＝2(n∈N*)．‎ 所以数列{an＋1}是等比数列．‎ 法二　∵＝＝＝2(n∈N*)，‎ ‎∴数列{an＋1}是等比数列．‎ ‎(2)解　由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．‎ 所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.‎ ‎12．(创新拓展)已知数列{an}的前n项之和为Sn，Sn与an满足关系Sn＝2－an(n∈N*)．‎ ‎(1)求an＋1与an的关系式，并求a1的值；‎ ‎(2)证明：数列是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(3)是否存在常数p使数列{an＋1－pan}为等比数列？若存在，请求出常数p的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ (1)解　∵Sn＝2－an①‎ ‎∴Sn＋1＝2－an＋1②‎ ‎②－①得an＋1＝an－an＋1，‎ 即an＋1＝an，‎ 即an＋1＝an.而a1＝2－a1，∴a1＝.‎ ‎(2)证明　由(1)知＝·，而＝，‎ ‎∴是以为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎∴＝·n－1＝n，∴an＝.‎ ‎(3)解　∵an＋1－pan＝－＝.‎ 由等比数列的通项公式知若{an＋1－pan}是等比数列，‎ 则1－2p＝0，∴p＝.‎