2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十九直线与圆圆与圆的位置关系苏教版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十九直线与圆圆与圆的位置关系苏教版

核心素养测评四十九 直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2020·徐州模拟)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为 (　　)‎ A.(x+2)2+(y-2)2=1‎ B.(x-2)2+(y+2)2=1‎ C.(x+2)2+(y+2)2=1‎ D.(x-2)2+(y-2)2=1‎ ‎【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(-1,1),关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为(2,-2),所求的圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.‎ ‎2.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m= (　　)‎ A.21 B.19 C.9 D.-11‎ ‎【解析】选C.圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=,由两圆相外切,得|C‎1C2|=r1+r2=1+=5,所以m=9.‎ ‎3.过点(0,1)且倾斜角为的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长 为 (　　)‎ A. B.2 C.2 D.4‎ ‎【解析】选D.过点(0,1)且倾斜角为的直线l为y-1=x,即x-y+1=0,‎ 因为圆x2+y2-6y=0,即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,圆心到直线l:x-y+1=0的距离d==1,所以直线被圆截得的弦长l=2=4.‎ ‎4.若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则点P(b,a)与圆C的位置关系 是 (　　)‎ A.点在圆上 B.点在圆外 - 7 -‎ C.点在圆内 D.不能确定 ‎【解析】选C.直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则>1,即a2+b2<1,‎ 所以点P(b,a)在圆C内部.‎ ‎5.(多选)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以 是 (　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解析】选AB.圆C的方程为x2+y2-4x=0,则圆心为C(2,0),半径R=2.‎ 设两个切点分别为A、B,则由题意可得四边形PACB为正方形,故有PC=R=2,‎ 所以圆心到直线y=k(x+1)的距离小于或等于PC=2,‎ 即≤2,解得k2≤8,可得-2≤k≤2,‎ 所以实数k的取值可以是1,2.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.(2020·合肥模拟)已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,则ab的最大值为________. ‎ ‎【解析】由已知得圆C1的圆心C1(a,-2),圆C2的圆心C2(-b,-2),由两圆外切可知|a+b|=3,故a2+2ab+b2=9,所以4ab≤9,所以ab≤.‎ 答案:‎ ‎7.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是________.  ‎ - 7 -‎ ‎【解析】切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得=,解得c=±5.‎ 答案:2x+y+5=0或2x+y-5=0‎ ‎8.(2020·杭州模拟)已知直线l:x+y-m=0被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦长为2,则圆心C到直线l的距离是________,m=________. ‎ ‎【解析】圆的标准方程为(x-1)2+y2=4,圆心C(1,0),半径r=2,‎ 根据几何法得:d===1,所以|1-m|=2,得m=-1或3.‎ 答案:1　-1或3‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.‎ ‎(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时,求直线l的方程.‎ ‎(2)设过点P的直线与圆C交于A,B两点,当AB=4时,求以线段AB为直径的圆的方程.‎ ‎【解析】(1)由x2+y2-6x+4y+4=0,得(x-3)2+(y+2)2=9,所以圆心为C(3,-2),半径r=3;‎ 若直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则方程为y=k(x-2),‎ 因为直线l与圆心C(3,-2)的距离为1,‎ 所以=1,解得k=-;‎ 所以直线l的方程为y=-(x-2),即3x+4y-6=0;‎ 当直线l的斜率k不存在时,l的方程为x=2,满足题意;‎ 所以直线l的方程为3x+4y-6=0或x=2.