浙江省杭州市学军中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

浙江省杭州市学军中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com ‎2019学年学军高一上期中 一、选择题：每小题4分，共40分 ‎1.设集合，，则集合中的元素共有（ ）‎ A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合并集运算和互异性，得到结果.‎ ‎【详解】因为集合，，‎ 所以，共有6个元素，‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集运算和集合的互异性，属于简单题.‎ ‎2.函数的定义域是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 要使函数有意义，需满足，解得，即函数的定义域为，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数，需满足等等，当同时出现时，取其交集.‎ ‎3.下列函数中与具有相同图象的一个函数是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于A，与函数的定义域不同，所以函数图像不同；对于B，‎ 与函数的对应关系不同，值域不同，所以函数图象不同；对于C，与函数的定义域不同，所以函数图像不同；对于D，与函数的定义域相同，对应关系也相同，所以函数图象相同，故选D.‎ 点睛：本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.‎ ‎4.已知函数，则的值等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入函数第二段表达式，得到，再代入第二段表达式后得到，此时代入第一段就可以求得函数值.‎ ‎【详解】依题意，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数求值.第一次代入后，还是无法求得函数值，要继续再代入两次才可以.属于基础题.‎ ‎5.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，若，则在上单调递减，‎ 又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C，D.‎ 若，则在上是增函数，‎ 函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，‎ 因此B项不正确，只有选项A满足.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎6.函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到函数的定义域，然后根据复合函数单调性，求出内层函数的单调递增区间，从而得到答案.‎ ‎【详解】函数，‎ 所以，解得或，‎ 所以定义域为 又因函数是复合函数，‎ 其外层函数为增函数，‎ 所以要使为增函数，则内层是增函数，‎ 则 所以可得单调增区间为 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查求复合函数的单调区间，属于简单题.‎ ‎7.函数的奇偶性为（ ）‎ A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的定义域，然后对进行化简，再判断与的关系，从而得到答案.‎ ‎【详解】函数，‎ 所以有，解得，‎ 所以定义域为 此时恒成立，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以是偶函数，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查求函数的定义域，判断函数的奇偶性，属于简单题.‎ ‎8.定义在R上的函数满足,,则 等于( ).‎ A. 3 B. 8 C. 9 D. 24‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，利用赋值法，依次求得的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】依题意 令，则，得.‎ 令，则，得.‎ 令，则，得.‎ 令，则，得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据抽象函数关系式求函数值，属于基础题.‎ ‎9.已知是定义域为的奇函数,满足若,则 ( ).‎ A. 2 B. 0 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，判断函数是周期为的周期函数，根据周期性和奇偶性，求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】由于，所以函数图像关于直线对称，由于函数为奇函数故函数关于原点对称，故函数是周期为的周期函数.由，，得， ，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性，属于基础题.‎ ‎10.设函数f（x）=，若对任意给定的m∈（1，+∞），都存在唯一的x0∈R满足f（f（x0））=2a2m2+am，则正实数a的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出函数f（x）图像，记t=f（x0），存在唯一的x0，所以必有t＞1，所以f（t）=2a2m2+am＞1对任意给定的m∈（1，+∞）恒成立，因式分解得（ma+1）（2ma－1）＞0，因为ma+1＞0，所以2ma－1＞0恒成立，代入m=1即可.‎ ‎【详解】解：作出函数f（x）的图象如图：由图象知当x＞0时，f（x）=log2x的值域为R，‎ 当－1≤x≤0，f（x）的取值范围为[0，1]，‎ 当x＜－1时，f（x）的取值范围是（－∞，1），‎ 即由图象知当f（x）≤1时，x的值不唯一，设t=f（x0），‎ 当x＞0时，由f（x）=log2x≥1得x≥2，则方程f（f（x0））=2a2m2+am，‎ 等价为f（t）=2a2m2+am，‎ 因为2a2m2+am＞0‎ 所以若存在唯一的x0∈R满足f（f（x0））=2a2m2+am，‎ 则t＞1，即由f（x）=log2x＞1得x＞2，‎ 即当x＞2时，f（f（x））与x存在一一对应的关系，则此时必有f（f（x））＞1，‎ 即2a2m2+am＞1，得（ma+1）（2ma－1）＞0，‎ 因为ma+1＞0，‎ 所以不等式等价为2ma－1＞0，设h（m）=2ma－1，‎ 因为m＞1，a＞0，‎ 所以只要h（1）≥0即可，得2a－1≥0，得a≥，‎ 即实数a的取值范围是[，+∞）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数与分段函数，函数的恒成立与能成立，综合性较强，分段函数常借助函数图像进行处理，复合函数一般采用换元法.‎ 二、填空题：每题4分，共28分 ‎11.设集合，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的补集运算，得到，再由交集运算，得到答案.‎ ‎【详解】因为集合，‎ 所以，‎ 因为集合，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题.‎ ‎12.函数（且）的图象恒过定点____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的平移，得到，从而得到其图象恒过的点，得到答案.‎ ‎【详解】将指数函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，‎ 得到，‎ 而指数函数恒过点 所以函数恒过点 ‎【点睛】本题考查指数函数平移后过定点问题，属于简单题.