南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题03:三角函数与解三角形

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南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题03:三角函数与解三角形

南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 1 页 共 39 页 专题 3:三角函数与解三角形 目录 问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2 类型一:同角三角函数求值 ........................................................................................................................... 2 类型二:三角函数的图像与性质 ................................................................................................................... 6 类型三:两角和与差的三角函数 ................................................................................................................. 13 类型四:三角恒等变换 ................................................................................................................................. 16 类型五:解三角形 ......................................................................................................................................... 19 综合应用篇 ............................................................................................................................................................. 25 一、例题分析 ................................................................................................................................................. 25 二、巩固练习 ................................................................................................................................................. 30 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 2 页 共 39 页 问题归类篇 类型一:同角三角函数求值 一.前测回顾 1.(1) 若 sinα=- 5 13,且 α 为第四象限角,则 tanα 的值等于_____________. 答案:- 5 12. (2)已知 tan=2,则 sincos+cos2 2sincos+sin2=,sin2-2sincos+2= . 答案:3 8;2. (3)已知 sinα+cosα=1 5,α∈(0,π),则 cosα-sinα= ,tanα= . 答案:-7 5;-4 3 解析:sinα+cosα=1 5,α∈(0,π),且 sin2α+cos2α=1,得到 sinα=4 5,cosα=-3 5 二、方法联想 1.三角函数求值 (1) 知一求其余三角函数值; (2)关于 sinα 与 cosα 的齐次式,同除 cos或 cos2,如果不是齐次,借助 1=sin2α+cos2α 构造齐次. (3)sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα 间关系式 注意 根据角的范围确定三角函数值正负.无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的 三角函数值)缩小角的范围. 三、方法应用 例 1.已知 ,为锐角, 45tan ,cos( ) .35      (1) 求 cos2 的值; (2) 求 tan( ) 的值. 解:(1)因为 4tan 3  , sintan cos   ,所以 4sin cos3 . sinα+cosα sinα-cosα sinαcosα sinα 和 cosα tanα sin2α 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 3 页 共 39 页 因为 22sin cos 1,所以 2 9cos 25  , 因此, 2 7cos2 2cos 1 25    . (2)因为 ,为锐角,所以 (0,π) . 又因为 5cos( ) 5   ,所以 2 25sin( ) 1 cos ( ) 5        , 因此 tan( ) 2   . 因为 4tan 3  ,所以 2 2tan 24tan 2 1 tan 7     , 因此, tan 2 tan( ) 2tan( ) tan[2 ( )] 1+tan 2 tan( ) 11                  . 例 2.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b ,c .已知 2cos ,sin 5 cos3A B C . (1)求 tanC 的值; (2)若 2a  ,求 的面积. 解:(1)因为 20 ,cos 3AA   ,得 2 5sin 1 cos 3AA   . 又 525 cos sin sin( ) sin cos cos sin cos sin33C B A C A C A C C C       , 所以 tan 5C  . (2)由 ,得 51sin ,cos 66 CC,于是 5sin 5 cos 6 BC, 由 及正弦定理 sin sin ac AC ,得 3c  .设 得面积为 S ,则 15sin22S ac B. 例 3.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cos A=3 5,tan(B-A)=1 3. (1) 求 tan B 的值; (2) 若 c=13,求△ ABC 的面积. 解析:(1) 在△ ABC 中,由 cosA=3 5,知 A 为锐角, 所以 sinA= 1-cos2A=4 5, 所以 tanA=sinA cosA=4 3, 所以 tanB=tan[(B-A)+A]= tan(B-A)+tanA 1-tan(B-A)tanA= 1 3+4 3 1-1 3×4 3 =3. