2019-2020学年江西省抚州市临川区第二中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省抚州市临川区第二中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省抚州市临川区第二中学高一上学期第二次月考数学试题 一、单选题 ‎1．集合，=，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由集合B中的x属于集合A，将集合A中的元素分别代入集合B中的函数中计算，确定出集合B，找出A和B的公共元素，即可求出两集合的交集．‎ ‎【详解】‎ 将x＝代入中，得：y；将x＝0代入中，得：y＝1；将x＝1代入中，得：，‎ ‎∴集合B＝{，1，}，又集合，‎ ‎∴A∩B＝{0，1}．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了交集及其运算，其中根据题意确定出集合B是解本题的关键．‎ ‎2．如果角的终边过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题知，角α的终边过点（，﹣1），求出此点到原点的距离，再有任意角三角函数的定义直接求出sinα的值即可选出正确选项 ‎【详解】‎ 由题意，即（，﹣1），‎ 点（，﹣1）到原点的距离是2，‎ 由定义知sinα 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角三角函数的定义，解题的关键是理解任意角三角函数的定义，由定义直接得出三角函数值，属于三角函数中的基本概念型题 ‎3．已知点在第三象限，则角的终边在（　 ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项.‎ ‎【详解】‎ 因为点在第三象限，则，，‎ 所以，‎ 则可知角的终边在第二象限.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下：‎ 第一象限：；‎ 第二象限：；‎ 第三象限：；‎ 第四象限：.‎ ‎4．三角函数值，，的大小顺序是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先估计弧度角的大小，再借助诱导公式转化到上的正弦值，借助正弦函数在的单调性比较大小．‎ ‎【详解】‎ 解：∵1弧度≈57°，2弧度≈114°，3弧度≈171°．‎ ‎∴sin1≈sin57°，‎ sin2≈sin114°＝sin66°．‎ sin3≈171°＝sin9°‎ ‎∵y＝sinx在上是增函数，‎ ‎∴sin9°＜sin57°＜sin66°，‎ 即sin2＞sin1＞sin3．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦函数的单调性及弧度角的大小估值，是基础题．‎ ‎5．已知，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由诱导公式化简后即可求值．‎ ‎【详解】‎ ‎＝-sin[]＝‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．‎ ‎6．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，分a＝0与a≠0两种情况，依据一次、二次函数的单调性列式，解得答案．‎ ‎【详解】‎ 当a＝0时，函数f（x）＝﹣2x﹣1在区间（﹣∞，6）上单调递减，满足题意；‎ 当a≠0时，‎ 若函数f（x）＝ax2﹣2x﹣1在区间（﹣∞，6）上单调递减，‎ 则，‎ 解得：a∈(，]，‎ 综上：a∈[，]‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．‎ ‎7．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由f（x）＝log2（mx2﹣mx+1）的值域是R，可知，mx2﹣mx+1取遍所有正数，结合二次函数的性质进行求解．‎ ‎【详解】‎ 由f（x）＝log2（mx2﹣mx+1）的值域是R，可知，mx2﹣mx+1取遍所有正数，‎ ‎①m＝0时，y＝0，不符合题意，‎ ‎②当m≠0时，，‎ 解可得，m≥4，‎ 则实数m的取值范围为m≥4‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的值域的应用，解题的关键是对数函数性质的灵活应用．‎ ‎8．在同一直角坐标系中，函数， （，且）的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 由题意，当，函数为单调递减函数，若时，函数的零点，且函数在上为单调递减函数；若时，函数与的零点，且函数在上为单调递增函数.综上得，正确答案为A.‎ ‎9．已知，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】 因为，所以，‎ ‎ 根据幂函数的性质，可得，‎ ‎ 根据指数函数的性质，可得，‎ ‎ 所以，故选D.‎ ‎10．设函数.若対任意的实数都成立，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：函数f（x）=cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若f（x）≤f（‎ ‎）对任意的实数x都成立，可得： ，解得 ，‎ 则ω的最小值为：．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎11．设函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵f（﹣x）=（x2+1）+=f（x），∴f（x）为R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，再通过换元法解题．