2017-2018学年安徽省淮南市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年安徽省淮南市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题

‎2017-2018学年安徽省淮南市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题 命题人：数学命题组 一、选择题（每题5分，共12题）‎ ‎1.椭圆的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知直线，平面，且，，则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.在直角坐标系中，方程的曲线是（ ）‎ A B C D ‎4.将图1所示正方体截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.椭圆和有（ ）‎ A.相等的焦距 B.等长的长轴 C.相等的离心率 D.等长的短轴 ‎6.有关下列命题，其中说法错误的是（ ）‎ A.命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ B.“”是“”的必要不充分条件 C.若是假命题，则，都是假命题 D.命题“若且，则”的等价命题是“若，则或”‎ ‎7.已知直线过椭圆短轴的一个顶点，则离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.中心为，一个焦点为的椭圆，截直线所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在体积为的三棱锥中，，，，且平面平面，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.如图，正方体的棱长为1，为的中点，则下列五个命题：‎ ‎①点到平面的距离为；‎ ‎②在空间与，，都相交的直线有无数条；‎ ‎③空间四边形在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为；‎ ‎④过的中点与直线所成角为并且与平面所成角为的直线有3条。‎ 其中真命题个数（ ）.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 二、填空题（每题5分，共4题）‎ ‎13.命题，使得，写出命题的否定.‎ ‎14.焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为.‎ ‎15.如图，已知在一个二面角的棱上有两个点，，线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于交线，，，，，则这个二面角的度数为.‎ ‎16.已知，.若对于所有的，均有，则的取值范围是.‎ 三、解答题（17题10分，18-22题12分）‎ ‎17.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：点在椭圆的外部.若为真，求的取值范围.‎ ‎18.已知中心在坐标原点的椭圆，经过点，且过点为其右焦点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；（2）是（1）中所求椭圆上的动点，求中点的轨迹方程.‎ ‎19.如图组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截圆柱所得的截面），是圆柱底面圆周上不与，重合的一个点.‎ ‎（1）求证：无论点如何运动，平面平面；‎ ‎（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比.‎ ‎20.设分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，‎ ‎（1）若的周长为16，求；‎ ‎（2）若，求椭圆的离心率.‎ ‎21.已知多面体如图所示，其中为矩形，为等腰直角三角形，，四边形为梯形，且，，.‎ ‎（1）若为线段的中点，求证：平面；‎ ‎（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面 所成角的余弦值等于？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎22.如图，已知离心率为的椭圆：过点，为坐标原点，平行于的直线交椭圆与不同的两点，.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）证明：直线斜率之和为定值.‎ 答案 选择题：‎ ‎1-5 CBCBA 6-10 CBACA 11-12 DC 填空题 ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.‎ 解答题 ‎17.‎ ‎18.(1) 依题意，可设椭圆的方程为，‎ 且可知左焦点为，从而有，解得，又，所以，故椭圆的方程为．‎ ‎（2）设 ‎∵为的中点 ‎∴‎ 由是上的动点 ‎∴，‎ 即点的轨迹方程是 ‎19.（1）由条件，为底面圆的直径，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点，所以，又圆柱母线平面，则，点，‎ 所以平面，从而平面平面；‎ ‎（2）设圆柱的母线长为，底面半径为，则圆柱的体积为，‎ 当点是弧的中点时，为等腰直角三角形，面积为，‎ 三棱锥的体积为，‎ 三棱柱的体积为，‎ 则四棱锥的体积为，‎ 四棱锥与圆柱的体积比为．‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 解：（1）由，得：，‎ ‎∵的周长为16，∴由椭圆定义可得，.‎ 故.‎ ‎（2）设，则且，‎ 由椭圆定义可得.‎ 在中，由余弦定理可得，‎ 即，‎ 化简可得，而，故.‎ 于是由，，‎ 因此，可得，‎ 故为等腰直角三角形.‎ 从而，∴椭圆的离心率.‎ ‎21.（2）与重合 ‎22.（Ⅰ）解：设椭圆的方程为：，‎ 由题意得： ，‎ 解得，，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）证明：由直线，设：，‎ 将式子代入椭圆得：，‎ 设，则，，‎ 设直线、的斜率分别为，‎ 则，‎ ‎∵，‎ ‎. ‎