2019-2020学年江苏省南通市海安市海安高级中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省南通市海安市海安高级中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省南通市海安市海安高级中学高一上学期10月月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接根据并集的定义写出A∪B．‎ ‎【详解】‎ A＝{x|﹣1＜x＜3}，‎ B＝{x|1＜x＜2}，‎ 则A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集的定义及运算问题，是基础题．‎ ‎2．将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的函数式为，则、的值为（ ）‎ A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎【答案】C ‎【解析】先将变换后的函数的解析式化为顶点式，利用逆向变换，即先将该函数向上平移个单位，再向左平移个单位，得出函数的解析式，表示为一般形式后可得出、的值.‎ ‎【详解】‎ 将二次函数的解析式表示为顶点式得.‎ 利用逆向变换，先将该函数向上平移个单位，所得函数的解析式为，再将所得函数的图象向左平移个单位，得到函数的解析式为，‎ 因此，，，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数图象变换，解题的关键就是利用逆向变换，从已知函数到所求函数，逐步写出每一步所得函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎3．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ ‎ 是奇函数，故 ；又 是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为 ‎，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.‎ ‎4．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出当或时函数值为，当时函数值为，再利用二次函数的图象分析可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 如下图所示：‎ ‎，当时，；当或时，.‎ 由二次函数图象可知，当时，函数在区间上的最小值为，最大值为，因此，实数的取值范围是，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的基本性质，解题的关键就是利用二次函数的对称性来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎5．若关于的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中错误的个数是( )‎ ‎（1）当时，；（2）；（3）当时，；（4）二次函数的图象与轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据方程的解的定义可以判定（1）正确；根据二次函数的最值问题，且结合题意可以判定（2）正确；根据二次函数图象平移的有关性质可以判定（3）错误；根据二次函数与x轴交点的有关性质可以判定（4）正确．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵m＝0时，方程为（x﹣2）（x﹣3）＝0，‎ ‎∴x1＝2，x2＝3，故（1）正确；‎ ‎（2）设y＝（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6＝（x）2，‎ ‎∴y的最小值为，故（2）正确；‎ ‎（3）∵一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的两根为x1＝2，x2＝3，‎ ‎（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1、x2，‎ 又m＞0时，令函数y′＝（x﹣2）（x﹣3）﹣m与x轴交于（x1，0），（x2，0），‎ 则y′＝（x﹣2）（x﹣3）﹣m是由y=（x﹣2）（x﹣3）向下平移了m个单位，∴x1＜2＜3＜x2，故（3）错误；‎ ‎（4）∵y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m＝（x﹣2）（x﹣3）﹣m+m＝（x﹣2）（x﹣3），‎ ‎∴函数与x轴交于点（2，0），（3，0）．故（4）正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线与x轴交点问题、一元二次方程与抛物线的关系、函数图象的平移问题，解题的关键是理解题意以及掌握一元二次方程与二次函数的关系，属于基础题.‎ ‎6．若函数为奇函数，则实数的值分别为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式的步骤即可得到x＜0时，f（x）的解析式，与已知对比得到所求.‎ ‎【详解】‎ 任取x＜0则﹣x＞0，‎ ‎∵x≥0时，f（x）＝x3+2x2+3x，‎ ‎∴f（﹣x）＝﹣x3+2x2﹣3x，①‎ 又函数y＝f（x）在R上为奇函数 ‎∴f（﹣x）＝﹣f（x）②‎ 由①②得x＜0时，f（x）＝x3﹣2x2+3x，∴，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数的性质，考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，这是函数奇偶性的一个重要应用，解决此类题的关键是正确理解定义及步骤．‎ ‎7．设函数对的一切实数均有，则（ ）‎ A．－ B．2017 C．2018 D．4036‎ ‎【答案】A ‎【解析】将x换成再构造一个等式，然后消去f（），得到f（x）的解析式，最后可求得f（2019）．