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 4 页 共 39 页 (2) 由(1)知 tanB=3, 所以 sinB=3 10 10 ,cosB= 10 10 , 所以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=13 10 50 . 由正弦定理 b sinB= c sinC, 得 b=csinB sinC = 13×3 10 10 13 10 50 =15 所以△ ABC 的面积 S=1 2bcsinA=1 2×15×13×4 5=78. 例 4.已知 α,β 为锐角,tanα=4 3,cos(α+β)=- 5 5 . (1) 求 cos 2α 的值; (2) 求 tan(α-β)的值. 解: (1) 因为 tanα=sinα cosα=4 3,所以 sinα=4 3cosα. 因为 sin2α+cos2α=1,所以 cos2α= 9 25, 因此 cos2α=2cos2α-1=- 7 25. (2) 因为 α,β 为锐角,所以 α+β∈(0,π). 又因为 cos(α+β)=- 5 5 ,所以 sin(α+β)= 1-cos2(α+β)=2 5 5 , 因此 tan(α+β)=-2.因为 tanα=4 3,所以 tan2α= 2tanα 1-tan2α=-24 7 , 因此 tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]= tan2α-tan(α+β) 1+tan2αtan(α+β)=- 2 11. 例 5.已知 α∈ π 2,π ,sin α= 5 5 . (1) 求 sin π 4+α 的值; (2) 求 cos 5π 6 -2α 的值. 解:(1) 因为 α∈ π 2,π ,sin α= 5 5 ,所以 cos α=- 1-sin2α=-2 5 5 , 故 sin π 4+α =sinπ 4cos α+cosπ 4sin α= 2 2 (cos α+sin α)= 2 2 ×   - 5 5 =- 10 10 . (2) 因为 sin 2α=2sin αcos α=-4 5,cos 2α=cos2α-sin2α=3 5, 所以 cos 5π 6 -2α =cos5π 6 cos 2α+sin5π 6 sin 2α=- 3 2 ×3 5+1 2× -4 5 =-3 3+4 10 . 例 6.如图,在直角坐标系 xOy 中,角 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点 A, 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 5 页 共 39 页 且 ( , )62   . 将角 的终边按逆时针方向旋转 3  ,交单位圆于点 B,记 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若 1 1 3x  ,求 2x ; (2)分别过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C,D, 记△ AOC 的面积为 S1,△ BOD 的面积为 S2,若 122SS , 求角 的值. 解:(1)由三角函数定义, 1 cosx  , 2 cos( )3x , 因为 , 1cos 3  ,所以 2 22sin 1 cos 3   . 2 1 3 1 2 6cos( ) cos sin3 2 2 6x         . (2)依题意, 1 siny  , 2 sin( )3y , 所以 1 1 1 1 1 1cos sin sin 22 2 4S x y       , )3 22sin(4 1-)3sin()3cos(2 1 2 1 222   yxS , 依题意, 2sin 2 2sin(2 )3    ,化简得 cos2 0  , 因为 62 ,则 23  ,所以 2 2   ,即 4   . 四、归类巩固 *1.已知 sinα=4 5,并且 α 是第二象限角,则 cosα 的值为 . (已知三角函数正弦值,求余弦值) 答案:-3 5. *2.已知 tanα=3,且 π<α<3π 2 ,则 cosα-sinα= . (已知三角函数正切值,求正弦、余弦值) 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 6 页 共 39 页 答案: 10 5 . 解析:sinα cosα=3 且 sin2α+cos2α=1,得到 sinα 与 cosα 的值 .. **3.若 tan( ) 24  ,则sin 2 的值为 . (已知三角函数正切值,求二倍角正弦) 答案: 3 5 . **4.若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα= . (构造方程组求解 sinα,cosα) 答案:2. 解析:结合 sin2α+cos2α=1,得到 sinα 与 cosα 的值. ***5.定义在区间 π0 2   , 上的函数 5cos2yx 的图象与 2 sinyx 的图象的交点横坐标为 0x , 则 0tan x 的值为 . 答案: 3 4 解析:令5cos2 2 sinxx ,即 25(1 2sin ) 2 sinxx   ,所以 210sin sin 3 0xx   , 因为  π0 2x , ,所以 3sin 5x  ,即,从而 0 3tan 4x  . 0 3sin 5x  类型二:三角函数的图像与性质 一、 前测回顾 1.( 1) 函数 y= sin(2x- 3)的定义域为 . 答案:[kπ+π 6 ,kπ+2π 3 ](k∈Z). (2) 函数 y=sin(2x+ 6),x∈[0,π 3]的值域为 . 答案:[-1 2 ,1]. (3)已知>0,在函数 y=2sinx 与 y=2cosx 的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为 2 3, 则的值为 . 答案:π 2. (4) 函数 y=2cos(3x- 3)单调减区间为. 答案:[2kπ 3 +π 9,2kπ 3 +4π 9 ](k∈Z). 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 7 页 共 39 页 (5)函数 y=sin(2x+ 4) 的对称轴为;中心对称点为 .. 答案:x=kπ 2 +π 8(k∈Z);(kπ 2 -π 8,0)(k∈Z); 2.(1)函数 y=2sin2x+ 3sinxcosx+3cos2x 的值域为 . 答案:[1 2,5 2]. (2)函数 y=4sin2x-12cosx-1, x Î[-π 6,2π 3 ]的值域为 . 答案:[-13,8]. (3)函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2, [0,π]的值域为 . 答案:[3 4,3+ 2]. (4)函数 y=sinx+1 cosx-1的值域为 .. 答案:[0,+∞). 提示:方法一:看作斜率,数形结合处理; 方法二:导数法处理. 3.( 1).已知函数 sin(2 )( )22yx     的图象关于直线 3x  对称,则 的值是 . 答案: π 6 (2)已知函数 y=Asin(2x+φ)的对称轴为 x=π 6,则 φ 的值为 . 