高中数学（人教A版）必修5能力强化提升及单元测试：2-1第1课时

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第二章 数列 ‎2.1　数列的概念与简单表示法 第1课时　数列的概念与通项公式 双基达标　(限时20分钟) ‎1．下列说法中，正确的是 (　　)．‎ A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}‎ B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C．数列的第k项是1＋ D．数列0,2,4,6,8，…，可表示为an＝2n(n∈N*)‎ 解析　A错，{1,3,5,7}是集合．B错，是两个不同的数列，顺序不同．C正确，ak＝＝1＋.D错，an＝2(n－1)(n∈N*)．‎ 答案　C ‎2．已知数列，3，，，3，…，，…，则9是这个数列的 (　　)．‎ A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项 解析　令an＝＝9，解得n＝14.‎ 答案　C ‎3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于 (　　)．‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ 解析　从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即an＋an＋1＝an＋2，所以x＝5＋8＝13.‎ 答案　C ‎4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．‎ 解析　an＝n(n＋1)＝600＝24×25，n＝24. ‎ 答案　24‎ ‎5．已知数列{an}满足a1>0，＝(n∈N*)，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．‎ 解析　由已知a1>0，an＋1＝an(n∈N*)，‎ 得an>0(n∈N*)．‎ 又an＋1－an＝an－an＝－an<0，‎ ‎∴{an}是递减数列．‎ 答案　递减 ‎6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：‎ ‎(1)，，，(　　)，，，…‎ ‎(2)，(　　)，，，，…‎ ‎(3)2,1，(　　)，，…‎ ‎(4)，，(　　)，，…‎ 解　(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则 序号　1　　2　　3　　4　　5　　6‎ ‎　↓　 ↓　 ↓　 ↓　 ↓　 ↓‎ 数　　　 　 　(　)　　 于是括号内填，而分子恰为10减序号．‎ 故括号内填，通项公式为an＝.‎ ‎(2)＝，＝，＝，‎ ＝.‎ 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．‎ 故括号内填，通项公式为an＝.‎ ‎(3)因为2＝，1＝，＝，所以数列缺少部分为，数列的通项公式为an＝.‎ ‎(4)先将原数列变形为1，2，(　　)，4，…，所以应填3，数列的通项公式为an＝‎ n＋.‎ 综合提高　(限时25分钟) ‎7．下列命题：‎ ‎①已知数列{an}中，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第一项．‎ ‎②数列，，2，，…的一个通项公式是an＝.‎ ‎③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29.‎ ‎④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．‎ 其中正确命题的个数为 (　　)．‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解析　对于①，令an＝＝⇒n＝10，易知最大项为第一项．①正确．‎ 对于②，数列，，2，，…变为，，，，…⇒，，，，…⇒an＝，②正确；‎ 对于③，an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29.③正确；‎ 对于④，由an＋1－an＝3>0，易知④正确．‎ 答案　A ‎8．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：‎ 他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 (　　)．‎ A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378‎ 解析　由图形可得三角形数构成的数列通项an＝(n＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项bn＝n2，而所给的选项中只有1 225满足a49＝＝b35＝352＝1 225.故选C.‎ 答案　C ‎9．数列，，，，…的一个通项公式是________．‎ 解析　数列可写为：，，，，…，‎ 分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，‎ 分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，‎ 故通项公式为an＝.‎ 答案　an＝ ‎10．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.‎ 解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，‎ ‎∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.‎ 答案　 ‎11．已知数列.‎ ‎(1)求这个数列的第10项；‎ ‎(2)是不是该数列中的项，为什么？‎ ‎(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；‎ ‎(4)在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．‎ ‎(1)解　设f(n)＝＝＝.‎ 令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.‎ ‎(2)解　令＝，得9n＝300.‎ 此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．‎ ‎(3)证明　∵an＝＝＝1－，‎ 又n∈N*，∴0＜＜1，∴0＜an＜1.‎ ‎∴数列中的各项都在区间(0,1)内．‎ ‎(4)解　令＜an＝＜，‎ ‎∴∴ ‎∴＜n＜.‎ ‎∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.‎ ‎12．(创新拓展)已知{an}的通项公式为an＝3n＋1，是否存在m，k∈N*，满足am＋am＋1＝ak？如果存在，求出m，k的值；如果不存在，说明理由．‎ 解　由am＋am＋1＝ak，得6m＋5＝3k＋1，‎ 整理后，可得k－2m＝，‎ ‎∵m，k∈N*，∴k－2m为整数，‎ ‎∴不存在m，k∈N*使等式成立．‎