2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期10月月考数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期10月月考数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期10月月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．椭圆的长轴长是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先把椭圆方程整理成标准方程，再根据椭圆的性质可知a的值，进而求得椭圆的长轴长．‎ ‎【详解】‎ 整理椭圆方程2x2+3y2＝6得，∴a∴长轴长为2a．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质和椭圆的标准方程．在解决椭圆问题时，一般需要把椭圆方程整理成标准方程，进而确定a，b和c．‎ ‎2．下列曲线中离心率为的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得，选B.‎ ‎3．下列抛物线中，焦点到准线距离最小的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，依次分析选项，求出选项中抛物线方程中的p，即可得其焦点到准线的距离，比较即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，抛物线的方程为y2＝2x，其中p＝1，即其焦点到准线的距离为1，‎ 对于B，抛物线的方程为y2＝﹣x，其中p，即其焦点到准线的距离为，‎ 对于C，抛物线的方程，即x2y，其中p，即其焦点到准线的距离为，‎ 对于D，抛物线的方程为x2＝-4y，其中p＝2，即其焦点到准线的距离为2，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，注意抛物线的方程中p的几何意义．‎ ‎4．下列命题正确的个数为（ ）‎ ‎（1）已知定点满足，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆；‎ ‎（2）已知定点满足，动点M满足，则动点M的轨迹是一条射线；‎ ‎（3）当1＜k＜4时，曲线C：=1表示椭圆；‎ ‎（4）若动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是抛物线。‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【解析】（1）当P不在直线F1F2上时或在直线F1F2上且在F1、F2两点之外时，都有|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，只有点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，符合题意．由此得到答案．‎ ‎（2）根据条件结合双曲线的定义只有点M在直线F1F2上且在F1、F2两点之外时才满足，由此得到一条射线．‎ ‎（3）根据曲线方程的特点，结合椭圆、圆的标准方程分别判断即可．‎ ‎（4）把已知方程变形为，此式不满足抛物线的定义，从而得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵|PF1|+|PF2|＝8，且|F1F2|＝8‎ ‎∴|PF1|+|PF2|＝|F1F2|，只有当点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，符合题意．∴点P的轨迹是线段F1F2．故（1）错误．‎ ‎（2）∵|F1F2|＝8，在平面内动点M满足|MF1|﹣|MF2|＝8=|F1F2|，∴点M在直线F1F2上且在点F1F2的延长线上时符合题意．∴M点的轨迹是一条射线，故（2）正确．‎ ‎（3）当k时，4﹣k＝k﹣1，此时曲线表示为圆，∴（3）错误．‎ ‎（4）∵动点M的坐标满足方程5|3x+4y|，变形为，‎ ‎∴上式表示的是动点M（x，y）到定点（0，0）与定直线3x+4y＝0的距离相等，但定点（0，0）在定直线3x+4y＝0上，不满足抛物线的定义，所以动点M的轨迹是一条直线．故（4）错误．‎ 综上，正确的只有（2），‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出动点P满足的条件，求P点的轨迹，着重考查了动点轨迹的求法和圆锥曲线的定义，注意变形，理解圆锥曲线定义中的条件是解题的前提．‎ 属于基础题．‎ ‎5．已知三个数1，，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】由已知求得a值，然后分类讨论求得圆锥曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ ‎∵三个数1，a，9成等比数列，‎ ‎∴a2＝9，则a＝±3．‎ 当a＝3时，曲线方程为，表示椭圆，则长半轴长为，半焦距为1，离心率为；‎ 当a＝﹣3时，曲线方程为，实半轴长为，半焦距为，离心率为 ‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆、双曲线的简单性质，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．‎ ‎6．设椭圆的上焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出抛物线的焦点得到椭圆中的c＝2，再根据离心率为，求出a＝4，进而得到b的值即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 因为抛物线4x2＝y，即x2y，的焦点为：（0，），‎ 由题得：椭圆的上焦点为（0，），即c＝‎ 又因为离心率为，‎ 所以：⇒a＝，b 椭圆方程为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆和抛物线的基本性质，注意抛物线的方程的标准形式及焦点位置，避免错选A．‎ ‎7．若坐标原点到抛物线的准线的距离为2，则m=（ ）‎ A．8 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求得抛物线y＝mx2即x2的准线方程为y，再由点到直线的距离公式即可求得m．‎ ‎【详解】‎ 抛物线y＝mx2即x2准线方程为y，‎ 由题意可得||＝2，‎ 解得m＝±．