甘肃省静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含答案

甘肃省静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含答案

时间:120分钟 满分:150分 一、选择题(每小题5分,共12小题60分)‎ ‎1、对于空间向量,,若,则实数（    ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 2、 已知函数,则（    ）‎ A. ‎ ‎ B. ‎1 ‎ C.-1 ‎ D.‎ ‎3、如图，向圆内随机掷一粒豆子（豆子的大小忽略不计），则豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率是（    ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎4、从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球,若摸出的球是红球的概率是,摸出的球是黑球的概率是,那么摸出的球是白球或黑球的概率是（    ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎5、直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若的中点横坐标为3，则线段的长为（    ）‎ A.5‎ B.6‎ C.7‎ D.8‎ 广告费用X（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 6、 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表:‎ 根据上表可得回归方程中的为,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(   )‎ A.万元 B.万元 C.万元 D.万元 ‎7、设，则是 的（    ）               ‎ A.充分但不必要条件 ‎ B.必要但不充分条件 C.充要条件   ‎ D.既不充分也不必要条件  ‎ ‎8、执行如图所示的程序框图,输出的（    ）‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎9、设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点．线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为（   ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎10、双曲线虚轴上的一个端点为，两个焦点为，，，则双曲线的离心率为（   ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎11、已知命题：函数在上单调递增；命题：关于的不等式对任意的恒成立.若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（    ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎12、已知，为椭圆的两个焦点，（不在轴上）为椭圆上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（   ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 二、填空题(每小题5分,共4小题20分)‎ ‎13、写出命题“”的否定：__________．‎ ‎14、若从甲、乙、丙、丁位同学中选出位同学参加某个活动,则甲被选中的概率为_____.‎ ‎15、已知曲线,则曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为________.‎ ‎16、直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,若,则直线的斜率为__________.‎ 三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)‎ ‎17、已知向量,,.‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)若,,,四点共面,求的值.‎ ‎18、已知曲线在点处的切线方程是.‎ ‎(1)求 的值；‎ ‎(2)如果曲线的某一切线与直线： 垂直,求切点坐标与切线的方程.‎ ‎19、省《体育高考方案》于年月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若分数段的人数为人. ‎ ‎  ‎ ‎ (Ⅰ)请估计一下这组数据的平均数；‎ ‎ (Ⅱ)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率. ‎ ‎20、设点为坐标原点,抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点,若,求:‎ ‎(1)抛物线的标准方程;‎ ‎(2)的面积.‎ ‎21、如图,在直三棱柱中,,,,点、分别在棱、上,且,.‎ ‎(1)求异面直线与所成角的大小;‎ ‎(2)求平面与平面所成角的余弦值.‎ ‎22、已知椭圆的一个顶点是，离心率为．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)已知矩形的四条边都与椭圆相切，设直线AB方程为，求矩形面积的最小值与最大值.