数学卷·2018届福建省莆田七中高二上学期期中数学试卷（解析版）

数学卷·2018届福建省莆田七中高二上学期期中数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年福建省莆田七中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一．选择题（5*12=60）‎ ‎1．掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85）（g）范围内的概率是（　　）‎ A．0.62 B．0.68 C．0.02 D．0.38‎ ‎3．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（　　）‎ A．3 B．9 C．17 D．51‎ ‎4．如图所示，随机在图中撒一把豆子，则它落到阴影部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．椭圆+=1的焦点坐标是（　　）‎ A．（±7，0） B．（0，±7） C．（±，0） D．（0，±）‎ ‎7．甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是（　　）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎8．在集合{x|mx2+2x+1=0}的元素中，有且仅有一个元素是负数的充要条件（　　）‎ A．m≤1 B．m＜0或m=1 C．m＜1 D．m≤0或m=1‎ ‎9．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别为21，32，75，则输出的a，b，c分别是（　　）‎ A．75，21，32 B．21，32，75 C．32，21，75 D．75，32，21‎ ‎10．设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（　　）‎ A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3‎ ‎11．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是（　　）‎ A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠‎ ‎12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=5，则|AF1|﹣|BF2|等于（　　）‎ A．3 B．8 C．13 D．16‎ ‎　‎ 二．填空题（5*4=20）‎ ‎13．将二进制101 11（2） 化为十进制为　　；再将该数化为八进制数为　　．‎ ‎14．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为　　．‎ ‎15．若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为　　．‎ ‎16．在区间[0，9]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0，9]内的概率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．有一副扑克牌中（除去大小王）52张中随机抽一张，求 ‎（1）抽到的是红桃K的概率（2）抽到的是黑桃的概率 ‎（3）抽到的数字至少大于10的概率（A看成1）‎ ‎18．已知点和，动点C引A、B两点的距离之和为4．‎ ‎（1）求点C的轨迹方程；‎ ‎（2）点C的轨迹与直线y=x﹣2交于D、E两点，求弦DE的长．‎ ‎19．某射手进行一次射击，射中环数及相应的概率如下表 环数 ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7以下 概率 ‎0.25‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ N ‎（1）根据上表求N的值（2）该射手射击一次射中的环数小于8环的概率 ‎（3）该射手射击一次至少射中8环的概率．‎ ‎20．设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎21．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：‎ 甲：82 82 79 95 87 乙：95 75 80 90 85‎ ‎（1）用茎叶图表示这两组数据 ‎（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选哪位学生参加更合适？说明理由 ‎（3）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率．‎ ‎22．已知椭圆C：的右焦点为F1（1，0），离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△PAB的面积为，求直线AB的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省莆田七中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（5*12=60）‎ ‎1．掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是掷一颗骰子，共有6种结果，满足条件的事件是掷的奇数点，共有3种结果，根据概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的事件是掷一颗骰子，共有6种结果，‎ 满足条件的事件是掷的奇数点，共有3种结果，‎ 根据古典概型概率公式得到P=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85）（g）范围内的概率是（　　）‎ A．0.62 B．0.68 C．0.02 D．0.38‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据所给的，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量小于4.85 g的概率是0.32，利用互斥事件的概率关系写出质量在[4.8，4.85）g范围内的概率．‎ ‎【解答】解：设一个羽毛球的质量为ξg，则根据概率之和是1可以得到 P（ξ＜4.8）=0.3，P（ξ＜4.85）=0.32，‎ ‎∴P（4.8≤ξ＜4.85）=0.32﹣0.3=0.02．‎ 故选C ‎　‎ ‎3．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（　　）‎ A．3 B．9 C．17 D．51‎ ‎【考点】用辗转相除计算最大公约数．‎ ‎【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．‎ ‎【解答】解：∵459÷357=1…102，‎ ‎357÷102=3…51，‎ ‎102÷51=2，‎ ‎∴459和357的最大公约数是51，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．如图所示，随机在图中撒一把豆子，则它落到阴影部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件对应的图形是整个圆．而满足条件的事件对应的是阴影部分，根据几何概型概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，‎ 试验包含的所有事件是对应的图形是整个圆，‎ 而满足条件的事件是事件对应的是阴影部分，‎ 由几何概型概率公式得到P==．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．