答案:kπ+π 6(k∈Z). (3)已知函数 y=cos(2x+φ)为奇函数,则 φ 的值为 . 答案:kπ+π 2(k∈Z). (4)将函数  π( ) 2sin 2 6f x x的图象至少向右平移 个单位,所得图象恰关于坐标原点对称. 答案: π 12 . (5)若函数 ( ) sin( )( 0, 0)f x A x A      的图象与直线 ym 的三个相邻交点的横坐标分别是 6  , 3  , 2 3  ,则实数 的值为 . 答案: 4 (6)已知函数 ( ) sin( ) (0 3 0 )f x x         , .若 4x  为函数 ()fx的一个零点, 3x  为函 数 图象的一条对称轴,则 的值为 . 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 8 页 共 39 页 答案: 7  二、 方法联想 1.三角函数的定义域 方法:根据式子有意义的条件,列不等式组,解不等式求定义域. 2.三角函数的值域 方法 1:转化为 y=Asin(ωx+φ)形式,先求 ωx+φ 的范围,再根据正弦函数的图象求出值域 如 y=asin2ωx+bsinωxcosωx+ccos2ωx 的形式,先利用降幂公式化为一次形式,将用辅助角公式化为 y=Asin(2ωx+φ)形式求值域. 方法 2:利用换元法转化为二次函数值域问题. 如:含有 sin2x,cosx(或 sinx)和 cos2x,sinx(或 cosx)形式;含有 sinx±cosx,sinxcosx: 形如分子、分母含有 sinx,cosx 的一次形式: 方法 1:化为 sin(ωx+φ)=M 形式,再得用三角函数的有界性(|sinx|≤1,|cosx|≤1)求值域. 方法 2:导数法 3.三角函数对称问题 方法:对于函数 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ) 若 x=x0 为对称轴f(x0)=±A. 若(x0,0)为中心对称点f(x0)=0. 推论:对于函数 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ) 若函数 y=f(x)为偶函数f(0)=±A.若函数 y=f(x)为奇函数f(0)=0. 4.求 f(x)=Asin(x+)+B(A>0)的解析式 方法:待定系数法 步骤:(1)由周期 T=2π |ω|得; (2)由  A+B=ymax, -A+B=ymin,得,   A=ymax-ymin 2 , B=ymax+ymin 2 , (3)将点代入求(尽量代入最高点或最低点). 三、 方法应用 例 1.已知函数 f(x)=( 3cosx+sinx)2-2 3sin2x. (1) 求函数 f(x)的最小值,并写出 f(x))取得最小值时自变量 x 的取值集合; (2) 若 x∈ -π 2,π 2 ,求函数 f(x)的单调增区间. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 9 页 共 39 页 解:(1) f(x)=( 3cosx+sinx)2-2 3sin2x =3cos2x+2 3sinxcosx+sin2x-2 3sin2x=3(1+cos2x) 2 +1-cos2x 2 - 3sin2x =cos2x- 3sin2x+2=2cos 2x+π 3 +2. 当 2x+π 3=2kπ+π,即 x=kπ+π 3(k∈Z)时,f(x)取得最小值 0, 此时自变量 x 的取值集合为 xx=kπ+π 3,k∈Z . (2) 由(1)知 f(x)=2cos 2x+π 3 +2. 令 π+2kπ≤2x+π 3≤2π+2kπ(k∈Z), 解得π 3+kπ≤x≤5π 6 +kπ(k∈Z), 又 x∈ -π 2,π 2 ,令 k=-1,x∈[-π 2,-π 6],令 k=0,x∈ π 3,π 2 , 所以函数 f(x)在 -π 2,π 2 上的单调增区间是 -π 2,-π 6 和 π 3,π 2 . 例 2.已知函数 f(x)=1-2sin(x+π 8)·[sin(x+π 8)-cos(x+π 8)]. (1) 求函数 f(x)的最小正周期; (2) 当 x∈[-π 2, π 12]时,求函数 f(x+π 8)的值域. 解:(1) f(x)=1-2sin(x+π 8)[sin(x+π 8)-cos(x+π 8)] =1-2sin2(x+π 8)+2sin(x+π 8)cos(x+π 8) =cos(2x+π 4)+sin(2x+π 4)= 2sin(2x+π 2)= 2cos 2x.所以 f(x)的最小正周期 T=2π 2 =π. (2) 由(1)可知 f(x+π 8)= 2cos(2x+π 4), 由于 x∈[-π 2, π 12],所以 2x+π 4∈[-3π 4 ,5π 12], 所以 cos(2x+π 4)∈[- 2 2 ,1], 所以 f(x+π 8)的值域为[-1, 2]. 例 3.已知函数 f(x)=- 2 2 sin(2ax+π 4)+1 2+b(a>0,b>0) 的图象与 x 轴相切,且图象上相邻两个最高点之 间的距离为π 2. (1) 求 a,b 的值; (2) 求 f(x)在[0,π 4]上的最大值和最小值. 解:(1) 因为 f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π 2, 所以 f(x)的周期为π 2,所以 2π 2|a|=π 2,a>0,所以 a=2, 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 10 页 共 39 页 此时 f(x)=- 2 2 sin(4x+π 4)+1 2+b. 因为 f(x)的图象与 x 轴相切,所以|b+1 2|= 2 2 ,b>0, 所以 b= 2 2 -1 2. (2) 由(1)可得 f(x)=- 2 2 sin(4x+π 4)+ 2 2 , 因为 x∈ 0,π 4 ,所以 4x+π 4∈ π 4,5π 4 , 所以当 4x+π 4=5π 4 ,即 x=π 4时,f(x)有最大值为 2+1 2 ; 当 4x+π 4=π 2,即 x= π 16时,f(x)有最小值为 0. 例 4.已知 31sin cos 2  , π π 44  , . (1)求 的值; (2)设函数  22( ) sin sinf x x x    , xR ,求函数 ()fx的单调增区间. 解:(1)由 31sin cos 2  ,得 2 3(sin cos ) 1 2   , 即 223sin 2sin cos cos 1 2       ,所以 3sin 2 2  . 因为  π π 44  , ,所以  π π2 22  , ,所以 π2 3  ,即 π 6  . (2)由(1)知,  22π( ) sin sin 6f x x x   , 所以    11π( ) 1 cos2 1 cos 22 2 3f x x x      1 πcos 2 cos223xx   311sin 2 cos22 2 2xx 1 πsin 226x. 令 π π π2 π 22π+2 6 2k x k≤ ≤ , 得 π ππ π+63k x k ≤ ≤ ,所以函数 ()fx的单调增区间是 π ππ π+63kk, , Zk  . 例 5.将函数  π( ) sin 6f x x( 0  )的图象向左平移 π 3 个单位后,所得图象关于直线 πx  对称,则 的最小值为 . 