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（﹣x）=（x2+1）+=f（x），‎ ‎∴f（x）为R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，‎ 令t=log2x，所以，=﹣t，‎ 则不等式f（log2x）+f（）≥2可化为：f（t）+f（﹣t）≥2，‎ 即2f（t）≥2，所以，f（t）≥1，‎ 又∵f（1）=2+=1，‎ 且f（x）在[0，+∞）上单调递减，在R上为偶函数，‎ ‎∴﹣1≤t≤1，即log2x∈[﹣1，1]，‎ 解得，x∈[，2]，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判断及应用，属于中档题．‎ ‎12．已知函数（）向左平移半个周期得的图像，若在上的值域为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数向左平移半个周期得 的图象，‎ 由,可得,由于f(x)在[0,π]上的值域为.‎ 即函数的最小值为,最大值为1,则,得.‎ 综上,ω的取值范围是，‎ 本题选择D选项.‎ 二、填空题 ‎13．已知则_____________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由指数和对数函数的运算公式，计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由得a=，由，得b=.‎ 所以= ‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是指数与对数的互化及对数公式的运算，熟练掌握公式是关键，属于基础题.‎ ‎14．已知是第三象限角，其终边上一点，且，则的值为________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】由三角函数的定义即可求解。‎ ‎【详解】‎ 因为 ，所以，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，在求解中注意所在的象限。‎ ‎15．已知，且，若函数有最大值，则关于的不等式的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由复合函数单调性可确定在上单调递减，在上单调递增；由函数有最大值可知单调递减，得到；根据对数函数单调性可将不等式化为，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得： 定义域为 在上单调递减，在上单调递增 又在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 有最大值 需在上单调递减 ‎ 由得：，解得：‎ 不等式的解集为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数单调性求解函数不等式，涉及到复合函数单调性的求解、根据函数有最值求解参数范围等知识；关键是能够通过复合函数的单调性确定函数有最值时，对数的底数所处的范围.‎ ‎16．已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意可得函数f（x）的图象与直线y＝loga8有两个不同的交点，结合图象可得1≤loga8＜3，求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由g（x）＝f（x）﹣loga8＝0，可得f（x）＝loga8有两个不等实根，‎ 由题意可得函数y＝f（x）与直线y＝loga8有两个交点，‎ 分别画出y＝f（x）的图象和直线y＝loga8，‎ 由图象可得1≤loga8＜3，‎ 解得2＜a≤8，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．计算：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】（1）直接由对数的运算法则计算即可.‎ ‎（2）利用诱导公式化简，通过特殊角的三角函数求值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）=‎ ‎1=.‎ ‎（2）原式＝sin（360°+60°）cos（720°+30°）+sin（﹣2×360°+30°）cos（﹣2×360°+60°）‎ ‎＝sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°‎ ‎1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的运算法则，诱导公式的应用，三角函数的化简求值，特殊角的三角函数值的求法，属于基本知识的考查．‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间和对称中心；‎ ‎（2）当时,方程有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）对称中心为（，1），（k∈Z）．单调递增区间为[kπ，kπ]，（k∈Z）．‎ ‎（2）[，].‎ ‎【解析】（1）利用正弦函数的图象的对称性求得该函数的对称中心；利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间．‎ ‎（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数ysin（2x）在上的最值即得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵函数f（x）sin（2x）+1，‎ ‎∴令2xkπ，解得x，‎ ‎∴对称中心为（，1），（k∈Z）．‎ 由ysin（2x）的减区间满足：2kπ2x2kπ，（k∈Z），解得kπx≤kπ，‎ ‎∴函数f（x）sin（2x）+1的单调递增区间为[kπ，kπ]，（k∈Z）．‎ ‎（2）方程有解，即为sin（2x）=m有解，令ysin（2x）‎ 则当时，2x∈[，]，‎ ‎∴当2x，即x时，函数ysin（2x）取得最大值1，‎ 当2x，即x时，函数f（x）取得最小值．‎ ‎∴y∈[，]，即m∈[，].‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域以及它的图象的对称性，考查了方程有解的问题的转化，属于中档题．‎ ‎19．已知是第三象限角，且.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求函数，的值域.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用诱导公式化简和，再利用同角三角函数的基本关系即可得到的值；‎ ‎（2）由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数在上的值域。‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ ‎∴，‎ 是第三象限角，∴，∴；‎ ‎（2），‎ 令，则，‎ 故在上值域等价于在上的值域；‎ ‎∴当时，，当时，‎ 函数的值域是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式的应用、同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数在区间上的值域，属于中档题 ‎20．函数的部分图象如图所示，为最高点，该图象与轴交于点，与轴交于点，，且的面积为．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若方程在上有两个不相等的实根，求的范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由图象可得A＝2，由面积得到BC|，可解得ω，点F（0，）在图象上解得φ值，可得解析式；‎ ‎（2）根据三角函数的平移变换规律求解g（x）的解析式；再作出y＝sint在的简图，利用数形结合找与y＝sint有两个不同的交点时的m的范围即为所求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵点F（0，）在图象上，‎ 可得：sinφ ‎∵0＜φ，‎ ‎∴φ ‎∵由题意，M的纵坐标为2，△MBC的面积为．即|BC|×2‎ ‎∴|BC|‎ 周期：T＝|BC|，‎ ‎∴T＝π 得．‎ 故得函数f（x）的解析式为：f（x）＝2sin（2x）‎ ‎（2）由（1）知f（x）＝2sin（2x）‎ f（x）向右平移个单位，得到y＝2sin（2（x））＝2sin（2x）‎ 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝2sin（）．‎ ‎∴g（x）＝2sin（）．‎ 由方程在上有两个不相等的实根，‎ 即sin（）在上有两个不相等的实根，∵，∴，‎ 作出y＝sint在的简图，‎ 则时，与y＝sint有两个不同的交点，‎ 得：时，方程在上有两个不相等的实根.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．考查了数形结合思想，要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．‎ ‎21．已知定义在R上的函数.‎ ‎(1)若不等式对一切恒成立,求实数的取值范围；‎ ‎(2)设求函数在上的最大值的表达式.‎ ‎【答案】（1）； （2） .‎ ‎【解析】⑴不等式 恒成立等价于 恒成立，根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论函数最小值，根据最小值大于零，解不等式组即可得到答案 ‎⑵根据绝对值的定义将函数转化为分段函数形式，根据图象按单调性进行分类讨论函数最大值，最后用分段函数形式表示出来 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）不等式 恒成立 等价于 恒成立 . ‎ 即 对恒成立， ‎ 令，的对称轴为，‎ 则有 或或 ‎ 解得 ． 故实数的取值范围是． ‎ ‎（Ⅱ），‎ 其图像如图所示．当时，，根据图像得：‎ ‎（ⅰ）当 时， ‎ ‎（ⅱ）当 时， ‎ ‎（ⅲ）当时， ‎ 综合有 。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含有绝对值不等式的解法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义讨论，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇，渗透，解题时要强化函数，数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，本题有一定的难度。‎ ‎22．已知函数是偶函数，且，.‎ ‎（1）当时，求函数的值域；‎ ‎（2）设R，求函数的最小值；‎ ‎（3）对（2）中的，若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）由函数是偶函数，可得，即可求出，进而可求出与的表达式，再由时，函数和都是单调递增函数，可知函数在上单调递增，从而可求出的值域；‎ ‎（2），令，由（1）知，则，然后利用二次函数的单调性可求得的最小值；‎ ‎（3）当时，，则，整理得，由于，则对于任意的恒成立，只需令大于在上的最大值，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数是偶函数，所以，解得.‎ 故，.‎ 当时，函数和都是单调递增函数，‎ 故函数在上单调递增，‎ ‎，，‎ 所以当时，函数的值域是.‎ ‎（2）,‎ 令，由（1）知，则，‎ 因为二次函数开口向上，对称轴为，‎ 故时，在上单调递增，最小值为；‎ 时，在上单调递减，在上单调递增，最小值为；‎ 时，在上单调递减，最小值为8.‎ 故函数的最小值.‎ ‎（3）当时，，‎ 则即，整理得，‎ 因为，所以对于任意的恒成立，‎ 令，‎ 只需令大于在上的最大值即可.‎ 在上任取，且，则，，‎ 则，‎ 当时，，则，即，故在上单调递增；‎ 当时，，则，即，故在上单调递减；‎ 所以函数在上的最大值为，‎ 故.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的单调性，考查了函数的最小值的求法，考查了不等式恒成立问题，属于难题.‎