设集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由“x∈M，或x∈P”⇒“x∈M∪P”，“x∈M∩P”⇒“x∈M，且x∈P”⇒“x∈M，或x∈P”，知“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．‎ ‎【解答】解：∵集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，‎ ‎∴“x∈M，或x∈P”⇒“x∈M∪P”，‎ ‎“x∈M∩P”⇒“x∈M，或x∈P”，‎ ‎∴“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．椭圆+=1的焦点坐标是（　　）‎ A．（±7，0） B．（0，±7） C．（±，0） D．（0，±）‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】利用椭圆的简单性质求解．‎ ‎【解答】解：椭圆+=1中，‎ c==，‎ ‎∴椭圆+=1的焦点坐标是（0，）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是（　　）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】甲，乙两人随意入住两间空房，每人有两种住法，故两人有2×2=4种住法，且每种住法出现的可能性相等，故为古典概型．只要再计算出甲乙两人各住一间房的住法种数A22=2，求比值即可．‎ ‎【解答】解：由题意符合古典概型，其概率为P=‎ 故选C ‎　‎ ‎8．在集合{x|mx2+2x+1=0}的元素中，有且仅有一个元素是负数的充要条件（　　）‎ A．m≤1 B．m＜0或m=1 C．m＜1 D．m≤0或m=1‎ ‎【考点】充要条件．‎ ‎【分析】若方程为一元一次方程 即m=0时，解得x=﹣符合题目要求；若方程为一元二次方程时，方程有解，△=4﹣4a≥0，解得 m≤1．设方程两个根为 x1，x2，x1•x2=＜0，得到 m＜0．验证当m=1时 方程为 x2+2x+1=0，解得x=﹣1，符合题目要求．‎ ‎【解答】解：若方程为一元一次方程 即m=0时，‎ 解得x=﹣，符合题目要求；‎ 若方程为一元二次方程，即m≠0时，‎ 方程有解，△=4﹣4a≥0，解得 m≤1，‎ 设方程两个根为 x1，x2，‎ x1•x2=＜0，得到 m＜0．‎ 验证：‎ 当m=1时 方程为 x2+2x+1=0，解得x=﹣1，符合题目要求．‎ 综上所述，m≤0或m=1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别为21，32，75，则输出的a，b，c分别是（　　）‎ A．75，21，32 B．21，32，75 C．32，21，75 D．75，32，21‎ ‎【考点】设计程序框图解决实际问题．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是按顺序交换变量a，b，c的值．模拟程序的执行过程，易得答案．‎ ‎【解答】解：由流程图知，‎ a赋给x，x赋给b，所以a的值赋给b，即输出b为21，‎ c的值赋给a，即输出a为75．‎ b的值赋给a，即输出c为32．‎ 故输出的a，b，c的值为75，21，32‎ 故选A ‎　‎ ‎10．设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（　　）‎ A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，‎ x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，‎ x＞3是x＞2的充分条件，‎ x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，‎ 故选：A ‎　‎ ‎11．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是（　　）‎ A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】先根据椭圆的标准方程，进而根据焦点在y轴推断出2﹣m2＞m＞0，从而求得m的范围．‎ ‎【解答】解：由题意，‎ ‎∴2﹣m2＞m＞0，‎ 解得：0＜m＜1，‎ ‎∴实数m的取值范围是0＜m＜1．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=5，则|AF1|﹣|BF2|等于（　　）‎ A．3 B．8 C．13 D．16‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=8，由|AB|=5，可知|AF2|+|BF2|=5，从而可求|AF1|﹣|BF2|．‎ ‎【解答】解：∵过F2的直线交椭圆于点A，B，‎ ‎∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=8，‎ ‎∵|AB|=5，‎ ‎∴|AF2|+|BF2|=5‎ ‎∴|AF1|﹣|BF2|=|AF1|+|AF2|﹣（|AF2|+|BF2|）=8﹣5=3，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二．填空题（5*4=20）‎ ‎13．将二进制101 11（2） 化为十进制为　23（10）　；再将该数化为八进制数为　27（8）　．‎ ‎【考点】进位制．‎ ‎【分析】利用二进制数化为“十进制”的方法可得10111（2）=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=23，再利用“除8取余法”即可得出．‎ ‎【解答】解：二进制数10111（2）=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=23．‎ ‎23÷8=2…7‎ ‎2÷8=0…2‎ 可得：23（10）=27（8）‎ 故答案为：23（10），27（8）．‎ ‎　‎ ‎14．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为　∃x∈R，sinx＞1　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题，其否定为特称命题，将“任意的”改为“存在”，“≤“改为“＞”可得答案．‎ ‎【解答】解：∵命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题 ‎∴¬p：∃x∈R，sinx＞1‎ 故答案为：∃x∈R，sinx＞1．‎ ‎　‎ ‎15．若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为　4　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：m2+1＞1，则椭圆的焦点在x轴上，椭圆的离心率e====，解得：m2=3，它的长半轴长2a=4．‎ ‎【解答】解：由题意可知：m2+1＞1，则椭圆的焦点在x轴上，‎ 即a2=m2+1，b=1，则c=m2+1﹣1=m2，‎ 由椭圆的离心率e====，解得：m2=3，‎ 则a=2，‎ 它的长半轴长2a=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．在区间[0，9]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0，9]内的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】首先分析题目求这两个数的平方和也在区间[0，9]内的概率，可以联想到用几何的方法求解，利用面积的比值直接求得结果．‎ ‎【解答】解：将取出的两个数分别用x，y表示，则x，y∈[0，9]‎ 要求这两个数的平方和也在区间[0，9]内，即要求0≤x2+y2≤9，‎ 故此题可以转化为求0≤x2+y2≤9在区域内的面积比的问题．‎ 即由几何知识可得到概率为 =；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．