黑龙江省安达市第七中学2020届高三上学期模拟考试数学(理)试卷

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黑龙江省安达市第七中学2020届高三上学期模拟考试数学(理)试卷

理数试题 第Ⅰ卷 (选择题, 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.复数为纯虚数,则实数为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若向量,则( )‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ ‎3.等差数列的前项和为,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.设为两个平面,则∥的充要条件是( )‎ A.内有无数条直线与平行 B.,平行于同一条直线 C.内有两条相交直线与平行 D.,垂直于同一平面 ‎5.已知曲线在处的切线过点,则实数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.函数在的图像大致为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.在各棱长均相等的四面体中,已知分别是是棱中点,则异面直线与所成角的余弦值( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.若把函数的图象沿轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数的图象,则的一个对称中心为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 是两个平面,是两条直线,有下列四个命题:‎ ①如果,那么;②如果,那么;‎ ③如果,那么;④如果,那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题的个数为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎10. 在中,,则三角形的形状是( )‎ A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定 ‎11.数列的前项和为,已知,若,则实数的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设定义在的函数的导函数为,且满足,则关于的不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 (非选择题, 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)‎ ‎13.已知,则 .‎ ‎14.已知函数,数列满足,则数列的前2019项和为 .‎ ‎15.已知则的最小值是 .‎ ‎16.在四棱锥中,底面,‎ ‎,若点为棱上一点,满足,则 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知关于的不等式的解集为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若均为正数,且,求的最小值. ‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 在中,角所对的边分别为,且满足.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若的周长为,面积为,求三角形三边长. ‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)中,为中点,为线段的中点. ‎ ‎(1)若为中点,求证:面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知数列的前项和满足,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,,设是数列的前项和,证明:.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,=135°,底面,,分别为的中点,点在线段上.‎ ‎(1)求证:面⊥面; ‎ ‎(2)如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求的值.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎(1)当时,证明:对任意的,都有 ‎(2)若对任意的恒成立,求实数的取值范围.‎ 数学理参考答案 ‎ ‎ ‎17.(1)‎ ‎ ……5分 ‎(2)‎ 当且仅当时,的最小值 ……10分 ‎(注:“当且仅当时”不写,扣2分)‎ ‎18.(1)由正弦定理得,,‎ 即,; ……6分 (2) 由余弦定理得,,‎ 解得 ……12分 ‎19.(1)取AA1中点N,连结C1N,ND,取C1N中点E,连结EF,AE,∵AN//BD,AN=BD,∴四边形ANDB为平行四边形,∴AB//ND,AB=ND,∵NE=EC1,C1F=FD,∴,又∵∴四边形MAEF为平行四边形,∴MF//AE,∵面,AE面,‎ 面 ; ……5分 ‎(2)在平面A1B1C1上过A1作垂直于A1B1的直线为轴,分别以A1B1,A1A为轴,建系A1-,‎ ‎,,设平面FA1C1的法向量 ‎,,‎ 取, ……9分 平面A1B1C1的一个法向量, ‎ 设二面角的大小为, ……12分 ‎20.(1),当(当时也符合),‎ 所以 ……5分 ‎(2),‎ ‎ ……12分 ‎21.(1)∵面ABCD,EF面ABCD,∴EFAP 在中,AB=AC,,∴ABAC,‎ 又,∴四边形ABEF为平行四边形,∴AB//EF,因此,ACEF APAC=C,AP面PAC,AC面PAC,∴EF面PAC 又EF面EMF,∴面⊥面. ……5分 ‎(2)分别以AE,AD,AP为轴,建系A-‎ 设,‎ ‎,,设平面PBC的法向量,‎ ‎,,,‎ 平面ABCD的一个法向量,,,‎ ‎,‎ 直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,即 ‎,即 ‎, ……12分 ‎22.(1)当时,设,‎ ‎,设,,‎ 所以在上是增函数,,所以在 上是增函数,即,‎ 对任意的,都有 ……5分 ‎(2)若对任意的恒成立,……6分 ‎,(其中增函数),‎ ‎①当时,,,‎ 在上,是增函数,符合题意,……8分 ‎②当时,存在唯一,此时 在上,;,‎ 设,,在上是增函数,‎ ‎,所以,‎ 在上,是增函数,解得 综合①②, ……12分
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