答案: 1 2 解析:将 ()fx的图象向左平移 个单位得到  π πsin 36yx   , 因为图象关于直线 对称,所以  4π πsin 136    , 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 11 页 共 39 页 所以 4π π ππ3 6 2k    ,即 31 42k , k Z ,所以 的最小值为 1 2 . 四、归类巩固 *1.在同一平面直角坐标系中,函数 y=cos(x 2+3π 2 )(x Î[0,2π])的图象和直线 y=1 2的交点个数是______. 答案:2.(利用三角函数图像) 解析: ])20[)(2 3 2cos(  , xxy ,得到 y=sinx 2,做出图像. **2.定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是______. 答案:7(考查三角函数图像). *3.函数 y=|sinx|,(x∈[,2])的单调递增区间是______. 答案:[,3π 2 ];(考查三角函数的图像和性质). **4.已知函数 f(x)=2sin (2x+φ)(|φ|<π)的部分图象如图所示,则 f(0)=________. 答案:-1;(考查三角函数的图象). **5.将函数 ( ) sin2f x x 的图象向右平移 6  个单位得到函数 ()gx的图象,则以函数 ()fx与 的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 . 答案: 3 2  . ***6.将函数       42sin2)( xxf 的图像向右平移 )0(  个单位,再将图像上每一点横坐标缩短到 原来的 2 1 倍,所得图像关于直线 4 x 对称,则 的最小正值为______. 答案:3π 8 (考查三角函数图像变换). *7.函数 y=2sin(π 6x-π 3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 . 答案:2+ 3;(考查三角函数的最值). **8.若函数 f(x)=sin(x+θ)(0<θ<π 2)的图象关于直线 x=π 6对称,则 θ=______. 答案:π 3;(考查三角函数的对称性). ***9. 若将函数 f(x)=sin(2x+π 4)的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是 ________. 答案: 3π 8 ; (考查三角函数图象变换,三角函数的奇偶性). *10.函数 f(x)=sinx(π 6≤x≤2π 3 )的值域为______. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 12 页 共 39 页 答案:[1 2,1](考查三角函数值域). **11.设 0<x<,则函数 sin 2 2 sin xy x的最小值为______. 答案:5 2(考查正弦函数、余弦函数的图象和性质). 解析:令 t=sinx(0,1),利用 y=t 2+2 t的单调性得到最小值. ***12. 将函数 f(x)=sin2x 的图像向右平移 (0 )2  个单位后得到函数 ()gx的图像,若对满足 12( ) ( ) 2f x g x的 1x , 2x ,有 12min 3xx ,则  ______. 答案: π 12(考查三角函数图像变换,最值). *13.若 f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0,π 3]上的最大值是 2,则 ω=________. 答案:3 4(考查三角函数单调性,最值). **14.将函数 f(x)=2sin(2x-π 6)的图象向左平移 m 个单位(m>0),若所得的图象关于直线 x=π 6对称,则 m 的最小值为_______.. 答案:π 6;(考查三角函数的图象与对称性). ***15.已知过原点的直线与函数 y=|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个交点,α 是交点中横坐标的最大值,则 +α2sin 2α 2α 的值为________. 答案:1(考查三角函数图像). 16.已知函数 f(x)= 3sin(x+θ)+cos(x-θ)为偶函数,θ∈[0,π],则角 θ 的值为 . 答案:2π 3 . 解析:因为 f(x)= 3sin(x+θ)+cos(x-θ)为偶函数, 所以 f(x)=f(-x)恒成立, 即 3sin(x+θ)+cos(x-θ)= 3sin(-x+θ)+cos(-x-θ) 展开并整理得( 3cosθ+sinθ)sinx=0 恒成立. 所以 3cosθ+sinθ=0,即 tanθ=- 3, 又 θ∈[0,π],所以 θ=2π 3 . 17.已知函数 y=sin(2x+φ) -π 2<φ<π 2 的图象关于直线 x=π 3对称,则 φ 的值是________. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 13 页 共 39 页 答案:-π 6 解析:由题意可知,2×π 3+φ=kπ+π 2,k∈Z,所以 φ=kπ-π 6,k∈Z. 又因为 φ∈ -π 2,π 2 ,所以 k=0,φ=-π 6. 18.函数 ( ) sin( )( 0, 0)f x A x A      的图象如图所示, 则 (1) (2) (2018)f f f   的值为 . 答案:2+ 2 19 .函数 ( ) sin 3cosf x x x ,  0 πx , 的 单 调 减 区 间 为 . 答案: π[ π]6 , . 解析: π( ) 2sin( )3f x x,由 π π 3π2 π 2 π2 3 2k x k  ≤ ≤ , k Z 及 [0 π]x , 得函数的单调减区间为 . 类型三:两角和与差的三角函数 一、 前测回顾 1. 0000 10sin160cos10cos20sin  = . 答案: 1 2 . 2.已知 10 1)sin(,2 1)sin(   ,则 tana tanb = . 答案: 3 2 . 解析:把两角和与差的正弦公式中的 sinacosb , cosasinb 分别看成一个整体,通过解方程组,求出 和 ,作比,即可求出 tana tanb = 3 2 . 3.  0000 37tan23tan337tan23tan . 答案: 3 . 解析:因为 230 +370 = 600 ,联想公式 tan(230 +370 ) = tan230 + tan370 1-tan230 tan370 ,逆用两角和正切公式, 并进行变形得: tan230 +tan370 + 3tan230 tan370 = 3. x y O 2 2 6 -2 ( 第 1 0 题 图 ) (第 18 题) 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 14 页 共 39 页 4.已知 α∈ 0,π 2 ,β∈ π 2,π ,cos α=1 3,sin(α+β)=-3 5,则 cos β=__________. 答案:-4+6 2 15 解析:由 α∈ 0,π 2 ,cos α=1 3,得 sin α=2 2 3 .又 β∈ π 2,π ,α∈ 0,π 2 ,sin(α+β)=-3 5, 得 cos(α+β) =-4 5,则 cos β=cos[(α+β) -α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=-4+6 2 15 . 