专题57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题57分类加法计数原理与分步乘法计数原理 最新考纲 ‎1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”.‎ ‎2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．‎ ‎2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．‎ ‎3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】分类加法计数原理的应用 ‎【典型例题】‎ 设x1，x2，x3，x4∈{﹣1，0，2}，那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数对（x1，x2，x3，x4）的组数为　 　‎ ‎【解答】解：①|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝2，0+0+0+2＝2，有4种，1+0+1+0＝2，有6种，故有10组；‎ ‎②：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝3，0+1+1+1＝3，有4种，0+1+2+0＝3，有C41C31＝12种，故有16组；‎ ‎③：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝4，1+1+1+1＝4，有1种，0+1+1+2＝4，有C41C31‎ ‎＝12种，0+0+2+2＝4，有C41C31＝6种，故有19组；‎ 综上，共45组，‎ 故答案为：45．‎ ‎【再练一题】‎ 今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（　　）种 A．204 B．288 C．348 D．396‎ ‎【解答】解：①若6人乘坐3辆缆车，则将4个大人分成2，1，1三组有6种方法，然后将三组排到三个缆车有6种方法，再将两个小孩排到三个缆车有3×3﹣1＝8种方法，所以共有6×6×8＝288种方法．‎ ‎②若6人乘坐2辆缆车，‎ ‎（1）两个小孩不在一块：则大人分成2，2两组的方法有3种方法，将两组排到两辆缆车有6种方法，再将两个小孩排到两辆缆车有2种方法，‎ 故共有3×6×2＝36种方法．‎ ‎（2）两个小孩在一块：则大人分成3，1两组，分组方法为4种方法，小孩加入1人的组有1种方法，再将两组从3辆缆车中选两辆排入有6种方法，故共有4×1×6＝24种方法．‎ 综上共有：288+36+24＝348种方法．‎ 故选：C． 思维升华 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置．‎ ‎(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．‎ ‎(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．‎ ‎(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．‎ ‎【题型二】分步乘法计数原理的应用 ‎【典型例题】‎ 乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有　 　项．‎ ‎【解答】解：根据多项式的乘法法则，（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）的结果中每一项都必须是在（a1+a2+a3）、（b1+b2+b3+b4）、（c1+c2+c3+c4+c5）三个式子中任取一项后相乘，得到的式子，‎ 而在（a1+a2+a3）中有3种取法，在（b1+b2+b3+b4）中有4种取法，在（c1+c2+c3+c4+c5）中有5种取法，‎ 由乘法原理，可得共有3×4×5＝60种情况，‎ 则（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）的展开式中有60项；‎ 故答案为60． 【再练一题】‎ 某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（　　）‎ A．9×8×7×6×5×4×3 B．8×96 ‎ C．9×106 D．81×105‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，‎ 电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，‎ 同理升为七位时为9×106．‎ ‎∴可增加的电话部数是9×106﹣9×105＝81×105．‎ 故选：D． 思维升华 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．‎ ‎(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．‎ ‎【题型三】两个计数原理的综合应用 命题点1　与数字有关的问题 ‎【典型例题】‎ 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部 五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（　　）个数．‎ A．6 B．9 C．10 D．8‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，‎ 首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有A33＝6个，‎ 前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列．共有A22＝2种结果，‎ 前三位是123．第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，‎ ‎∴数字12340前面有6+2+1＝9个数字，‎ 数字本身就是第十个数字，‎ 故选：C． 【再练一题】‎ 从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（　　）‎ A．9个 B．15个 C．45个 D．51个 ‎【解答】解：①当这个三位数中，数字2和3都有时，需从剩余3个数中再选一个数，方法有3种，‎ 再把这3个数进行排列，方法有种，故含有数字2和3的三位数共有318个．