数学文卷·2017届四川省宜宾市高三第三次诊断性测试（2017

数学文卷·2017届四川省宜宾市高三第三次诊断性测试（2017

高2014级第三次诊断性测试题 数学（文史类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码；请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的．‎ ‎（1）设集合，集合，则 ‎ ‎(A) ( B) (C) (D)‎ ‎（2）设是虚数单位，若复数，则复数的实部为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（3）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎（4）已知角的终边与单位圆的交点为，则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（5）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎（6）某学校要从高一年级的名学生中选取名学生代表去敬老院慰问老人，若采用系统抽样方法，首先要随机剔除名学生，再从余下的名学生中抽取名学生，则其中学生甲被选中的概率为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ （7）已知圆，直线，若圆上恰有个点到直线的距离都等于，则的取值范围为 ‎(A) (B) （C） （D）‎ ‎（8）执行如右图所示程序框图，若输入的，则输出的 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎（9）下列命题中真命题的个数是 ①已知，是两条不同直线，若，平行于同一平面，‎ 则与平行； ‎ ②已知命题，使得，则，‎ 都有； ‎ ③已知回归直线的斜率的估计值是，样本点的中心为，‎ 则回归直线方程为；‎ ④若,且，则命题 “成等比数列”是“”的充分不必要条件．‎ ‎(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ ‎（10）已知，将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象.若对任意实数，都有成立，则 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎（11）已知三棱锥四个顶点都在半径为的球面上，且过球心，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的表面积为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（12）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于， 两点，，若，则椭圆的离心率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用2B铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，在试题卷上作答无效．‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎（13）设向量，若，则__________．‎ ‎（14）设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值是 ．‎ ‎（15） 设的内角,,的对边分别为,,，若，则_ ___．‎ ‎（16）若函数有极值，则函数的极值之和的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．‎ ‎（17） (本小题满分12分) ‎ 已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列．‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）记，求数列的前项和．‎ ‎（18）(本小题满分12分)‎ 通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下列联表：‎ 男生 女生 合计 挑同桌 ‎30‎ ‎40‎ ‎70‎ 不挑同桌 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎（I）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这名学生中至少有2名要挑同桌的概率；‎ ‎（II）根据以上列联表，是否有95﹪以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎（19） (本小题满分12分)‎ ‎ 如图，边长为的正方形中，点,分别是边,的中点，将，分别沿折起，使两点重合于点．‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求四棱锥的体积．‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ ‎ 在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线的距离的比值为.‎ ‎ （I）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（II）设点是轴上的一个动点，过作斜率为的直线交轨迹于，两点，求证：为定值．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．‎ 请考生在[22]、[23]题中任选一题作答．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22） (本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（其中为参数）．‎ ‎(Ⅰ) 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；‎ ‎（II）直线的参数方程为：（其中为参数），直线与曲线分别交于，两点，且，求直线的斜率．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（I）当时，解不等式； ‎ ‎（II）当时，恒成立，求的取值范围． ‎ 高2014级第三次诊断性测试题(文史类)‎ 参考答案 注意：‎ ‎ 一、本解答给出了一种解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．‎ ‎ 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C C B A D D C A B C D 注：12题.(解法一)：可设，可用椭圆定义和余弦定理得到，则，则为椭圆短轴上的顶点，则为等腰直角三角形，从而得出离心率.‎ ‎(解法二）：利用，观察得出的三边比值，从而得出离心率.‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎（13） 4； （14） ； （15） ； （16）‎ 三、解答题 ‎ (17)解：（I）由题得 ……………………………………2分 ‎∴，∴， ……………………………………4分 ‎∴ ……………………………………6分 ‎（II）∵，∴ ……………………8分 ‎∴ ……………………9分 ‎∴ ……………………………………12分 ‎(18) 解：（I）由题知分层抽样的方法抽取容量为5的样本中，挑同桌的男生有3人，分别记为,,; 不挑同桌的男生有2人,分别记为,. ……………………………………2分 则基本事件总数为：（,,），（,,），（,,），（,，），（,，），（,,），（,，），（,，），（,,），（，,）共10种……4分 记“这名学生中至少有2名要挑同桌”为事件，则事件包含有：‎ ‎（,,），（,,），（,,），（,，），（,，），‎ ‎（,，），（,，），共7种，‎ 则. …………………………………………………………………………6分 ‎（II）由题得= ………………10分 ‎∴有95﹪以上的把握认为“性别与选择座位时是否挑同桌”有关. ………………………12分 ‎(19) 解：（I）折叠前，折叠后，…………………………2分 又,所以, ……………………………5分 所以 ……………………………6分 ‎（II）解法一：设到面的距离为，由（1）知 又∵,,∴,‎ ‎∴,∴，‎ 在中，取中点为，连接，则，‎ 又∵，，∴，‎ ‎∴， ………………………………………………………8分 又∵，∴，∴， ……10分 又∵， …………12分 解法二：连接，设,,则 ‎ ‎ ‎,，∴ ……………………9分 ‎ …………………………………12分 解法三：可用等面积法求到面的距离为（可得9分）.‎ ‎(20) 解：（I）设，由题意得， ……………………………………2分 化简得轨迹的方程为：‎ ‎ ………………………………………………5分（II）设，直线:， …………………………………………………………6分 设,，由得，‎ ‎∴， 且 即……………………8分 ‎∴‎ ‎， ‎ 即为定值3. …………………………………………………………………………12分 ‎ (21) 解：（I）， ………………2分 ‎ , ‎ 在点处的切线方程为. ………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）令，则为偶函数 要证结论，只需证时， ……………………………………6分 ‎（1）当时，，不合题意 ……………………………………8分 ‎（2）当时，，则，‎ 令则，故在上单调递增，‎ 又∵，∴ 在上恒成立，即在上单调递增，‎ 又∵，∴在上恒成立，满足题意 ………………10分 ‎（3）当时，∵，‎ 由(2)知恒成立, ‎ 综上, 的取值范围为 ……………………………………………………………………12分 ‎（22）解：(I)∵由得，即 ………………2分 所以曲线的极坐标方程为： ……………………………………4分 ‎(Ⅱ) 直线的参数方程为：（其中为参数）代入，‎ 得，设其方程的两根为，，∴……………………7分 ‎∴，∴，∴‎ ‎∴，即，∴直线的斜率为. ………………………………10分 注：（解法二）：利用进行计算； ‎ ‎（解法三）：利用进行计算.‎ ‎（23）解：(I) 时，，即， ‎ ‎∴可得，原不等式解集为 …………………………………4分 ‎(Ⅱ)①当时，, 解得，‎ ‎ ， ………………………………………………………………7分 ‎ ②时，, ，∴ 解得 ‎ ‎ ， ………………………………………………………………9分 综上所述，的取值范围是 ………………………………………………………………10分