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）+2f（）＝6x①‎ ‎∴f（）+2f（x）②‎ ‎∴①﹣②×2得﹣3f（x）＝6x ‎∴f（x）＝﹣2x，‎ ‎∴f（2019）＝﹣4038+4＝﹣4034.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式的求法，属中档题．‎ ‎8．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）‎ A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数 ‎【答案】D ‎【解析】由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.‎ ‎【详解】‎ 由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，‎ ‎.‎ 当时，由于函数和函数在上都为增函数，‎ 此时，函数在上为增函数；‎ 当时，在上为增函数；‎ 当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，‎ ‎，所以，函数在上为增函数.‎ 综上所述：函数在区间上为增函数，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.‎ ‎9．对任意，函数，则的最小值为(　　 )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别作出三个函数的图象，利用数形结合求出f（x）的最小值 ‎【详解】‎ 分别作出y＝﹣x+3，yx，y＝x2﹣4x+3的图象如图：（阴影部分对应的曲线ABCDE），‎ 则由图象可知函数f（x）在C处取得最小值，‎ 由，得x＝1，y＝2，即f（x）的最小值为2．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数最值的判断，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎10．若函数，在区间和上均为增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析出函数为偶函数，根据偶函数的性质并结合题意得出在区间上为减函数，在区间上为增函数，可得出，由此求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由于函数为上的偶函数，‎ 因此只需考虑函数在上的单调性即可.‎ 由于函数在区间和上均为增函数，‎ 所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，‎ ‎，解得，因此，实数的取值范围是，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，解题时要注意分析函数的奇偶性，结合函数的奇偶性与单调性的关系进行求解，同时也涉及到二次函数的单调性，属于中等题.‎ ‎11．设集合且A中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为（ ）‎ A．17 B．18 C．15 D．16‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知中A⊆{1，2，3，…，37}，且A中任意两数之和不能被5整除，我们可根据1～37中各数除以5的余数将数分为5类，进而分析出集合A中元素的最多个数，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 可将A集合分为5组：‎ A0＝{5，10，15，20，25，30，35}，则card（A0）＝7 ‎ A1＝{1，6，11，16，21，26，31，36}，则card（A1）＝8 ‎ A2＝{2，7，12，17，22，27，32，37}，则card（A2）＝8‎ A3＝{3，8，13，18，23，28，33}，则card（A3）＝7 ‎ A4＝{4，9，14，19，24，29，34}，则card（A4）＝7 ‎ A中的任何两个数之和不能被5整除，故A1和A4，A2和A3中不能同时取数，且A0中最多取一个，‎ 所以最多的取法是取A1A2和A0中的一个元素，‎ 故card（A）max＝8+8+1＝17‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中根据已知对1～37各数根据除以5的余数将数分为5类，进而分析出结果，是解答本题的关键．‎ ‎12．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用对勾函数求得在的最小值，再得图象向右移动个单位，其函数值扩大倍，从而求解.‎ ‎【详解】‎ 当时，的最小值是 由知 当时，的最小值是 当时，的最小值是 要使，则，‎ 解得：或 ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对勾函数和的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度题.‎ 二、填空题 ‎13．若集合，，则实数的取值集合为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得B⊆A，从而B＝∅或B＝{﹣1}，或B＝{3}，进而不存在，或1或，由此能求出实数a的取值集合．‎ ‎【详解】‎ ‎∵A＝{x|x2﹣2x-3＝1}＝{﹣1，3}，B＝{x|ax＝1}，且A∩B＝B，‎ ‎∴B⊆A，‎ ‎∴B＝∅或B＝{﹣1}，或B＝{3}，‎ B＝∅时，a＝0；‎ B∅时，B＝{x|ax＝1}＝{}，∴1或，‎ 解得a＝﹣1或a＝．‎ ‎∴实数a的取值集合为 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．‎ ‎14．函数的定义域是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ ‎，‎ 解得：﹣4≤x≤4且x≠2，‎ 故函数的定义域是{x|﹣4≤x≤4且x≠2}，‎ 故答案为：[﹣4，2)．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．