‎ 静宁一中2019-2020学年度第一学期高二级第三次试题（卷）‎ 数学（理）答案解析 第1题答案D 第1题解析 因为,所以,即,所以.‎ 第2题答案A 第2题解析 ‎∵,∴,∴.‎ 第3题答案B 第3题解析 设圆的半径为，则圆的面积为.设正方形的边长为，则，∴，故正方形的面积为.∵豆子落在圆内的每一个地方是均等的，∴豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率.故选B.‎ 第4题答案D 第4题解析 从袋中摸一个球,摸到的是红球,是白球,是黑球这三个事件是互斥的,因此摸出的球是白球或黑球的概率为.‎ 第5题答案D 第5题解析 设抛物线的焦点为，准线为，是的中点，‎ 分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，‎ 由抛物线的定义，‎ 得 ‎.‎ 故选D.‎ 第6题答案B 第6题解析 ‎∵,,∵数据的样本中心在线性回归直线上,回归方程中的为,∴,∴.‎ ‎∴线性回归方程是,∴广告费用为6万元时销售额为.‎ 第7题答案A 第7题解析 ‎，则，∴，条件充分，反之不真，如. ‎ 第8题答案C 第8题解析 按照程序框图依次执行为,,;‎ ‎,,;‎ ‎,,,‎ 退出循环,输出.故应选C.‎ 第9题答案B 第9题解析 解答：由题意，，所以，所以点轨迹是椭圆，且，即，，轨迹方程为，故选B．‎ 第10题答案A 第10题解析 因为，所以，所以，又由，可知，故选A.‎ 第11题答案C 第11题解析 当命题为真时，∵函数图象的对称轴为直线，∴；‎ 当命题为真时，当时，原不等式为，该不等式的解集不为，则这种情况不存在；‎ 当时，则有解得.‎ 又∵为真，为假，∴与一真一假，‎ 若真假，则，解得；‎ 若假真，则解得.‎ 综上所述，的取值范围是或.故选C.‎ 第12题答案C 第12题解析 由椭圆的定义，得，平方得 ①.‎ 由，∴ ②，‎ 由余弦定理，得 ③，‎ 由①②③，得，∴，.‎ ‎，∴，即，∴.‎ 则椭圆离心率的取值范围是.故选C.‎ 第13题答案 第13题解析 因为命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为.‎ 第14题答案 第14题解析 从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出名代表参加学校会议,共有甲乙、甲丁、甲丙、乙丙、乙丁、丙丁种方法,甲被选中,共有甲乙、甲丁、甲丙种方法,∴甲被选中的概率是.‎ 第15题答案 第15题解析 对求导,,,‎ 所以曲线在处的切线斜率为,切线方程为,‎ 切线与坐标轴的交点为和,‎ 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.‎ 第16题答案 第16题解析 依题意,抛物线的焦点,‎ 设直线的方程为 由,得,设,.‎ ‎∴,,∵,∴即,∵,∴,解得或,∴或,又,将代入解得.‎ 第17题答案 ‎(1);‎ ‎(2).‎ 第17题解析 ‎(1)由,得,∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴,解得.‎ ‎(2)由,,,四点共面,得,,使得,,‎ ‎∴.‎ ‎∴,解得.‎ 第18题答案 ‎(1)；‎ ‎(2),或.‎ 第18题解析 ‎(1)∵的导数,‎ 由题意可得, ,‎ 解得, .‎ ‎(2)∵切线与直线垂直,‎ ‎∴切线的斜率.设切点的坐标为,‎ 则,∴.‎ 由,可得,或.‎ 则切线方程为或.‎ 即或.‎ 第19题答案(Ⅰ)； (Ⅱ).   ‎ 第19题解析 ‎（Ⅰ）由频率分布直方图可知：分的频率为，‎ ‎    分的频率为，分的频率为，‎ ‎    分的频率为，分的频率为；‎ ‎    ∴这组数据的平均数 ‎（分）. ‎ ‎（Ⅱ）∵分数段的人数为人，频率为；‎ ‎    ∴参加测试的总人数为人，‎ ‎    ∴分数段的人数为人，‎ ‎    设第一组分数段的同学为，，，；‎ ‎    第五组分数段的同学为，.‎ ‎    则从中选出两人的选法有：‎ ‎    ，，，，，‎ ‎    ，，，，，‎ ‎    ，，，，，‎ ‎    共15种；其中两人成绩差大于的选法有：‎ ‎    ，，，，，‎ ‎   ，，共种，‎ ‎    则选出的两人为“帮扶组”的概率为.             ‎ 第20题答案(1);(2).‎ 第20题解析 ‎(1)由题可知,则直线的方程为,‎ 代入,化简可得.‎ 设,,则有.‎ ‎∵,∴有,解得,‎ ‎∴抛物线的方程为:.‎ ‎(2)可得直线的方程为:.‎ 则点到直线的距离,‎ ‎∴的面积.‎ 第21题答案见解析 第21题解析 ‎(1)建立如图所示的直角坐标系,‎ 则,,,,‎ 从而,‎ 记与的夹角为,则有:.‎ 由异面直线与所成角的范围为,‎ 得异面直线与所成角为.‎ ‎(2)记平面和平面的法向量分别为和,‎ 则由题设可令,且有平面的法向量为,‎ ‎,.‎ 由,取,得 记平面与平面所成的角为,‎ 则.‎ ‎∴平面与平面所成角的余弦值为 第22题答案 ‎(1)；‎ ‎(2)当时有最大值10；当时，有最小值8.‎ 第22题解析 ‎(1)由题意，椭圆的一个顶点是，‎ 所以,‎ 又离心率为，即，‎ 解得，故椭圆C的方程是；‎ ‎(2)当时，椭圆的外切矩形面积为8.‎ 当时，椭圆的外切矩形的边所在直线方程为，‎ 所以，直线BC和AD的斜率均为.‎ 由 ，消去y得 ，‎ ‎，‎ 化简得：，‎ 所以，直线AB方程为 ，‎ 直线DC方程为，‎ 直线AB与直线DC之间的距离为 ，‎ 同理，可求BC与AD距离为 ，‎ 则矩形ABCD的面积为 由均值定理 ，‎ 仅当，即时有最大值10.‎ 因此，当时有最大值10；当时，有最小值8.‎