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法和运用，属于基础题．‎ ‎8．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：双曲线的渐近线为，所以，变形为，所以圆心为，所以双曲线方程为 ‎【考点】双曲线方程及性质 ‎9．试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．‎ 过点P作于点，由定义可得,‎ 所以，‎ 由图形可得，当三点共线时，最小，此时．‎ 故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．‎ 点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．‎ ‎(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；‎ ‎(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．‎ ‎10．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是( )‎ A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2‎ C．y2＝2x D．y2＝－2x ‎【答案】B ‎【解析】作图可知圆心(1,0)到P点距离为，所以P在以(1,0)为圆心，以为半径长的圆上，其轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ ‎11．直线：、：与： 的四个交点把分成的四条弧长相等，则 ‎ A．0或1 B．0或 C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：直线l1：y=x与l2:y=x+2之间的距离为，⊙C：的圆心为（m，m），半径r2=m2+m2，由题意可得解得 m=0或m=-1，故选B.‎ ‎【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离.‎ ‎12．已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接轴于M点，若，则该椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设AF1＝m，AF2＝n．如图所示，Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，可得．可得m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m．化简解出即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设AF1＝m，AF2＝n．‎ 如图所示，由题意可得：Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，‎ ‎∴．‎ 则m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m．‎ 化为：m2，n2＝9m2＝6b2．‎ ‎∴6b2＝4c2．‎ ‎∴c2，‎ 化为：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 二、填空题 ‎13．已知点M（，直线与椭圆相交于A、B两点，则的周长为____‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】确定点为椭圆的右焦点，直线过椭圆的左焦点，由椭圆的定义，可得△ABM的周长．‎ ‎【详解】‎ 由题意，椭圆中a＝1，b＝1，c，‎ ‎∴点为椭圆的右焦点，直线过椭圆的左焦点，‎ ‎∴由椭圆的定义，可得△ABM的周长为4a＝4×2＝8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，正确运用椭圆的定义是关键．‎ ‎14．若圆：的圆心为椭圆：的一个焦点，且圆经过的另一个焦点，则____．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎15．双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得|AF|＝3，可得|PA|+|PF|的最小值为5，由双曲线的定义可得|PA|+|PF'|+2a的最小值为5，当A，P，F'三点共线时，取得最小值，可得a＝1，由离心率公式可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 由|AF|3，三角形APF的周长的最小值为8，‎ 可得|PA|+|PF|的最小值为5，‎ 又F'为双曲线的右焦点，可得|PF|＝|PF'|+2a，‎ 当A，P，F'三点共线时，|PA|+|PF'|取得最小值，且为|AF'|＝3，‎ 即有3+2a＝5，即a＝1，c，‎ 可得e．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ ‎16．已知A、B、P为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线PA、PB的斜率记为，则的最小值为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可得A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），则mn4，再利用不等式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵满足（O为坐标原点），∴A，B关于原点对称，‎ 设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），则，，‎ 直线PA，PB的斜率记为m，n，满足mn4，‎ 则，‎ 即的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的性质，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；‎ ‎（2）已知椭圆的离心率，求的值。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设所求双曲线方程为：1，（﹣4＜λ＜16），利用待定系数法能求出双曲线方程．