‎ 其中满足2排在3的前面的三位数占总数的一半，故满足条件的三位数共有 189个．‎ ‎②当这个三位数中，2和3只有一个时，这样的三位数的个数为 ••36．‎ ‎③当这个三位数中，2和3都没有时，这样的三位数的个数为 6．‎ 综上可得，满足条件的三位数的个数为 9+36+6＝51，‎ 故选：D． 命题点2　涂色、种植问题 ‎【典型例题】‎ 如图所示的几何体是由一个三棱锥P﹣ABC与三棱柱ABC﹣A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面A1B1C1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（　　）‎ A．6种 B．9种 C．12种 D．36种 ‎【解答】解：先涂三棱锥P﹣ABC的三个侧面，有C13×C12种情况；‎ 然后涂三棱柱的三个侧面，有C11×C12种情况；‎ 共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．‎ 故选：C． 【再练一题】‎ 从6种不同的蔬菜种子a，b，c，d，e，f中选出4种，分别种在4块不同的土壤A，B，C，D中进行试验，已有资料表明A土壤不宜种植a，B土壤不宜种植b，但a，b品种产量高，现a，b品种必种的试验方案有　 　种．（用数字作答）‎ ‎【解答】解：ab必种的方法有C42A44＝144种，a刚好种在A或者b刚好种在B的方法有C42A33＝36种，‎ 第一步先从c，d，e，f选种，有C42＝6种，‎ 第二步，分类，若a种植在B土壤，则其它任意种即可，故有A33＝9种，‎ 若a不种植在B土壤，则从C，D土壤选一个种植a，再从A或C，D中的一个，种植b，‎ 则其它任意种即可，故有A21A31A22＝12种，‎ 根据分步和分类计数原理可得，共有6×（9+12）＝126种，‎ 故答案为：126 命题点3　与几何有关的问题 ‎【典型例题】‎ 用四种不同的颜色给三棱柱ABC﹣A1B1C1六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（　　）种．‎ A．288 B．240 C．168 D．264‎ ‎【解答】解：∵图中每条线段的两个端点涂不同颜色，‎ ‎∴可以根据所涂得颜色的种类来分类，‎ B，C1，A，A1用四种颜色，则有A44×1×1＝24种涂色方法；‎ B，C1，A，A1用三种颜色，则有A43×2×2+A43×2×1×2＝192种涂色方法；‎ B，C1，A，A1用两种颜色，则有A42×2×2＝48种涂色方法；‎ 根据分类计数原理知共有24+192+48＝264种不同的涂色方法．‎ 故选：D．‎ ‎ 【再练一题】‎ 一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（　　）‎ A．至多能剪成19块“L”形骨牌 ‎ B．至多能剪成20块“L”形骨牌 ‎ C．一定能剪成21块“L”形骨牌 ‎ D．前三个答案都不对 ‎【解答】解：由下图的一个图形能剪成2块“L”形骨牌，‎ 在个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定），‎ 共包含有10个这样的能剪成2块“L”形骨牌的图形，‎ 且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”形骨牌，‎ 故要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成21块“L”形骨牌．‎ 故选：C． 思维升华 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 ‎(1)弄清完成一件事是做什么．‎ ‎(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．‎ ‎(3)弄清分步、分类的标准是什么．‎ ‎(4)利用两个计数原理求解．‎ 基础知识训练 ‎1．【江西省九江市2018-2019学年高二下学期期末】学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有( )‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解:第一期培训派1人时，有种方法, 第一期培训派2人时，有种方法,‎ 故学校不同的选派方法有，故选B.‎ ‎2．【陕西省西安市蓝田县2018-2019学年高二下学期期末考试】完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）‎ A．5种 B．4种 C．9种 D．20种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.‎ ‎3．【内蒙古集宁一中(西校区)2018-2019学年高二6月月考】书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有(　　)‎ A．22种 B．350种 C．32种 D．20种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：由题意知本题是一个分类计数问题，‎ 解决问题分成三个种类，一是选择语文书，有10种不同的选法；‎ 二是选择英语书，有7种不同的选法，‎ 三是选择数学书，有5种不同的选法，‎ 根据分类计数原理知，共有10+7+5＝22种不同的选法.‎ ‎4．【西藏自治区拉萨中学2018-2019学年高二第六次月考】现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 每一位同学有5种不同的选择，则6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，‎ 每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是56.‎ 故选：B．‎ ‎5．【宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高二下学期期中考试】现有3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少两人，女医生不能全在同一组，则不同的派遣方法有（ ）‎ A．24 B．54 C．36 D．60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设两个山区为，，‎ ‎①若山区派遣2名医生，则共有种不同的派遣方法，‎ ‎②若山区派遣3名医生，则共有种不同的派遣方法，‎ ‎③若山区派遣4名医生，等同山区派遣2名医生，则共有种不同的派遣方法，‎ 综合①②③得：则不同的派遣方法有，‎ 故选：C．