‎ ‎13.已知实数满足，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，再平方化简后，得到答案.‎ ‎【详解】因为实数满足，‎ 则，即 两边平方，得 所以，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据已知方程求值，指数基本运算，属于简单题.‎ ‎14.函数的值域是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数进行化简，得到，分别对和，利用基本不等式，得到答案.‎ ‎【详解】函数 ‎，‎ 当，由基本不等式得，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 当时，由基本不等式得，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 所以函数的值域为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查求具体函数的值域，属于简单题.‎ ‎15.函数在上是x的减函数，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先保证真数位置在上恒成立，得到的范围要求，再分和进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于的不等式，得到答案.‎ ‎【详解】函数，‎ 所以真数位置上的在上恒成立，‎ 由一次函数保号性可知，，‎ 当时，外层函数为减函数，‎ 要使为减函数，则为增函数，‎ 所以，即，所以，‎ 当时，外层函数为增函数，‎ 要使为减函数，则为减函数，‎ 所以，即，所以，‎ 综上可得的范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.‎ ‎16.已知函数，，若，对任意的，总存在，使得，则b的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出和在上的值域，再根据任意的，总存在，使得，得到它们值域的关系，从而得到关于的不等式，得到答案.‎ ‎【详解】函数在上单调递增，‎ 所以的值域为集合，‎ 函数，开口向下，对称轴为，‎ 所以在上单调递减，‎ 所以的值域为集合 因为任意的，总存在，使得，‎ 所以可得，‎ 所以，解得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用函数单调性求函数的值域，通过量词求参数的范围，属于中档题.‎ ‎17.定义在上的函数满足，，，且当时，，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，可得，根据得，反复套用后得到，再由时，，得到，所以，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为定义在上函数满足，‎ 令，得，令，得，‎ 又因，‎ 所以，，，‎ ‎，‎ 而，，，，‎ 又因为满足当时，，‎ 所以根据，有 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的性质，求抽象函数的函数值，属于中档题.‎ 三、解答题：5小题，共74分 ‎18.求值．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据指数运算的规则，对式子进行整理化简后，再进行计算，得到答案；（2）根据对数运算的规则，对式子进行整理化简后，再进行计算，得到答案.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎；‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属于简单题.‎ ‎19.已知集合，，若，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到，从而分为和两种情况进行讨论，分别得到关于的不等式，求出的范围，得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以得到，‎ 当时，，解得 当时，，解得，‎ 综上所述，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的范围，属于简单题.‎ ‎20.已知满足 ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2)求函数的值域．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数的单调性解不等式；（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间的位置关系确定最值，得到值域.‎ 试题解析：‎ ‎(1) ∵，‎ ‎ ，‎ 由于指数函数在上单调递增，‎ ‎.‎ ‎(2) 由（1）得，‎ ‎.‎ 令，则，其中.‎ ‎∵函数的图象开口向上，且对称轴为 ，‎ 函数在上单调递增，‎ 当时，取得最大值，为；当时，取得最小值，为.‎ 函数的值域为.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）若函数在上有最大值，求实数的值；‎ ‎（2）若方程在上有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，则函数，然后根据对称轴与区间中点的大小进行分类，分别得到相应的的值，得到答案；（2）令，则函数，令，再进行参变分离，得到，再根据的值域，得到的范围，从而得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为，所以令，‎ 所以得到函数，开口向上，对称轴为，‎ 当时，则在时，取最大值，即，‎ 所以，解得，不满足，所以舍去，‎ 当时，则时，取最大值，即，‎ 所以，解得，满足，‎ 综上，的值为.‎ ‎（2）因，所以令，‎ 所以得到函数 令，得，即，‎ 所以要使有解，‎ 则函数与函数有交点，‎ 而函数，在上单调递减，在上单调递增，‎ 故在时，有，在时，有，‎ 所以可得，‎ 所以的范围为.‎ ‎【点睛】本题考查动轴定区间方法解决由二次函数最值求参数的值，函数与方程的方法解决方程有解的问题，属于中档题.‎ ‎22.已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当时，总有．‎ ‎（1）判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；‎ ‎（2）解不等式：；‎ ‎（3）若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）任取x1、x2两数使x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，进而根据函数为奇函数推知f（x1）-f ‎（x2）=f（x1）+f（-x2），让f（x1）+f（-x2）除以x1-x2再乘以x1-x2配出形式，然后进而判定。‎ ‎（2）根据函数f（x）在[-1，1]上是增函数知x满足的不等式组，进而可解得x的范围 ‎（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立，即成立．对p讨论得到。‎ ‎【详解】（1）在上是增函数，证明如下：‎ 任取，且，则，于是有，‎ 而，故，故在上是增函数 ‎（2）由在上是增函数知：‎ ‎，‎ 故不等式的解集为．‎ ‎（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，‎ 只需成立，即成立．‎ ‎① 当时，的取值范围为；‎ ‎②当时，的取值范围为；‎ ‎③当时，的取值范围为R．‎ ‎ ‎