福建省漳州市第八中学2019-2020学年高二上学期期中考试 数学

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福建省漳州市第八中学2019-2020学年高二上学期期中考试 数学

漳州八中 ‎2019-2020学年上学期期中考试高二数学试卷 ‎ (全卷满分:150 分 考试用时:120 分钟)‎ ‎ ‎ 一、选择题:(共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。)‎ ‎1. 已知曲线方程为,为曲线上任意一点,为曲线的焦点,则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 抛物线的焦点坐标是 A.(0,1) B. (1,0) C. (0,) D.(,0)‎ ‎3.2017年3月2日至16日,全国两会在北京召开,甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示,设甲、乙的数据平均数分别为,中位数分别为,则 A., B., C., D.,‎ ‎4. 双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D.‎ ‎5.下列对一组数据的分析,不正确的说法是 ‎ A、数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 B、数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定 C、数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定 D、数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 ‎6. “”是“方程”表示焦点在轴上的椭圆”的 ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 ‎7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若,则的值为 A.10 B.8 C.6 D.4‎ ‎8.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么互斥而不对立的事件是 ‎ A.恰有一个红球与恰有二个红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.至少有一个红球与都是红球 ‎9..过点的直线与抛物线相交于两点,若为中点,则直线的方程是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论,利用尺规作图可画出己 知线段的黄金分割点,具体方法如下:(l)取线段,过点作的垂线,并用圆规在垂线上截取,连接;(2)以为圆心,为半径画弧,交 于点;(3)以为圆心,以为半径画弧,交于点.则点即为线段的黄金分割点.若在线段上随机取一点F,则使得的概率约为 (参考数据:)‎ ‎ A.0.618 B. 0.472 C.0.382 D.0.236 ‎ ‎11.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知双曲线:的左、右焦点分别为、,过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若,,则的离心率为 ‎ A. B. C. D . ‎ 二、填空题(共4小题,每题5分,共20分)‎ ‎13.设命题,则为______ .‎ ‎14.为椭圆上一点,、为左右焦点,若,则△的面积为 ; ‎ ‎15.过双曲线右焦点作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线和双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为 ‎ ‎16.以下四个关于圆锥曲线的命题:‎ ‎(1)直角坐标系内,到点和到直线距离相等的点的轨迹是抛物线;‎ ‎(2)设为两个定点,若,则动点的轨迹为双曲线;‎ ‎(3)方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率;‎ ‎(4)若直线和没有交点,则过点的直线与椭圆的交点个数为.其中真命题的序号为   .(写出所有真命题的序号)  ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17. (本小题满分10分)已知命题,命题,若命题为真命题,命题为假命题,求实数的取值范围.‎ ‎18. (本小题满分12分)某地区有小学21所,中学14所,大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校,对学生进行视力检查.‎ ‎(Ⅰ) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;‎ ‎(Ⅱ) 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析:‎ ①列出所有可能抽取的结果;②求抽取的2所学校没有大学的概率.‎ ‎19.