‎ ‎6．【辽宁省葫芦岛协作校2018-2019学年高二下学期第二次考试】某食堂一窗口供应荤 素共种菜，甲、乙两人每人在该窗口打种菜，且每人至多打种荤菜，则两人打菜方法的种数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 甲有两种情况：一荤一素，种；两素，种.故甲共有种，同理乙也有种，则两人打菜方法的和数为种.‎ 故答案选C ‎7．【湖北省天门市、仙桃市、潜江市2018-2019学年高一下学期期末考试】打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7,8,9中的一个数字，第四位是1,2,3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 第二位有三种情况，第四位有三种情况，所以一共有种情况，所以一次输对的概率为 ‎8．【北京市第八中学2018-2019学年高二下学期期中】由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有（ ）个.‎ A．14 B．16 C．18 D．20‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类：‎ ‎（1）由0，1，2三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数；‎ ‎（2）由0，2，4三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数；‎ ‎（3）由1，2，3三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数；‎ ‎（4）由2，3，4三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数，所以由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个数.‎ ‎9．【浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二（下)期中】从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（　　）‎ A．420 B．840 C．140 D．70‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，9个数字中奇数为1，3，5，7，9，偶数为2，4，6，8，‎ 三位数要求既有奇数也有偶数，‎ 则若1个奇数，2个偶数，有个，‎ 若2奇数，1偶数，有个，‎ 由分类计数原理可得，共有个，‎ 故选：A．‎ ‎10．【内蒙古开来中学2018-2019高二5月期中考试】从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）‎ A．28 B．49 C．56 D．85‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意知，丙没有入选，所以只需把丙去掉，把总的元素个数变为9个，‎ 因为甲乙至少有1人入选，‎ 所以条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法，共有种选法；‎ 另一类是甲乙两人都入选，共有种选法，‎ 由分类计数原理可得，不同的选法共有种选法，‎ 故选B．‎ ‎11．【2019年北京市西城区第二学期期末高二】算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：‎ 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：‎ 如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下 ‎ ‎ ‎2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，‎ 则上列情况能表示的三位数字个数分别为：‎ ‎2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，‎ 根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：‎ ‎.‎ 故选B.‎ ‎12．【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试】如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，‎ 根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：‎ ‎，对于区域，有5种颜色可选；‎ ‎，对于区域区域相邻，有4种颜色可选；‎ ‎，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；‎ ‎，对于区域，若颜色相同，区域有3种颜色可选，‎ 若颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，‎ 则区域种选择，‎ 则不同的涂色方案有种，‎ 其中，区域涂色不相同的情况有：‎ ‎，对于区域，有5种颜色可选；‎ ‎，对于区域区域相邻，有4种颜色可选；‎ ‎，对于区域区域相邻，有2种颜色可选；‎ ‎，对于区域，若颜色相同，区域有2种颜色可选，‎ 若颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，‎ 则区域种选择，‎ 不同的涂色方案有种，‎ 区域涂色不相同的概率为 ,故选B．‎ ‎13．【山西省临汾第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】某公园现有甲、乙、丙三只小船，甲船可乘3人，乙船可乘2人，丙船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人)，为安全起见，儿童必须由成人陪同方可乘船，则分乘这些船只的方法有______种（用数字作答）.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ 一个大人带两个儿童时，大人的选法有种，故方法数有种. 两个大人各带一个儿童时，先排好大人，再排小孩，方法数有种.