有一副扑克牌中（除去大小王）52张中随机抽一张，求 ‎（1）抽到的是红桃K的概率（2）抽到的是黑桃的概率 ‎（3）抽到的数字至少大于10的概率（A看成1）‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】求出基本事件数与总数的比值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（2）∵一副除去大小王的52张扑克牌中红桃K共有1张，‎ ‎∴随机抽取一张，这张牌为红桃K的概率=．‎ ‎（2）∵一副除去大小王的52张扑克牌中黑桃共有13张，‎ ‎∴随机抽取一张，这张牌为黑桃的概率是=．‎ ‎（3）∵一副除去大小王的52张扑克牌中抽到的数字至少大于10的共12张，‎ ‎∴随机抽取一张，抽到的数字至少大于10的概率==．‎ ‎　‎ ‎18．已知点和，动点C引A、B两点的距离之和为4．‎ ‎（1）求点C的轨迹方程；‎ ‎（2）点C的轨迹与直线y=x﹣2交于D、E两点，求弦DE的长．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）运用椭圆的定义和a，b，c的关系，可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）点C的轨迹与直线y=x﹣2联立，得5x2﹣16x+12=0，利用弦长公式，由此能求出线段DE的长．‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆的定义可知，曲线是以A，B为焦点的椭圆，‎ 且2a=4，即a=2，c=，b=1，‎ 即有点C的轨迹方程为+y2=1；‎ ‎（2）点C的轨迹与直线y=x﹣2联立，得5x2﹣16x+12=0，‎ 设D（x1，y1）、E（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∴|DE|==．‎ 故线段DE的长为．‎ ‎　‎ ‎19．某射手进行一次射击，射中环数及相应的概率如下表 环数 ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7以下 概率 ‎0.25‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ N ‎（1）根据上表求N的值（2）该射手射击一次射中的环数小于8环的概率 ‎（3）该射手射击一次至少射中8环的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）利用概率和为1求解即可；‎ ‎（2）利用对立事件的概率公式可得；‎ ‎（3）利用互斥事件的概率公式求解即可 ‎【解答】解：某人射击一次命中7环、8环、9环、10环、7以下的事件分别记为A、B、C、D，E 则可得P（A）=0.15，P（B）=0.2，P（C）=0.3，P（D）=0.25‎ ‎（1）P（E）=1﹣0.25﹣0.3﹣0.2﹣0.15=0.1；‎ ‎（2）射中环数不足8环，P=1﹣P（B+C+D）=1﹣0.75=0.25；‎ ‎（3）至少射中8环即为事件A、B、C有一个发生，据互斥事件的概率公式可得 P（A+B+C+D）=P（A）+P（B）+P（C）=0.15+0.2+0.3=0.65．‎ ‎　‎ ‎20．设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是4×3个，满足条件的事件是方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ 设事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”．‎ 当a＞0，b＞0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b．‎ 基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），‎ ‎（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．‎ 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．‎ 事件A中包含9个基本事件，‎ ‎∴事件A发生的概率为．‎ ‎　‎ ‎21．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：‎ 甲：82 82 79 95 87 乙：95 75 80 90 85‎ ‎（1）用茎叶图表示这两组数据 ‎（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选哪位学生参加更合适？说明理由 ‎（3）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．‎ ‎【分析】（1）由已知能作出茎叶图．‎ ‎（2）分别求出平均数和方差，由甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，知派甲参赛比较合理．‎ ‎（3）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25，列举出甲的成绩比乙的成绩高的个数，由此能求出从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率．‎ ‎【解答】解：（1）作出茎叶图如下图：‎ ‎（2）派甲参赛比较合理．‎ 理由是： =（79+82+82+87+95）=85．‎ ‎=（75+95+80+90+85）=85，‎ ‎= [（82﹣85）2+（82﹣85）2+（79﹣85）2+（95﹣85）2+（87﹣85）2]=31.6，‎ ‎= [（75﹣85）2+（95﹣85）2+（80﹣85）2+（90﹣85）2+（85﹣85）2]=50，‎ 为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，‎ 所以甲发挥稳定．故派甲参赛比较合理．‎ ‎（3）设甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，‎ 则从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25．‎ 其中甲的成绩比乙的成绩高的个数为：‎ ‎（82，75），（82，80），（79，75），（87，75），（87，80），（87，85）（95，90），‎ ‎（95，75），（95，80），（95，85），（82，75），（82，80）共12个．‎ 所以从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率为p=．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C：的右焦点为F1（1，0），离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△PAB的面积为，求直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆的右焦点为F1（1，0），离心率为，建立方程，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理面结合△PAB的面积为，即可求直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：c=1，，所以a=2，所以b2=a2﹣c2=3．‎ 所以椭圆C的标准方程为，左顶点P的坐标是（﹣2，0）．…‎ ‎（Ⅱ）根据题意可设直线AB的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0．‎ 所以△=36m2+36（3m2+4）＞0，y1+y2=﹣，y1y2=﹣．…‎ 所以△PAB的面积S==．…‎ 因为△PAB的面积为，所以=．‎ 令t=，则，解得t1=（舍），t2=2．‎ 所以m=±．‎ 所以直线AB的方程为x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0．…‎ ‎　‎