2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第二章　第7讲　函数的图象

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第二章　第7讲　函数的图象

第7讲　函数的图像 一、知识梳理 ‎1．利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线．‎ 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．‎ 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．‎ ‎2．利用图象变换法作函数的图象 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)y＝－f(x)．‎ ‎②y＝f(x)y＝f(－x)．‎ ‎③y＝f(x)y＝－f(－x)．‎ ‎④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．‎ ‎(3)翻折变换 ‎①y＝f(x)y＝|f(x)|．‎ ‎②y＝f(x)y＝f(|x|)．‎ ‎(4)伸缩变换 ‎①y＝f(x)‎ →‎ y＝f(ax)．‎ ‎②y＝f(x)‎ →‎ y＝af(x)．‎ 常用结论 ‎1．函数图象平移变换的八字方针 ‎(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．‎ ‎(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．‎ ‎2．函数图象对称的三个重要结论 ‎(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．‎ ‎(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：‎ f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．‎ 二、教材衍化 ‎1．函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)‎ A．y轴对称　　　　　　 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 解析：选C.函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.‎ ‎2．已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是(　　)‎ A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|‎ C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)‎ 解析：选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的，所以题图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C.‎ ‎3.‎ 如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．‎ 解析：在同一直角坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1，1]．‎ 答案：(－1，1]‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)‎ ‎(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　　)‎ ‎(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．　(　　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)‎ ‎(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×‎ 二、易错纠偏 (1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错；‎ ‎(2)不注意函数的定义域出错．‎ ‎1．设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)＝________．‎ 解析：与f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－log2x，再将其图象右移1个单位得到h(x)＝－log2(x－1)的图象．‎ 答案：－log2(x－1)‎ ‎2.‎ 已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．‎ 解析：当f(x)＞0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0时，x∈(2，8]．‎ 答案：(2，8]‎ ‎　　　　　　作函数的图像(师生共研)‎ ‎ 作出下列函数的图像．‎ ‎(1)y＝x2－2|x|－1.‎ ‎(2)y＝.‎ ‎(3)y＝|log2(x＋1)|.‎ ‎【解】　‎ ‎(1)先化简，再作图，‎ y＝图像如图所示．‎ ‎(2)因为y＝＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝的图象，如图 所示．‎ ‎(3)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．‎ 函数图象的三种画法 ‎(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出． ‎ ‎(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．‎ ‎(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．‎ ‎[提醒]　(1)画函数的图象时一定要注意定义域．‎ ‎(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．‎ ‎　　　　　函数图像的识别(多维探究)‎ 角度一　知式选图 ‎ (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图像大致为(　　)‎ ‎(2)(2020·淄博模拟)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的图象可能是(　　)‎ ‎【解析】　(1)因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；‎ 因为f(π)＝＝>0，所以排除C；‎ 因为f(1)＝，且sin 1>cos 1，‎ 所以f(1)>1，所以排除B.故选D.‎ ‎(2)当x→＋∞时，f(x)→－∞，‎ 故排除D；‎ 易知f(x)在R上连续，故排除B；‎ 且f(0)＝ln 2－e－1＞0，故排除C，故选A.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)A 角度二　知图选式 ‎ (1)已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－ ‎(2)(2020·洛阳第一次统考)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a＞b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图像是(　　)‎ ‎【解析】　(1)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.‎ ‎(2)由函数f(x)的大致图象可知3＜a＜4，－1＜b＜0，所以g(x)的图象是由y＝ax(3＜a＜4)的图象向下平移－b(0＜－b＜1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项A中的图像，故选A.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)A 角度三　由实际问题的变化过程探究函数图象 ‎ 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝‎ f(x)，则y＝f(x)的大致图像为　(　　)‎ ‎【解析】　根据题图中信息，可将x分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x∈[0，π)时，函数值不变，y＝f(x)＝1；当x∈[π，2π)时，设与的夹角为θ，因为||＝1，||＝2，θ＝x－π，所以y＝(－)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x，所以y＝f(x)的图象是曲线，且递增；当x∈[2π，4π)时，＝－，设与的夹角为α，||＝2，||＝1，α＝2π－x，所以y＝|O1P|2＝(－)2＝5－4cos α＝5－4cos ，函数y＝f(x)的图象是曲线，且递减．‎ ‎【答案】　A 识别函数图象的方法技巧 函数图象的识别可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．‎ ‎[提醒]　由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．　 ‎ ‎1．(2020·湖北七市(州)模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　)‎ 解析：选B.易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f(－x)＝＝－‎ eq f(3x－3－x,x4)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，则图象关于原点对称，排除A，f(1)＝3－＝>0，排除D，当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，故选B.‎ ‎2.‎ 已知函数f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可能是(　　)‎ A．f(x)＝x2－2ln |x|‎ B．f(x)＝x2－ln |x|‎ C．f(x)＝|x|－2ln |x|‎ D．f(x)＝|x|－ln |x|‎ 解析：选B.由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x＞0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，，2，1，由此可得仅函数f(x)＝x2－ln |x|符合条件．