5.已知函数 ( ) sin(2 )3f x x ( 0 x ≤ ),且 1( ) ( ) 3ff(   ),则   ▲ . 答案: 7 6  解析:.由 ,知 23 3 3x  ≤ ≤ ,因为 31( ) ( ) 32ff   ,所以    3π2 2 23 3 2     , 所以 7 6 += . 二、 方法联想 如何根据题目中的三角函数结构形式,选择合适的方法来解决问题? 1. 分析结构:认真分析已知式子和所求式子的整体结构之间的异同点,帮助我们找到变形的方向; 2. 寻找规律:寻求函数名之间、角之间的差别和联系为我们选用正确的方法做好前期准备; 3. 巧用方法:熟练掌握解决三角求值、化简的常用方法:切化弦法、升降幂法、辅助元素法、“1”的代换 法等,熟悉角的拆拼、变换的技巧. 三、 方法应用 例 1.在锐角三角形 ABC 中,角 CBA ,, 的对边为 cba ,, ,已知 5 3sin A , 2 1)tan(  BA , (1)求 Btan ; (2)若 5b ,求c . 解:(1)在锐角三角形 ABC 中,由 3sin 5A  ,得 2 4cos 1 sin 5AA   , 所以 sin 3tan cos 4 AA A. 由 tan tan 1tan( ) 1 tan tan 2 ABAB AB     ,得 tan 2B  . (2)在锐角三角形 ABC 中,由 tan 2B  ,得 25sin 5B  , 5cos 5B  , 所以 11 5sin sin( ) sin cos cos sin 25C A B A B A B     , 由正弦定理 sin sin bc BC ,得 sin 11 sin 2 bCc B. 例 2.在 ABC 中,角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc.已知 2cos ( cos cos )A b C c B a. (1)求角 A 的值; (2)若 3cos 5B  ,求sin( )BC 的值. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 15 页 共 39 页 解:(1)由正弦定理可知, 2cos (sin cos sin cos ) sinA B C C B A, 即 2cos sin sinA A A ,因为 (0,π)A ,所以sin 0A  , 所以 2cos 1A  ,即 1cos 2A  , 又 ,所以 π 3A  . (2)因为 3cos 5B  , (0,π)B ,所以 2 4sin 1 cos 5BB   , 所以 24sin 2 2sin cos 25B B B, 2 7cos2 1 2sin 25BB    , 所以 2π 2πsin( ) sin[ ( )] sin(2 )33B C B B B      2π 2πsin 2 cos cos2 sin33BB 24 1 7 3()25 2 25 2      7 3 24 50  . 例 3. ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,面积为 S. (1)若 23AB AC S ,求 A 的值; (2)若 tan A ∶ tan B ∶ tanC =1∶2∶3,且 1c  ,求 b. 解.(1)由题意知, cosAB AC bc A , 1 sin2S bc A , 所以 cos 3 sinbc A bc A , 即 cos 3sinAA , 3tan 3A, 因为 A 为三角形内角,所以 6A  ; (2)设 tan Am , tan 2Bm , tan 3Cm ,由题意知, 0m  . 因为 tan tantan tan( ) 1 tan tan ABC A B AB       , 则 2 33 12 mm m  , 解得 1m  ,则 tan 2B  , tan 3C  ,从而 25sin 5B  , 3 10sin 10C  , 所以 sin 2 2 sin 3 AC B AB C,则 22 3AC  四、归类巩固 **1. (1+tan220 )(1+tan230 ) = . 答案:2. ***2.已知 tan(a +b) = 2,tan(a -b) = 3,则 sin2a cos2b = . 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 16 页 共 39 页 A B C (第 3 题) 答案: 7 5 . 解析:观察已知和所求式子的特点,利用 2a =(a +b)+(a -b),2b =(a +b)-(a -b),再利用弦化 切,求出 sin2a cos2b = tan(a + b)+tan(a - b) 1+ tan(a + b)tan(a -b) = 5 7 . 3.如图,三个相同的正方形相接,则 tan ABC 的值为 . 答案: 1 7 解析:设最右边的正方形的右下角顶点为 D , 则   11 tan tan 123tan tan 1 tan tan 1 1 71 23 BCD BADABC BCD BAD BCD BAD              . 4.在△ ABC 中, cos 2sin sinA B C , tan tan 2BC   ,则 tan A 的值为 . 答案:1 解析:由 cos 2sin sinA B C 得,  cos 2sin sinB C B C   , 即 cos cos sin sin 2sin sinB C B C B C   ,所以 tan tan 1BC , 所以   tan tan 2tan tan 1tan tan 1 1 1 BCA B C BC         . 类型四:三角恒等变换 一、前测回顾 1.已知 cos(+π 6)=1 3,∈(0,π 2),则 cos= ;sin(+π 3)= ;cos(2+π 6)= . 答案:1 6( 3+2 2); 1 3;1 6(2 2- 3). 2.已知 cos(π 4+x)=3 5,17π 12 <x<7π 4 ,则sin2x+2sin2x 1-tanx = . 答案:28 75. 3 设 为锐角,若 3cos( )65  ,则 cos(2 )6   . 答案: 24 25 . 解析:因为 α 为锐角, 3cos( )65  为正数, 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 17 页 共 39 页 所以 6   是锐角, 4sin( )65  ,得 24sin(2 ) 2sin( )cos( )3 6 6 25           , 又因为 cos(2 ) sin(2 )63      ,所以 24cos(2 )6 25    . 二、方法联想 1.三角变换基本想法 (1)角:观察角的联系,实现角的统一. (2)名:弦切互化,异名化同名. 形:公式变形与逆用. 幂:平方降幂,根式升幂. 解题前先观察角的联系,分析角的变化,实现角的统一,从而决定解题方向,再结合三角函数名、公 式的变形、幂的升降,做出公式的选择. 常见的角的变形有:(1)可化为特殊角;(2)可以化为同角;(3)可分析角与角之间的关系,如和, 差,倍等等;(4)可实现条件、结论中角的转化. 注意点:判断角的范围,确定三角函数值的正负或角的值.若在已知范围内不能确定时,利用三角函 数值的正负或大小来缩小角的范围. 三、方法应用 例 1.