‎ ‎(2)因为圆的半径r=3,AB=4,‎ 所以弦心距d==,‎ 又CP=,所以点P(2,0)为AB的中点,所以以线段AB为直径的圆的方程为(x-2)2+y2=4.‎ - 7 -‎ ‎10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆M经过点A(1,0),B(3,0),C(0,1).‎ ‎(1)求圆M的方程.‎ ‎(2)若直线l:mx-2y-(‎2m+1)=0与圆M交于点P,Q,且·=0,求实数m的值.‎ ‎【解析】(1)方法一(待定系数法):‎ 设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,‎ 则解得 所以圆M的方程为x2+y2-4x-4y+3=0.‎ 方法二(直接法):‎ 线段AC的垂直平分线的方程为y=x,线段AB的垂直平分线的方程为x=2,由 解得M(2,2).所以圆M的半径r=AM=,‎ 所以圆M的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.‎ ‎(2)因为·=0,所以∠PMQ=.又由(1)得MP=MQ=r=,所以点M到直线l的距离d=.‎ 由点到直线的距离公式可知,=,解得m=±.‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab的最大值为 (　　)‎ A.15 B‎.9 ‎ C.1 D.-‎ ‎【解析】选B.由题意得,原点到直线x+y=2k的距离d=≤,且k2-2k+3>0,解得-3≤k≤1,因为2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k2-2k+3)=3k2+2k-3,‎ - 7 -‎ 所以当k=-3时,ab取得最大值9.‎ ‎2.(5分)(2019·江西模拟)已知圆O:x2+y2=9,过点C(2,1)的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,直线l的方程为 (　　)‎ A.x-y-3=0或7x-y-15=0‎ B.x+y+3=0或7x+y-15=0‎ C.x+y-3=0或7x-y+15=0‎ D.x+y-3=0或7x+y-15=0‎ ‎【解析】选D.当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,则P,Q的坐标为(2,),(2,-),‎ 所以S△OPQ=×2×2=2.‎ 当直线l的斜率存在时,‎ 设l的方程为y-1=k(x-2),‎ 则圆心到直线PQ的距离d=,‎ 由平面几何知识得|PQ|=2,‎ S△OPQ=·|PQ|·d=·2·d ‎=≤ =,当且仅当9-d2=d2,即d2=时,‎ S△OPQ取得最大值.‎ 因为2<,所以S△OPQ的最大值为,‎ - 7 -‎ 此时=,解得k=-1或k=-7,此时直线l的方程为x+y-3=0或7x+y-15=0.‎ ‎3.(5分)(2020·长沙模拟)已知m>0,n>0,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是________. ‎ ‎【解析】因为m>0,n>0,直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1,‎ 所以=1,‎ 即|m+n|=.‎ 两边平方并整理得mn=m+n+1.‎ 由基本不等式mn≤可得m+n+1≤,即(m+n)2-4(m+n)-4≥0解得m+n≥2+2.当且仅当m=n时等号成立.‎ 答案:(2+2,+∞)‎ ‎4.(10分)已知圆(x-1)2+y2=25,直线ax-y+5=0与圆相交于不同的两点A,B. ‎ ‎(1)求实数a的取值范围.‎ ‎(2)若弦AB的垂直平分线l过点P(-2,4),求实数a的值.‎ ‎【解析】(1)由题设知<5,故‎12a2‎-5a>0,‎ 所以a<0或a>.‎ 故实数a的取值范围为(-∞,0)∪.‎ ‎(2)圆(x-1)2+y2=25的圆心坐标为(1,0),‎ - 7 -‎ 又弦AB的垂直平分线过圆心(1,0)及P(-2,4),所以kl==-,‎ 又kAB=a,且AB⊥l,所以kl·kAB=-1,‎ 即a·=-1,所以a=.‎ ‎5.(10分)已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上. ‎ ‎(1)求圆C的方程.‎ ‎(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.‎ ‎【解析】(1)设圆心的坐标为C(a,-‎2a),‎ 则=.‎ 化简,得a2‎-2a+1=0,解得a=1.‎ 所以C点坐标为(1,-2),‎ 半径r=|AC|==.‎ 故圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.‎ ‎(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.‎ ‎②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,由题意得=1,解得k=-,‎ 则直线l的方程为y=-x.‎ 综上所述,直线l的方程为x=0或3x+4y=0.‎ - 7 -‎