故总的方法数有种.‎ ‎14．【北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有______个（用数字作答）．‎ ‎【答案】48‎ ‎【解析】‎ 根据题意，组成四位数的百位数字为5，分2步进行分析：‎ ‎①组成四位数的千位数字不能为0，则千位数字有4种选法，‎ ‎②在剩下的4个数字中选出2个，安排在是十位、个位，有种选法，‎ 则符合条件的四位数有个；‎ 故答案为：48‎ ‎15．【广东省佛山市第二中学2018-2019学年第二学期第三次月考高二级】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．‎ ‎【答案】630.‎ ‎【解析】‎ 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，‎ 若第三个格子与第一个格子同色，‎ 则有种涂色方法；‎ 若第三个格子与第一个格子不同色，‎ 则有种涂色方法；‎ 综上，共有种涂色方法.‎ 故答案为630‎ ‎16．【新疆兵团第二师华山中学2018-2019学年高二下学期期中考试】用0到9这10个数字，可以组成_______个没有重复数字的三位奇数．‎ ‎【答案】320‎ ‎【解析】‎ 由题意，从中任选一个数排在个位数，共有种方法，‎ 再从剩余的8个非零数字中任选一个数字排在首位，共有种方法，‎ 从剩余的8个数字中任选一个数字排在十位数，共有种方法，‎ 由分步计数原理，组成没有重复数字的三位奇数共有种．‎ ‎17．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试】位同学分成组，参加个不同的志愿者活动，每组至少人，其中甲乙人不能分在同一组，则不同的分配方案有_____种．（用数字作答）‎ ‎【答案】114‎ ‎【解析】‎ 根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①，将5位同学分成3组，要求甲乙2人不能分在同一组，‎ 若分成1、2、2的三组，有种，其中甲乙分在同一组的情况有种，此时有种分组方法；‎ 若分成3、1、1的三组，有种，其中甲乙分在同一组的情况有 种，此时有种分组方法；‎ 则符合题意的分法有种；‎ ‎②，将分好的3组全排列，对应3个不同的志愿者活动，有种情况，‎ 则有种不同的分配方案；‎ 故答案为：114．‎ ‎18．【安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次段考】西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．‎ ‎【答案】420‎ ‎【解析】‎ 对于新疆有5种涂色的方法，‎ 对于青海有4种涂色方法，‎ 对于西藏有3种涂色方法，‎ 对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；‎ 若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法；‎ 根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法．‎ 故答案为：420.‎ ‎19．【广西南宁市第三中学、柳州市高级中学2018-2019学年高二下学期联考（第三次月考)】将三位老师分配到4所学校实施精准帮扶，若每位老师只去一所学校，每所学校最多去2人，则不同的分配方法有_____________ 种（用数字作答）.‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ 根据题意,分2种情况讨论：‎ 若三位老师去三所学校，则有种分配方法；‎ 若两位老师一所学校，另一位老师去一所学校，‎ 则有种分配方法，‎ 所以共有种不同的分配方法，故答案为60 .‎ ‎20．【福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】有3男2女共5名学生被分派去A，B，C三个公司实习，每个公司至少1人，且A公司只要女生，共有_________种不同的分派方法用数字作答 ‎【答案】34‎ ‎【解析】‎ 由题意，第一类，A公司只有1个女生，有种分派方案，‎ 则B，C公司分派人数可以为2，2或者1，3或者3，1共3种分派方案，共种，所以一共有种分派方案，‎ 第二类，A公司有2个女生，只有1种分派方案，‎ 则B，C公司的分派人数只能是1，2或者2，1；则有种，‎ 根据分类计数原理共有种，‎ 故答案为34．‎ 能力提升训练 ‎ 1．【陕西省汉中市2019届高三年级教学质量第二次检测考试】汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有（ ）‎ A．12种 B．22种 C．28种 D．30种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题可分两种情况讨论：‎ ‎①甲可能在A组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有种分法；‎ ‎②甲可能在B组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有种分法；‎ 一共有种分法。‎ 故选C.‎ ‎2．【北京延庆区2019届高三一模】5名运动员参加一次乒乓球比赛，每名运动员都赛场并决出胜负．设第位运动员共胜场，负场（），则错误的结论是( )‎ A．‎ B．‎ C．为定值，与各场比赛的结果无关 D．为定值，与各场比赛结果无关 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得，所有胜的场数为10场，所以负的场数为10场。‎ 选项A，根据已知，所有胜的场数和与所有负的场数和是相等的，所以，即A选项正确。‎ 选项B，假设5名运动员胜的场数分别为0,1,2,3,4，则负的场数分别为4,3,2,1,0，所以，即选项B正确。‎ 选项C，=10，为定值，且与比赛结果无关，即选项C正确。‎ 选项D，不一定为定值，胜的场数可以0,1,2,3,4，也可以为1,1,1,3,4，故不一定为定值，所以选项D错误，故选D。‎ ‎3．【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试】某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，‎ 当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列，‎ 当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列 ，‎ 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列，‎ 当最右边三辆时，有车之间的一个排列，‎ 总上可知，共有不同的排列法种结果．