新课标版高考数学复习题库考点10 解三角形应用举例

新课标版高考数学复习题库考点10 解三角形应用举例

‎ ‎ 考点10 解三角形应用举例 ‎ ‎1.（2010·陕西高考理科·Ｔ１7）如图，A，B是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°‎ 的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为‎30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ ‎【命题立意】本题考查了三角恒等变换、正、余弦定理，考查了解决三角形 问题的能力，属于中档题.‎ ‎2.（2010·陕西高考文科·Ｔ１7）在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，‎ AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.‎ ‎【命题立意】本题考查了已知三角函数值求角、正弦定理、余弦定理，考查了解三角形问题的能力，‎ 属于中档题.‎ ‎【思路点拨】解三角形△ADC cosADCADB解三角形△ABD AB ‎【规范解答】在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,‎ ‎ 由余弦定理得cos=,‎ ‎ ADC=120°, ADB=60°, ‎ ‎ 在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°，‎ ‎ 由正弦定理得,‎ ‎ AB=.‎ ‎3.（2010·江苏高考·Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=‎4 m，仰角∠ABE=，∠ADE=.‎ (1) 该小组已测得一组，的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值.‎ (2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为‎125m，试问d为多少时，-最大？‎ ‎【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用.‎ ‎【思路点拨】（1）利用，h分别表示AB，AD，BD，然后利用AD-AB=DB求解.‎ ‎（2）利用基本不等式求解.‎ ‎【规范解答】（1），同理：，.‎ ‎ 由AD-AB=DB，得，解得：‎ 因此，算出的电视塔的高度H是‎124 m.‎ ‎（2）由题设知，得，‎ ‎（当且仅当时，取等号）‎ 故当时，最大.‎ 因为，则，由的单调性可知：当时，-最大.‎ 故所求的是m.‎ ‎4.（2010·安徽高考理科·Ｔ16）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且.‎ ‎ (1)求角的值.‎ ‎(2)若，求（其中）.‎ ‎【命题立意】本题主要考查三角函数，向量的数量积，余弦定理等知识的综合应用，考查考生化简、运算、求解能力.‎ ‎【思路点拨】先对化简，求出角；再根据(2)的条件和余弦定理，构造方程组求解.‎ ‎【规范解答】（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ 由题意，所以，.‎ ‎，②，‎ 又，由①②解得.‎ ‎5.（2010·福建高考文科·Ｔ21）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.‎ ‎(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值.‎ ‎(Ⅲ)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【命题立意】本题考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想. ‎ ‎【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为s，利用余弦定理把s表示为关于t的函数，利用二次函数的性质求解s的最小值，并求解此时的速度；第二步利用余弦定理解三角形表示出v与t的关系式，并利用函数知识求解速度的范围；第三步把问题转化为一元二次方程根的分布问题. ‎ ‎【规范解答】‎ ‎(Ⅰ)设相遇时小艇航行距离为海里，则 ‎ ‎(Ⅱ)若轮船与小艇在处相遇，由题意可得： 化简得，由于，即，所以当时，取得最小值，即小艇航行速度的最小值为海里/小时.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知，令，于是有，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，解得：，所以的取值范围为.‎ 解三角形应用题的一般步骤是： ‎ 一．“建模”： ‎ ‎1．准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中的有关名称、术语，如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等.‎ ‎2．根据题意画出图形. ‎ ‎3．把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型. ‎ 二．“解模”：正确求解.注意：算法要简练，运算要准确. ‎ 三．“还原说明”：给出应用题的答案.‎ ‎6.（2010·天津高考文科·Ｔ１7）在ABC中，.‎ ‎（Ⅰ）证明B=C.‎ ‎（Ⅱ）若=-，求sin的值.‎ ‎【命题立意】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.‎ ‎【规范解答】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，‎ 即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0. 所以B=C.‎ ‎（Ⅱ）由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.‎ 又0<2B<,于是sin2B==.‎ ‎ 从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.‎ ‎ 所以.‎ ‎【方法技巧】解题的关键是合理利用三角函数公式对关系式进行恒等变形，要注意根据角的范围来确定三角函数的符号.‎ ‎7.（2010·福建高考理科·Ｔ19）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.‎ ‎(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎(Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.‎ ‎【命题立意】本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.‎ ‎【规范解答】 (Ⅰ)为使小艇航行距离最小，理想化的航行路线为OT，小艇到达T位置时轮船的航行位移即，，从而（海里/时）.‎ O A B T G H ‎(Ⅱ)若轮船与小艇在H处相遇时，在直角三角形OHT中运用勾股定理有：，等价于（x=）‎ 从而，‎ 所以当时，，‎ 也就是说，当小艇以‎30海里/小时的速度沿北偏东方向行走能以最短的时间遇到轮船.‎ 解三角形应用题的一般步骤是： ‎ 一．“建模”： ‎ ‎1．准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中的有关名称、术语，如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等. ‎ ‎2．根据题意画出图形. ‎ ‎3．把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型. ‎ 二．“解模”：正确求解.注意：算法要简练，运算要准确. ‎ 三．“还原说明”：给出应用题的答案.‎ ‎8.（2010·安徽高考文科·Ｔ16）的面积是30，内角所对边长分别为，.‎ ‎ (1)求.‎ ‎(2)若，求的值.‎ ‎【命题立意】本题主要考查三角函数，向量的数量积，余弦定理等知识的综合应用，考查考生化简、运算、‎ 求解能力.‎ ‎【思路点拨】由得的值，再根据面积公式得的值，从而求数量积 的值；由余弦定理，代入已知条件及可求得a的值.‎ ‎【规范解答】由且为三角形内角，得.‎ 又=，∴.‎ ‎（1）.‎ ‎（2），‎ ‎∴. ‎