‎ ‎15．已知, 则的解析式为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用换元法设t2（t≥2），则t﹣2，代入求出即可．‎ ‎【详解】‎ 设t2（t≥2），则t﹣2，即x＝（t﹣2）2，‎ ‎∴f（t）＝（t﹣2）2+4（t﹣2）＝t2﹣4，‎ ‎∴f（x）＝x2﹣4（x≥2）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的解析式问题，换元法是常用方法之一，是基础题．‎ ‎16．已知为定义在上的偶函数，，且当时，‎ 单调递增，则不等式的解集为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，分析可得f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g（x+2），由函数奇偶性的定义分析可得g（x）为偶函数，结合函数的单调性分析可得g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＞|x+2|，解可得x的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，g（x）＝f（x）+x2，‎ 则f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g（x+2），‎ 若f（x）为偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即可得函数g（x）为偶函数，‎ 又由当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x）在[0，+∞）上递减，‎ 则g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＜|x+2|⇒（x+1）2＜（x+2）2，解可得x，‎ 即不等式的解集为（，+∞）；‎ 故答案为：（，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（3，4]；（2）[0，2]．‎ ‎【解析】（1）化简集合A，B根据交集的定义计算即可；‎ ‎（2）根据子集的概念，列出不等式组，求出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）A：（x﹣2）（x﹣4）≤0，则A＝[2，4]；‎ B：x＞3或x≤1，则B＝（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）；‎ 则A∩B＝（3，4]；‎ ‎（2）C：（x﹣a）[x﹣（a+4）]≤0，则a≤x≤a+4，‎ 因为A⊆C，则，‎ 所以，解得a∈[0，2]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的定义与应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，是基础题目．‎ ‎18．已知函数，.‎ ‎（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，作出函数的图象，并求的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）化简函数为分段函数，利用f（x）在R上是增函数，列出不等式组即可求实数a的取值范围；‎ ‎（2）当a＝1时，作出函数f（x）的图象，并得到值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）已知 ‎∵f（x）在R上是增函数，∴；‎ ‎（2）当a＝1时，，‎ 图象如图，‎ 由图可得值域为[1，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的单调性及函数图象，考查数形结合思想方法的应用．‎ ‎19．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性.‎ ‎【答案】（1）1,0；（2）,证明见解析.‎ ‎【解析】（1）根据条件可得f（0）＝0，f（﹣2）＝﹣1，解不等式组即可；‎ ‎（2）将a，b的值代入f（x）中，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式的步骤即可得到函数在区间上的解析式，再利用定义证明f（x）的单调性即可；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可知，函数是定义在上的奇函数，且，‎ 则，解得；‎ ‎（2）由（1）可知当时，，‎ 当时，‎ 任取，且，‎ 且，则 于是，所以在上单调递增.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性的应用和单调性的证明，属基础题．‎ ‎20．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．‎ ‎（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？‎ ‎（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．‎ ‎【答案】（1）40元；（2）销售至少达10.2万件，每件定价30元.‎ ‎【解析】（1）设每件定价为x元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；‎ ‎（2）依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8+50（x2﹣600）x有解，等价于x＞25时，ax有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设每件定价为t元，依题意得（8）x≥25×8，‎ 整理得t2﹣65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．‎ 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．