(本小题满分12分)已知椭圆的右焦点为,且椭圆上的点到点的最大距离为3,为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)过右焦点倾斜角为的直线与椭圆交于、两点,求弦长 ‎20. (本小题满分12分)某市政府为了引导居民合理用水,决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价:若用水量不超过12吨时,按4元/吨计算水费;若用水量超过12吨且不超过14吨时,超过12吨部分按6.60元/吨计算水费;若用水量超过14吨时,超过14吨部分按7.80元/吨计算水费.为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100户居民的月用水量(单位:吨),将数据按照,,…,分成8组,制成了如图1所示的频率分布直方图.‎ ‎(图1) (图2)‎ ‎(Ⅰ)试估计100户居民用水价格的平均数和中位数;‎ ‎(Ⅱ)如图2是该市居民李某2017年1~6月份的月用水费(元)与月份的散点图,‎ 其拟合的线性回归方程是. 若李某2017年1~7月份水费总支出为294.6元,试估计李某7月份的水费.‎ ‎21. (本小题满分12分)已知抛物线的准线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的标准方程;‎ ‎(Ⅱ) 若过点的直线与抛物线相交于两点,且以为直径的圆过原点,求证 为常数,并求出此常数。‎ ‎22.(本小题满分12分〉如图,椭圆:的左、右顶点分别为,离心率,长轴与短轴的长度之和为10.‎ ‎(I)求椭圆的标准方程;‎ ‎(II)在椭圆上任取点(与两点不重合),直线交轴于点,直线交轴于点,证明:为定值。‎ 参考答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1. B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.A 9.C 10.D 11.A 12.D 二.填空题: (本大题共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.: 14. 15. 16. (3)(4)‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题10分)‎ 解:当命题为真命题时:,即;………………………2分 当命题为真命题时:,即; ………………………………………3分 又为真命题,为假命题,‎ ‎∴命题、一真一假,即真假或假真; …………………………………5分 当真假时,则,∴, ……………………………………7分 当假真时,则,∴,……………………………………9分 ‎∴综上所述,实数的取值范围为. …………………………10分 ‎18(本小题12分)‎ ‎(Ⅰ) 解: 学校总数为,分层抽样的比例为…(2分)‎ 计算各类学校应抽取的数目为:,,. (3分)‎ 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为所. ……(4分)‎ ‎ (Ⅱ) 解: ① 在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为;2所中学分别记为 ‎;1所大学记为. ……(5分)‎ 则应抽取的2所学校的所有结果为:‎ ‎,,,,,‎ ‎,,,,‎ ‎,,,‎ ‎,,,共15种. ……(10分)‎ ②设“抽取的2所学校没有大学”作为事件.其结果共有10种.‎ 所以,. …………(12分)‎ ‎ ‎ ‎19. (本小题12分)‎ ‎【解答】(Ⅰ)由题意得, ………3分 ‎ 所以, ………5分 所以椭圆的标准方程是;………………… 6分 ‎(Ⅱ)由题意得,直线MN的方程为,方程联立得到,‎ ‎, ………8分 ‎, ………10分 ‎ ………12分 ‎20. (本小题12分)‎ 解:(Ⅰ)可估计全市居民用水价格的平均数的平均数为 ‎ …………3分 由于前4组的频率之和为,‎ 前5组的频率之和为,故中位数在第5组中.‎ 设中位数为吨,则有,所以,‎ 即所求的中位数为吨. …………6分 ‎(Ⅱ) 设李某2017年1~6月份的月用水费(元)与月份的对应点为,它们的平均值分别为,,‎ 则, …………8分 ‎ 又点在直线上,所以, …………10分 因此,所以7月份的水费为元. …………12分 ‎21. (本小题12分)‎ 解:(1)由准线方程为可设抛物线C的方程 求得 ………2分 故所求的抛物线C的方程为: ……………4分 ‎(2) 依题意可设过P的直线l方程为:(m),…………6分 ‎ 设 由得: ‎ 依题意可知,且 ………………8分 原点落在以为直径的圆上 令 ‎ 即 ‎ ‎ 解得:即 为常数,∴ 原题得证 ………………12分 ‎(说明:直线l方程也可设为:y=k(x-),但需加入对斜率不存在情况的讨论,否则扣1分)‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 解析:(Ⅰ)由题可知,,解得.‎ 故椭圆E的标准方程为. ……………5分 ‎(Ⅱ)解法1:设,直线交轴于点,直线交轴于点.则,即.易知同向,故.‎ ‎……………7分 因为,,所以得直线的方程为,令,则;直线的方程为,令,则 所以,为定值. ……………12分 解法2:的左、右顶点分别为、,则有 由(Ⅰ)知,设直线、的斜率分别为,则.…………7分 直线的方程为,令得;直线的方程为 令得.所以. ……………12分 解法3:的左、右顶点分别为、,则……………7分 如题图所示, . ……………12分
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