已知函数 f(x)=sinx+cosx,f'(x)是 f(x)的导函数. (1)求函数 F(x)=f(x)f'(x)+ 3f2(x)的最大值和最小正周期; (2)若 f(x)=2f'(x),求 sin(2x+π 4)的值. 解:(1)因为 f'(x)=cosx-sinx, 所以 F(x)=f(x)f'(x)+ 3f2(x)=cos2x-sin2x+ 3+2 3sinxcosx = 3+ 3sin2x+cos2x= 3+2sin(2x+π 6). 所以当 2x+π 6=π 2+2kπ,即 x=π 6+kπ(k∈Z)时,F(x)max= 3+2. 函数 F(x)的最小正周期为 T=2π 2 =π. (2)因为 f(x)=2f'(x),所以 sinx+cosx=2(cosx-sinx),即 cosx=3sinx,故 tanx=1 3. 于是 sin(2x+π 4)= 2 2 (sin2x+cos2x)= 2 2 ( 2sinxcosx sin2x+cos2x+cos2x-sin2x sin2x+cos2x) = 2 2 ( 2tanx 1+tan2x+1-tan2x 1+tan2x)= 2 2 ·2tanx+1-tan2x 1+tan2x = 2 2 · 2×1 3+1-(1 3)2 1+(1 3)2 =7 2 10 . 例 2.已知函数   2sin 3sin cosf x x x x . (1)求  fx的最小正周期; (2)若 在区间 3 m , 上的最大值为 3 2 ,求 m 的最小值. 解:(1)   1 cos2 3 3 1 1 1sin 2 sin 2 cos2 sin 22 2 2 2 2 6 2 xf x x x x x        , 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 18 页 共 39 页 所以  fx的最小正周期为 2π π2T . (2)由(1)知   π 1sin 2 62f x x   , 因为 π 3xm , ,所以 π 5π π226 6 6xm    , . 要使得 在 π 3 m , 上的最大值为 3 2 ,即 πsin 2 6x 在 3 m , 上的最大值为 1. 所以 π π2 62m ,即 π 3m  .所以 m 的最小值为 π 3 . 例3.在 ABC 中,三个内角分别为 A,B,C ,已知sin(A ) 2cosA6  . (1)若 6cosC 3 ,求证: 2 3 0ac. (2)若 (0, )3B  ,且 4cos( ) 5AB,求 sin B . 解:.因为 ,得 31sin A cosA 2cosA22, 即sin A 3cosA ,因为  A 0,,且cosA 0 , 所以 tan A 3 ,所以 A 3  . (1)因为 22sin C cos C 1, 6cosC 3 ,  C 0,,所以 3sin C 3 由正弦定理知 ac sin A sinC ,即 3 32 23 3 a sin A c sinC   ,即 2 3 0ac (2)因为 (0, )3B  ,所以 033A B B ,    , 因为 22sin ( ) cos ( ) 1A B A B    ,所以 3sin( ) 5AB, 所以    4 3 3sin sin sin cos( ) cos sin( ) 10B A A B A A B A A B         四、归类巩固 **1.计算 2sin50°+sin80°(1+ 3tan10°) 1+cos10° =. 答案:2. **2.已知 tan(π 4+)=1 2.则sin2-cos2 1+cos2 =. 答案:-5 6. **3.已知 sinα= 5 5 ,sin(α-β)=- 10 10 ,α,β 均为锐角,则角 β=________. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 19 页 共 39 页 答案:π 4. **4. 若 tan 2tan ,且 2cos sin 3 ,则sin( ) 的值为 . 答案:3、 1 3 **5. 设 f(x)=sin2x- 3cos xcos x+π 2 ,则 f(x)在 0,π 2 上的单调增区间为________. 解析:. 0,π 3 解析:f(x)=sin2x- 3cos xcos x+π 2 =sin2x+ 3sin xcos x=1 2(1-cos 2x)+ 3 2 sin 2x= sin 2x-π 6 +1 2.由 2kπ-π 2≤2x-π 6≤2kπ+π 2,k∈Z,得 kπ-π 6≤x≤kπ+π 3,k∈Z.由 x∈ 0,π 2 ,则当 k=0 时, -π 6≤x≤π 3,即 0≤x≤π 3,即函数 f(x)在 0,π 2 上的单调递增区间为 0,π 3 **6.已知函数 f(x)=cos2x+cos2(x+π 3). (1)求 f(x)最小正周期和单调递增区间; (2)求 f(x)在区间[-π 3,π 6]上的最大值和最小值. 解析:(1)f(x) 1 cos 2 31 cos2 1 21 cos2 cos 22 2 2 3 xx xx           1 1 3 11 cos2 cos2 sin 2 1 cos 22 2 2 2 6x x x x        周期T  单调递增区间: 5 112 2 2 26 12 12k x k k x k                 所以  fx单调递增区间: 5 11,,12 12k k k Z   . (2) ,36x  2,6 2 2x        cos 2 0,16x    . 类型五:解三角形 一、 前测回顾 1.( 1)在△ ABC 中,b= 3,B=60°,c=1,则 C=________.; a=________.. 答案:30°;2. (2)在△ ABC 中,A=1200,a=7,b+c=8,则 b=________.; c=________.. 答案:3 或 5;5 或 3. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 20 页 共 39 页 (3) 如图,在四边形 ABCD 中,已知 ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 ,则 BC=________.. 答案:8 2. (4)在△ ABC 中,已知 3AB  , o120A  ,且 ABC 的面积 为15 3 4 ,则 BC 边长为________.. 答案: 7 .. 2.( 1)在△ ABC 中,acosA=bcosB,则△ ABC 的形状为________.. 答案:等腰或直角三角形. (2)在△ ABC 中,sinA=2cosBsinC,则△ ABC 的形状为________.. 答案:等腰三角形. 二、方法联想 1.解三角形 (1)三角形的几个关系 ①角角关系:A+B+C=π; ②边角关系:正弦定理和余弦定理,大边对大角; ③边边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. (2)解三角形方法 ①三角形的六个量中只要知道其中三个量(至少已知一条边)便可以求出其他三个量; ②正弦定理运用的条件是:两角一边,两边和其中一边说对的角; 余弦定理运用的有条件是:两边一夹角,三边; 其中两边和其中一边说对的角的条件,既可以用正弦定理也可以用余弦定理,但都必须注意“一解”和 “两解”的问题. 2.与三角形有关的三角函数问题 具体做法: (1)A+B+C=π 可消元; (2)遇到正弦要当心!