2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第3章 第6节 简单的三角恒等变换

2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第3章 第6节 简单的三角恒等变换

‎2010~2014年高考真题备选题库 第3章 三角函数、解三角形 第6节 简单的三角恒等变换 ‎1．(2014·课标Ⅰ，8,5分)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 解析：选B　由条件得＝，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin，因为－<α－β<，0<－α<，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B.‎ ‎2．(2014·江苏，5,5分)已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．‎ 解析：由题意可得两个函数图象有一个交点坐标是，所以sin＝，又0≤φ<π，解得φ＝.‎ 答案： ‎3．(2014·广东，16,12分)已知函数f(x)＝Asin ，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A 的值；‎ ‎(2)若 f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.‎ 解析：(1)∵f(x)＝Asin，且f＝，‎ ‎∴Asin＝⇒Asin＝⇒A＝3.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝3sin，∵f(θ)－f(－θ)＝，∴ 3sin－3sin＝，展开得3－3＝，化简得sin θ＝.‎ ‎∵θ∈，∴cos θ＝.‎ ‎∴f＝3sin＝3sin＝3cos θ＝.‎ ‎4．(2014·湖北，17,11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差；‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于‎11 ℃‎，则在哪段时间实验室需要降温？‎ 解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t＜24，‎ 所以≤t＋<，－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎.‎ ‎(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin>11，‎ 即sin<－.‎ 又0≤t<24，因此0，x∈R)的最小正周期为10π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)设α，β∈[0，]，f(5α＋π)＝－，f(5β－π)＝，求cos(α＋β)的值．‎ 解：(1)∵f(x)＝2cos(ωx＋)，ω>0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2cos(x＋)，‎ 而α，β∈[0，]，f(5α＋)＝－，f(5β－)＝，‎ ‎∴2cos[(5α＋)＋]＝－，2cos[(5β－)＋]＝，‎ 即cos(α＋)＝－，cos β＝，‎ 于是sin α＝，cos α＝，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.‎ ‎15．(2011江苏，14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若sin(A＋)＝2cosA，求A的值；‎ ‎(2)若cosA＝，b＝‎3c，求sinC的值．‎ 解：(1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.‎ 从而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝.‎ 因为0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎(2)由cosA＝，b＝‎3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ 得a2＝b2－c2.‎ 故△ABC是直角三角形，且B＝.‎ 所以sinC＝cosA＝.‎ ‎16．(2011辽宁，5分)设sin(＋θ)＝，则sin2θ＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：sin2θ＝－cos(＋2θ)＝2sin2(＋θ)－1＝2×()2－1＝－.‎ 答案：A ‎17．(2010新课标全国，5分)若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝(　　)‎ A．－ B. C．2 D．－2‎ 解析：∵cosα＝－且α是第三象限的角，‎ ‎∴sinα＝－，‎ ‎∴＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝－.‎ 答案：A ‎18．(2010福建，5分)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：sin43°cos13°－cos43°sin13°‎ ‎＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.‎ 答案：A