‎ ‎（2）依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8+50（x2﹣600）x有解，‎ 等价于x＞25时，ax有解．‎ 由于x≥2 10，当且仅当，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2．‎ 当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．‎ ‎【点睛】‎ 解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义.‎ ‎21．定义域为的函数满足：对于任意的实数都有成立，且当时， 恒成立，且是一个给定的正整数）．‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；‎ ‎（2）判断并证明的单调性；若函数在上总有成立，试确定应满足的条件；‎ ‎（3）当时，解关于的不等式．‎ ‎【答案】（1）为奇函数，证明见解析；（2）f（x）在（-∞，+∞）上是减函数,证明见解析；f（1）∈[-5，0）（3）①当时，原不等式的解集为或；②当时，原不等式的解集为；③当 时，原不等式的解集为或}．‎ ‎【解析】（1）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数关系，利用赋值法进行证明;‎ ‎（2）结合函数单调性的定义以及最值函数成立问题进行证明即可;‎ ‎（3）利用抽象函数关系，结合函数奇偶性和单调性定义转化为一元二次不等式，讨论参数的范围进行求解即可;‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（x）为奇函数，证明如下；‎ 由已知对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y） 恒成立．‎ 令 x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．‎ 令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=0．‎ 所以对于任意x，都有f（-x）=-f（x）．‎ 所以f（x）是奇函数．‎ ‎（2）设任意x1，x2且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，由已知f（x2﹣x1）＜0，‎ 又f（x2﹣x1）＝f（x2）+f（﹣x1）＝f（x2）﹣f（x1）＜0‎ 得f（x2）＜f（x1），‎ 根据函数单调性的定义知f（x）在（﹣∞，+∞） 上是减函数．‎ 所以f（x）在[﹣2，5]上的最大值为f（﹣2）．‎ 要使f（x）≤10恒成立，当且仅当f（﹣2）≤10，‎ 又因为f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣f（1+1）＝﹣2f（1）‎ 所以f（1）≥﹣5．‎ 又x＞1，f（x）＜0，‎ 所以f（1）∈[﹣5，0）．‎ ‎（3）∵．，‎ ‎∴f（ax2）-f（a2x）＞n2[f（x）-f（a）]．‎ 所以f（ax2-a2x）＞n2f（x-a），‎ 所以f（ax2-a2x）＞f[n2（x-a）]，‎ 因为f（x） 在 （-∞，+∞） 上是减函数，‎ 所以ax2-a2x＜n2（x-a）．‎ 即（x-a）（ax-n2）＜0，‎ 因为a＜0，所以（x-a）（x）＞0．‎ 讨论：‎ ‎①当a＜＜0，即a＜-n时，原不等式的解集为{x|x＞或x＜a}；‎ ‎②当a=，即a=-n时，原不等式的解集为{x|x≠-n}；‎ ‎③当＜a＜0，即-n＜a＜0 时，原不等式的解集为{x|x＞a或x＜}．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义，利用赋值法是解决本题的关键．考查学生的转化能力，综合性较强，有一定的难度．‎ ‎22．如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”.‎ ‎（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值的集合，若不具有“性质”，请说明理由；‎ ‎（2）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域；‎ ‎（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图像与直线有2017个公共点，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2），函数的值域为；‎ ‎，函数的值域为；，函数的值域为；，函数的值域为；（3）.‎ ‎【解析】（1）根据题意可知，由待定系数法可求得； ‎ ‎（2）由新定义可推出为偶函数，从而求出在上的解析式，讨论m与的关系判断的单调性得出的最值；  （3）根据新定义可知为周期为2的偶函数，作出的函数图象，根据函数图象得出p的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）假设具有“性质”，则恒成立， ‎ 等式两边平方整理得，，因为等式恒成立，‎ 所以，解得，‎ 则所有的值的集合为；‎ ‎（2）因为函数具有“性质”，‎ 所以恒成立，是偶函数.     设，则，.   ①当时，函数在上递增，值域为.   ②当时，函数在上递减，在上递增，  ，，值域为.      ③当时，，，值域为. ④时，函数在上递减，值域为.    （3）既具有“性质”，即，函数为偶函数，  又既具有“性质”，即，  函数是以2为周期的函数.     作出函数的图象如图所示： ‎ ‎  由图象可知，当时，函数与直线交于点，即有无数个交点，不合题意.    当时，在区间上，函数有1008个周期，要使函数的图象与直线有2017个交点，  则直线与函数y=g(x)的图像在每个周期内都应有2个交点，且第2017个交点恰好为，所以， 同理，当时，， 综上，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考查分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题.‎