优先考虑可能出现的一解和两解问题; (3)边角转化,利用(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 或(2)cosA=b2+c2-a2 2bc 等进行边角互 化,即边化角或角化边. 说明:在解答题中,由于考三角函数的变形较为常见,所以,常常“边化角”,而在填空题中,随意. 三、方法应用 例 1、在锐角△ ABC 中,角 CBA ,, 所对的边分别为 ,6,4,,,  cbcba 且 .32sin Ba (1)求角 A 的大小; (2)若 D 为 BC 的中点,求线段 AD 的长. 解.(1)由正弦定理,得 sin sina B b A , 因为 b=4, sin 2 3aB ,所以 3sin 2A  , 又 π0 2A,所以 π 3A  . (2)若 b=4,c=6,由余弦定理得 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 21 页 共 39 页 a2=b2+c2-2bccos A=16+36-2×24×1 2 =28, 所以 a= 27. 又因为 sin 2 3aB ,所以 21sin 7B  ,从而 27cos 7B  , 因为 D 为 BC 的中点,所以 BD = DC = 7 . 在 ABD 由余弦定理,得 2 2 2 2 cosAD AB BD AB BD B     , 即 2 2736 7 2 6 7 197AD        ,所以, 19AD  .…………14 分 例 2、在 ABC 中,角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc, AD 为边 BC 上的中线. (1)若 4a  , 2b  , 1AD  ,求边c 的长; (2)若 2AB AD c,求角 B 的大小. 解:(1)在 ADC 中,因为 11, 2, 22AD AC DC BC    ,所以由余弦定理, 得 2 2 2 2 2 22 2 1 7cos 2 2 2 2 8 AC DC ADC AC DC         . 故在 中,由余弦定理,得 2 2 2 2 2 72 cos 4 2 2 4 2 68c a b ab C          , 所以 6c  . (2)因为 为边 上的中线,所以 1 ()2AD AB AC,所以 2 1 ()2c AB AD AB AB AC     2 21 1 1 1 cos2 2 2 2AB AB AC c cb A     ,得 cosc b A . 则 2 2 2 2 b c acb bc  ,得 2 2 2b c a,所以 90B . 例 3、已知在△ ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 的对边, 3bsinC=ccosB+c. (1) 求角 B 的大小; (2) 若 b2=ac,求 1 tanA+ 1 tanC的值. 解:(1) 由正弦定理得 3sinBsinC=cosBsinC+sinC, 在△ ABC 中,因为 sinC>0,所以 3sinB-cosB=1,所以 sin B-π 6 =1 2. 因为 00)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间[0,π 2]上的单调性. 解 (1)ω=1. (2)f(x)在区间[0,π 8]上上单调递增,在区间[π 8,π 2]上单调递减. 解析:(1) f (x) = 4coswxsin(wx + p 4 ) = 2 2 sinwxcoswx +2 2 cos2 wx 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 35 页 共 39 页 = 2(sin2wx +cos2wx)+ 2 = 2sin(2wx + p 4 )+ 2 所以T = 2p 2w = p,w =1. (2)由(1)知: f (x) = 2sin(2x + p 4 )+ 2 , 因为 0 £ x £ p 2 ,所以 p 4 £ 2x + p 4 £ 5p 4 , 当 p 4 £ 2x + p 4 £ p 2 时,即 0 £ x £ p 8 时, f (x)是增函数; 当 p 2 £ 2x + p 4 £ 5p 4 时,即 p 8 £ x £ p 2 时, 是减函数; 所以 在区间 0, p 8 é ëê ù ûú上单调递增; 在区间 p 8 , p 2 é ëê ù ûú上单调递减 说明:考查正弦函数的图象和性质,方法为“化一”. 28.某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线在 l 上的四边形电气线路,如图所示, 为充分利用现有材料,边 BC,CD 用一根 5 米长的材料弯折而成,边 BA、AD 用一根 9 米长的材料弯 折而成,要求∠A 和∠C 互补,且 AB=BC. (1)设 AB=x 米,cos A=f(x),求 f(x)的解析式,并指出 x 的取值范围; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值. 解 (1)在△ ABD 中,由余弦定理得 BD2 =AB2 +AD2 - 2AB·AD·cos A. 同理,在△ CBD 中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cos C. 因为∠A 和∠C 互补,所以 AB2+AD2-2AB·AD·cos A=CB2 +CD2-2CB·CD·cos C=CB2+CD2+2CB·CD·cos A. 即 x2+(9-x)2-2x(9-x)cos A=x2+(5-x)2+2x(5-x)·cos A.解得 cos A=2 x,即 f(x)=2 x,其中 x∈(2,5).(考 查角的变换,余弦定理). (2)四边形 ABCD 的面积 S=1 2(AB·AD+CB·CD)sin A=1 2[x(9-x)+x(5-x)] 1-cos2A=x(7-x) 1- 2 x 2= x2- -x 2= x2- x2-14x+ . 记 g(x)=(x2-4)(x2-14x+49),x∈(2,5). 由 g′(x)=2x(x2-14x+49)+(x2-4)(2x-14) =2(x-7)(2x2-7x-4)=0,解得 x=4. 函数 g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减.因此 g(x)的最大值为 g(4)=12×9=108. 所以 S 的最大值为 108=6 3.(考查角的变换,导数求最值). 答:所求四边形 ABCD 面积的最大值为 6 3 m2. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 36 页 共 39 页 29.已知函数(x)=2cos(2x+π 3)-cos2x+1. (1)求 f(x)的对称中心 (2)若锐角△ ABC 中角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 f(A)=0,求b c的取值范围. 