‎ 所以选B ‎4．【内蒙古通辽实验中学2018-2019学年高二下学期第一次月考】从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步从一楼到二楼共有（ ）走法。‎ A．12 B．8 C．70 D．66‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：设一步一级x步，一步两级y步，则 故走完楼梯的方法有 种．‎ 故答案为：C.‎ ‎5．【天津市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为　　‎ A．108 B．216 C．648 D．1296‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：根据题意，分2步进行：‎ ‎、将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有种排法；‎ 三个三口之家共有种排法，‎ ‎、将三个整体元素进行排列，共有种排法 故不同的作法种数为；‎ 故选：D．‎ ‎6．【湖南省醴陵二中、醴陵四中2018-2019学年高二下学期期中联考】从5名志愿者中选出4人分别到、、、四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到、‎ 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（　　）‎ A．120种 B．24种 C．18种 D．36种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：根据题意，分两种情况讨论： ‎ ‎①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到，中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有种选派方案． ‎ ‎②、甲、乙两人都被选中，安排到，部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有种选派方案， ‎ 综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案， ‎ 故选：D．‎ ‎7．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理等6门选修课，甲同学需从中选修3门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数有_________．（用数字填写答案）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，可知化学、生物两门中至少选修一门，可分为两种情况：‎ 当化学、生物两门中选修一门，其余四科中选两门，共有种；‎ 当化学、生物两门中选修两门，其余四科中选一门，共有种；‎ 综上可知，化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法共有．‎ ‎8．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】某超市内一排共有个收费通道，每个通道处有号，号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的处通道，要求处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有__________种．‎ ‎【答案】108‎ ‎【解析】‎ 设6个收费通道依次编号为1,2,3,4,5,6，从中选择3个互不相邻的通道，有135,136,146,246共4种不同的选法.‎ 对于每个通道，至少开通一个收费点，即可以开通1号收费点，开通2号收费点，同时开通两个收费点，共3种不同的安排方式.‎ 由分步乘法计数原理，可得超市选择收费的安排方式共有种.‎ ‎9．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五)】习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________．‎ ‎【答案】360‎ ‎【解析】‎ 方法1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：‎ ‎（1）甲校安排1名教师，分配方案种数有；‎ ‎（2）甲校安排2名教师，分配方案种数有；‎ ‎（3）甲校安排3名教师，分配方案种数有；‎ ‎（4）甲校安排4名教师，分配方案种数有；‎ 由分类计数原理，可得共有（种）分配方案.‎ 方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，‎ ‎（1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有种，其余5名分成一人组和四人组有种，共（种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有（种），则第一种情况共有（种）；‎ ‎（2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有（种），李老师分配到三人组有（种），李老师分配到两人组有（种），所以第二种情况共有（种）；‎ ‎（3）对于第三种情况，共有（种）；‎ 综上所述，共有（种）分配方案.‎ ‎10．【云南省师范大学附属中学2019届高三第八次月考】用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字且为5的倍数的四位数，把所组成的全部四位数从小到大排列起来，则3125是第_____个数．‎ ‎【答案】54‎ ‎【解析】‎ 当千位数字为1时，末位数字有种选择，另外两个数位有种选择，所以共有个数；‎ 当千位数字为2时，末位数字有种选择，另外两个数位有种选择，所以共有个数；‎ 千位数字为3时且比3125小的有5个（3015，3025，3045，3105，3120）‎ 综上，比3125小的共有53个，‎ 所以3125是第54个数. ‎