故选B.‎ ‎3．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选A.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．①中应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．‎ ‎　　　　　　函数图像的应用(多维探究)‎ 角度一　研究函数的性质 ‎ (1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是　(　　)‎ A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)‎ B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)‎ D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)‎ ‎(2)对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．‎ ‎【解析】　‎ ‎(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是减少的．‎ ‎(2)函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为.‎ ‎【答案】　(1)C　(2) ‎ 一般根据图像观察函数性质有以下几方面：一是观察函数图像是否连续以及最高点和最低点，确定定义域、值域；二是函数图像是否关于原点或y轴对称，确定函数是否具有奇偶性；三是根据图像上升与下降的情况，确定单调性．　 ‎ 角度二　解不等式 ‎ 若不等式(x－1)20，且a≠1)在x∈(1，2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(1，2] B． C．(1，) D．(，2)‎ ‎【解析】　要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)21时，如图，要使x∈(1，2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得10‎ C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0‎ ‎【解析】　‎ 函数f(x)的图像如图所示：‎ 且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x1|<|x2|，所以f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.‎ ‎【答案】　D 数形结合思想的主要方面是“以形助数”寻找解决问题的途径，在函数问题中数形结合思想的应用非常广泛．本例借助图形得出函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数的性质，进而得出结论f(x1)－f(x2)＜0.　 ‎ ‎　函数y＝ln|x－1|的图像与函数y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于(　　)‎ A．3 B．6‎ C．4 D．2‎ 解析：选B.由图象变换的法则可知，y＝ln x的图象关于y轴对称后和原来的一起构成y＝ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y＝ln|x－1|的图象；y＝－2cos πx的周期T＝2.如图所示，两图象都关于直线x＝1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x＝1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3＝6.‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·山西吕梁4月模拟)函数f(x)＝|x|sin x的图象大致是(　　)‎ 解析：选A.函数f(x)＝|x|sin x为奇函数，图象关于原点对称，可排除，B，C；又f(π)＝|π|sin π＝0，故排除D.故选A.‎ ‎2．已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是(　　)‎ 解析：选D.在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，这部分的图象不是一条线段，因此选项D不正确．故选D.‎ ‎3．(2020·湖南娄底二模)函数f(x)＝的部分图象大致是(　　)‎ 解析：选A.f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除C和D，因为f(π)<0，所以排除B.故选A.‎ ‎4.‎ 若函数f(x)＝(ax2＋bx)ex的图象如图所示，则实数a，b的值可能为(　　)‎ A．a＝1，b＝2‎ B．a＝1，b＝－2‎ C．a＝－1，b＝2‎ D．a＝－1，b＝－2‎ 解析：选B.令f(x)＝0，则(ax2＋bx)ex＝0，解得x＝0或x＝－，由图象可知，－＞1，又当x＞－时，f(x)＞0，故a＞0，结合选项知a＝1，b＝－2满足题意，故选B.‎ ‎5.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P以1 cm/s 的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图象大致为(　　)‎ 解析：选A.当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，CQ＝8－2t，则S＝f(t)＝QC×BP＝(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；当4＜t≤6时，点P在AB上，点Q在CA上，此时AP＝t，P到AC的距离为t，CQ＝2t－8，则S＝f(t)＝QC×t＝(2t－8)×t＝(t2－4t)；当6＜t≤9时，点P在BC上，点Q在CA上，此时CP＝14－t，QC＝2t－8，则S＝f(t)＝QC×CPsin ∠ACB＝(2t－8)(14－t)×＝(t－4)(14－t)．综上，函数f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A，故选A.‎ ‎6.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于________．‎ 解析：由图象可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，所以a＝2，b＝5，‎ 所以f(x)＝ 故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎7．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上是减少的，则xf(x)＞0的解集为________．‎ 解析：因为函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减少的，且f＝0，‎ 所以f＝0，且在区间(－∞，0)上是减少的，‎ 因为当x＜0，若－＜x＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0，‎ 当x＞0，若0＜x＜时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，综上xf(x)＞0的解集为∪.‎ 答案：∪ ‎8．给定min{a，b}＝已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________．‎ 解析：函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4，5)．‎ 答案：(4，5)‎ ‎9．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.‎ ‎(1)求当x＜0时，f(x)的解析式；‎ ‎(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间；‎ ‎(3)求f(x)在[－2，5]上的最小值，最大值．‎ 解：(1)设x＜0，则－x＞0，‎ 因为x＞0时，f(x)＝x2－2x.‎ 所以f(－x)＝(－x)2－2·(－x)＝x2＋2x.‎ 因为y＝f(x)是R上的偶函数，‎ 所以f(x)＝f(－x)＝x2＋2x.‎ ‎(2)函数f(x)的图象如图所示：‎ 由图可得：函数f(x)的增区间为(－1，0)和(1，＋∞)；减区间为(－∞，－1)和(0，1)．‎ ‎(3)由(2)中函数图象可得：在[－2，5]上，‎ 当x＝±1时，取最小值－1，‎ 当x＝5时，取最大值15.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)作出函数f(x)的图象；‎ ‎(3)根据图象指出f(x)的减区间；‎ ‎(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．‎ 解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.‎ ‎(2)f(x)＝x|x－4|‎ ‎＝ f(x)的图象如图所示．‎ ‎(3)f(x)的减区间是[2，4]．‎ ‎(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为(　　)‎ A．(1，3)　　　　　 B．(－1，1)‎ C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)‎ 解析：选C.f(x)的图象如图所示．‎ 当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；‎ 当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅.‎ 当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．‎ 故x∈(－1，0)∪(1，3)．‎ ‎2．(2020·山西四校联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若00，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围．‎ 解：不等式4ax－1<3x－4等价于ax－11时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；‎ 当0

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