解析:(1)   132 cos2 sin 2 cos2 122f x x x x    3sin 2 cos2 1 2sin 2 16x x x         对称中心为:  2 6 12 2 kx k x k Z         对称中心为: ,112 k  (2)由已知可得: 12sin 2 1 0 sin 26 6 2AA                2 66A (舍)或 52 6 6 3AA      31sin cos sinsin 3 13 22 sin sin sin 2tan 2 C CCbB c C C C C        因为 ABC 为锐角三角形 0 2 ,2 620 32 C C BC              3tan 3C 1 ,22 b c  (考查三角的变换,正弦定理,三角函数的性质). 30.在△ ABC 中, A 为锐角,且 3sin 5A  . (1)若 2AC  , 6 5BC  ,求 AB 的长; (2)若   1tan 3AB   ,求 tanC 的值. 解:(1)因为 3sin 5A  ,  π0 2A , , 所以  2 2 34cos 1 sin 1 55AA     . ……3 分 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 37 页 共 39 页 在△ ABC 中,由余弦定理 2 2 2 cos 2 b c aA bc  得,  2 2262 54 5 2 2 c c    , 解得 8 5c  ,所以 AB 的长为 8 5 . ……6 分 (2)由(1)知, 3 sin 35tan cos 4 4 5 AA A   , ……8 分 所以       31tan tan 1343tan tan 3 1 91 tan tan 1 43 A A BB A A B A A B       . ……11 分 在△ 中, πA B C   , 所以   3 13 tan tan 7949tan tan tan tan 1 3 13 3149 ABC A B AB        . ……14 分 31. 在锐角三角形 ABC 中,若 sin A=2sin Bsin C,则 tan Atan Btan C 的最小值是________. 答案:8 解析:因为 sin A=2sin Bsin C,所以 sin(B+C)=2sin Bsin C, 所以 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 等式两边同时除以 cos Bcos C,得 tan B+tan C=2tan Btan C. 又因为 tan A=-tan(B+C)= tan B+tan C tan Btan C-1, 所以 tan Atan Btan C-tan A=2tan Btan C, 即 tan Btan C(tan A-2)=tan A. 因为 A,B,C 为锐角,所以 tan A,tan B,tan C>0,且 tan A>2, 所以 tan Btan C= tan A tan A-2,所以原式= tan2A tan A-2. 令 tan A-2=t(t>0),则 tan2A tan A-2=(t+2)2 t =t2+4t+4 t =t+4 t+4≥8, 当且仅当 t=2,即 tan A=4 时取等号. 故 tan Atan Btan C 的最小值为 8. 32. 若△ ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是________. 答案: 6- 2 4 解析:由题意及正弦定理知 a+ 2b=2c, 则 cos C=a2+b2-c2 2ab = a2+b2- a+ 2b 2 2 2ab = 3 4a2+1 2b2- 2 2 ab 2ab = 3 4a2+1 2b2 2ab - 2 4 ≥ 2 3 4a2·1 2b2 2ab - 2 4 = 6- 2 4 ,当且仅当 a= 6b 3 时取等号. 33.在平面四边形 ABCD 中,AD=2,CD=4,△ ABC 为等边三角形,则△ BCD 面积的最大值 是 . 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 38 页 共 39 页 D C B A 答案:4+4 3. 解析:设△ BCD 的面积为 S, 则 S=1 2×4×BC×sin∠BCD=2BCsin(∠ACD+π 3) =BCsin∠ACD+ 3BCcos∠ACD 设∠ADC=α,则 AC sinα= 2 sin∠ACD, 于是 ACsin∠ACD=2sinα,即 BCsin∠ACD=2sinα, 又 BCcos∠ACD=AC×AC2+42-22 2AC×4 =AC2+12 8 =22+42-2×2×4cosα+12 8 =4-2cosα, 所以 S=2sinα+ 3(4-2cosα)=4sin(α-π 3)+4 3, 从而 S 的最大值为 4+4 3,此时 α=5π 6 . 34.设△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足(2a+c)BC→·BA→+cCA→·CB→=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=2 3,试求AB→·CB→的最小值. 解:(1)因为(2a+c)BC→·BA→+cCA→·CB→=0, 所以(2a+c)accosB+cabcosC=0,即(2a+c)cosB+bcosC=0. 由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0, 即 2sinAcosB+sin(C+B)=0,亦即 2sinAcosB+sinA=0, 因为 sinA≠0,故 cosB=-1 2. 因为 B∈(0,π),所以 B=2π 3 . (2)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos2π 3 ,即 12=a2+c2+ac. 因为 12=a2+c2+ac≥3ac,所以 ac≤4, 所以→AB ·CB→=accos2π 3 =-1 2ac≥-2,当且仅当 a=c=2 时取等号, 所以→AB ·CB→的最小值为-2. 35.在△ ABC 中,角 A ,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 1a  , 23b  , π 6BA. (1)求sin A 的值; (2)求 c 的值. 解:(1)在△ ABC 中,因为 1a  , 23b  , π 6BA, 由正弦定理得,   231 sin πsin 6 A A   , …… 2 分 于是 π π2 3sin sin cos cos sin66A A A,即3 3sin cosAA , …… 4 分 又 22sin cos 1AA,所以 7sin 14A  . …… 6 分 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 39 页 共 39 页 (2)由(1)知, 3 21cos 14A  , 则 33sin2 2sin cos 14A A A, 2 13cos2 1 2sin 14AA   , …… 10 分 在△ ABC 中,因为 πA B C   , π 6BA,所以 5π 26CA. 则  5πsin sin 26CA 5π 5πsin cos2 cos sin266AA 3 3 31 13 2 14 2 14    11 14 . ……12 分 由正弦定理得, sin 11 7sin 7 aCc A. …… 14 分
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