（2）先求出a，b，c，由e，得，可求出m的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵双曲线与双曲线1有相同焦点，‎ ‎∴设所求双曲线方程为：1，（﹣4＜λ＜16），‎ ‎∵双曲线过点（，2），∴1，‎ ‎∴λ＝4或λ＝﹣14．（舍）‎ ‎∴所求双曲线方程为．‎ ‎（2）椭圆方程可化为1，‎ 因为m0，所以m，‎ 即a2＝m，b2，c，‎ 由e，得，解得m＝1，‎ 所以m＝1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线方程的求法及椭圆的性质，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．‎ ‎18．已知抛物线的方程为，直线过定点P（2,0），斜率为。当为何值时，直线与抛物线：‎ ‎（1）只有一个公共点；‎ ‎（2）有两个公共点；‎ ‎（3）没有公共点。‎ ‎【答案】（1）或（2）（3）‎ ‎【解析】由题意可设直线方程为：y＝k（x2），联立方程可得，整理可得k2x24（k2﹣1）x+4k2＝0（）‎ ‎（1）直线与抛物线只有一个公共点⇔（）只有一个根 ‎（2）直线与抛物线有2个公共点⇔（）有两个根 ‎（3）直线与抛物线没有一个公共点⇔（）没有根 ‎【详解】‎ 由题意可设直线方程为：y＝k（x2），‎ 联立方程可得，整理可得k2x24（k2﹣1）x+4k2＝0（）‎ ‎（1）直线与抛物线只有一个公共点⇔（）没有根 ‎①k＝0时，x＝0符合题意 ‎②k≠0时，△＝16（k2﹣1）2﹣16k4＝0‎ ‎∴‎ 综上可得，，，或0，‎ ‎（2）直线与抛物线有2个公共点⇔（）有两个根 ‎∴‎ ‎∴‎ 即∪‎ ‎（3）直线与抛物线没有一个公共点⇔（）没有根 解不等式可得，k或k，‎ 即∪‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．解题中容易漏洞对二次项是否为0的讨论.‎ ‎19．已知椭圆．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆C的方程可以求椭圆C的离心率（2）设椭圆C的椭圆方程，结合，得出结果.‎ ‎（1）由题意，椭圆C的标准方程为，‎ 所以，从而，‎ 因此，故椭圆C的离心率.‎ ‎（2）设点A，B的坐标分别为，其中，‎ 因为，所以，即，解得，又，‎ 所以==‎ ‎==，‎ 因为，且当时间等号成立，所以，‎ 故线段AB长度的最小值为.‎ ‎【考点】‎ 本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力，考查同学们分析问题与解决问题的能力.‎ ‎20．已知抛物线E：的准线为，焦点为，为坐标原点。‎ ‎（1）求过点、，且与相切的圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交抛物线E于两点，点A关于x轴的对称点为，且点与点不重合，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】（1）由题意求得焦点及准线方程，即可求得圆心，利用点到直线的距离公式，即可求得半径，即可求得圆的方程；‎ ‎（2）设直线AB方程为y＝k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理，求得直线BA′的方程为，当y＝0，求得x＝﹣1，则直线BA′过定点（﹣1，0）；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）抛物线E：y2＝4x的准线l的方程为：x＝﹣1，焦点坐标为F（1，0），‎ 设所求圆的圆心C（a，b），半径为r，∵圆C过O，F，‎ ‎∴，∵圆C与直线l：x＝﹣1相切，‎ ‎∴．‎ 由，得．‎ ‎∴过O，F，且与直线l相切的圆的方程为；‎ ‎（2）依题意知直线AB的斜率存在，设直线AB方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），A′（x1，﹣y1），‎ 联立，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．‎ ‎∴，x1•x2＝1．‎ ‎∵直线BA′的方程为，又由对称性可知：定点在x轴上，‎ ‎∴令y＝0，得．‎ 直线BA′过定点（﹣1，0），‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎21．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2），.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆方程，由题意列关于的方程组求解的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设，不妨设，设的内切圆的径，则的周长为，，因此最大，就最大．设直线的方程为，与椭圆方程联立，从而可表示的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为．则，解得：．∴椭圆方程为，‎ ‎（Ⅱ）设，不妨，设的内切圆的半径，‎ 则的周长为，因此最大，‎ 就最大，‎ 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，‎ 由得，得 则，‎ 令，则，∴，‎ 令，则，当时，，在上单调递增，有，‎ 即当时，，，∴，这时所求内切圆面积的最大值为．‎ 故直线内切圆面积的最大值为 ‎【考点】1．椭圆方程；2．直线与椭圆的位置关系．‎ ‎22．‎ 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与轴交于点.（1）求证:，，成等比数列；‎ ‎（2）设，，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】解：(1)见解析；(2)见解析.‎ ‎【解析】第一问中，‎ 解：(1)设直线l的方程为：，‎ 联立方程可得得:① ………………………………2分 设则②‎ ‎， …………………………4分 而，∴，‎ 即|MA|，|MC|、|MB|成等比数列…………………………………………………………6分 ‎(2)法1：由得，‎ ‎，‎ 即得：………………………………………………………8分 则………………………………………………………10分 由(1)中②代入得，故为定值且定值为-1 ………………………………13分