2018届高考数学高考复习指导大二轮复习课后强化训练：1+第2讲向量运算与复数运算、算法、推理与证明

2018届高考数学高考复习指导大二轮复习课后强化训练：1+第2讲向量运算与复数运算、算法、推理与证明

第一部分　专题一　第二讲 A组 ‎1．(2017·全国卷Ⅱ，1)＝(　D　)‎ A．1＋2i　　 B．1－2i　　‎ C．2＋i　　 D．2－i ‎[解析]　＝＝＝2－i．‎ 故选D．‎ ‎2．(文)(2017·石家庄一模)已知i为虚数单位，则复数＝(　C　)‎ A．2＋i B．2－i ‎ C．－1－2i D．－1＋2i ‎[解析]　＝＝－1－2i，故选C．‎ ‎(理)(2017·甘肃兰州三诊)若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a、b∈R，则|a＋bi|＝(　C　)‎ A．＋i B． ‎ C． D． ‎[解析]　∵(1＋2ai)i＝－2a＋i＝1－bi，‎ ‎∴a＝－，b＝－1，‎ ‎∴|a＋bi|＝|－－i |＝＝．‎ ‎3．(文)(2017·合肥高三第一次质检)执行如下程序框图，则输出结果为(　C　)‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ ‎[解析]　依次执行框图中的语句：n＝1，S＝0，T＝20；‎ T＝10，S＝1，n＝2；T＝5，S＝3，n＝3；T＝，S＝6，n＝4，跳出循环，输出的n＝4，故选C．‎ ‎(理)执行如图所示的程序框图，则输出S的值为(　D　)‎ A．3 B．－6 ‎ C．10 D．－15‎ ‎[解析]　程序运行过程为：i＝1，S＝0→S＝0－12＝－1，i＝2→S＝－1＋22，i＝3，由于判断条件i<6，∴当i＝5时，执行最后一次后输出S的值，∴S＝－1＋22－32＋42－52＝－15．‎ ‎4．(2017·陕西质检)设向量a，b满足|a＋b|＝，a·b＝4，则|a－b|＝(　C　)‎ A． B．2 ‎ C．2 D． ‎[解析]　向量的数量积．∵|a＋b|＝，a·b＝4，‎ ‎∴|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝16，∴|a－b|＝2，故选C．‎ ‎5．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　B　)‎ A． B． ‎ C．2 D．10‎ ‎[解析]　∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，‎ ‎∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝．‎ ‎6．下面框图所给的程序运行结果为S＝28，那么判断框中应填入的关于k的条件是(　D　)‎ A．k＝8? B．k≤7?‎ C．k<7? D．k>7?‎ ‎[解析]　开始→k＝10，S＝1，满足条件→S＝1＋10＝11，k＝10－1＝9，满足条件→S＝11＋9＝20，k＝9－1＝8，满足条件→S＝20＋8＝28，k＝8－1＝7.由于输出S的值为28，故k＝7不再满足条件，故选D．‎ ‎7．(文)(2017·哈三中一模)若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为(　B　)‎ A． B．－ ‎ C．i D．－i ‎[解析]　＝＝的实部为，虚部为－，其积为－，故选B．‎ ‎(理)(2017·衡水中学模拟)设a∈R，i是虚数单位，则“a＝1”是“为纯虚数”的(　A　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎[解析]　若＝＝＋为纯虚数，则a＝±1，若a＝1，则为纯虚数，∴选A．‎ ‎8．设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则＋＝(　A　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎[解析]　如图，‎ ＋＝－(＋)－(＋)‎ ‎＝－(＋)＝(＋)＝．‎ 选A．‎ ‎9．(2017·河北高三联考)如图是一个程序框图，则输出的n的值是(　D　)‎ A．29 B．31 ‎ C．61 D．63‎ ‎[解析]　由程序框图可知，p＝9，n＝3；p＝15，n＝7；p＝23，n＝15；p＝31，n＝31，n＝63，则log3163>1，循环结束，故n＝63，选D．‎ ‎10．(2017·葫芦岛一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为(　C　)‎ A．201 B．411 ‎ C．465 D．565‎ ‎[解析]　200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465．‎ ‎11．(2016·北京卷，9)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝__－1__. ‎[解析]　(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，所以a＋1＝0，a＝－1．‎ ‎12．若OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝__4__. ‎[解析]　∵＝(－3,1)，＝(－2，k)，‎ ‎∴＝－＝(1，k－1)．‎ 由题意知⊥，∴·＝0，‎ 即(－3,1)·(1，k－1)＝0．‎ ‎∴－3＋k－1＝0，∴k＝4．‎ ‎13．执行如图所示的程序框图，输出的S的值是__－1－__. ‎[解析]　由程序框图可知，n＝1，S＝0；S＝cos，n＝2；S＝cos＋cos，n＝3；…；n＝2 015，S＝cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251(cos＋cos＋…＋cos)＋cos＋cos＋…＋cos＝251×0＋＋0＋(－)＋(－1)＋(－)＋0＝－1－，n＝2 105，输出S．‎ ‎14．(2017·合肥质检)已知等边△ABC的边长为2，若＝3，＝，则·＝__－2__. ‎[解析]　如图所示，·＝(－)·(＋)＝(－)·(＋－)＝(－)·(＋)＝2－2＝×4－×4＝－2．‎ ‎15．如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面中的结论有__S2＝S＋S＋S__. ‎[解析]　建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质，所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2＝S＋S＋S．‎ B组 ‎1．设复数z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若为实数，则实数b等于(　D　)‎ A．－2 B．－1 ‎ C．1 D．2‎ ‎[解析]　＝＝ ‎＝，‎ 若其为实数，则有＝0，解得b＝2．‎ ‎2．(文)(2016·石景山检测)已知复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i，若z是纯虚数，则实数a等于(　B　)‎ A．2 B．1 ‎ C．0 D．－1‎ ‎[解析]　∵z为纯虚数，∴∴a＝1．‎ ‎(理)已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋i，若z1·z2为纯虚数，则实数a的值为(　B　)‎ A．－1 B．1 ‎ C．－2 D．2‎ ‎[解析]　∵z1·z2＝(a－1)＋(a＋1)i为纯虚数，‎ ‎∴，∴a＝1．‎ ‎3．(2017·山东卷，6)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为(　B　)‎ A．x>3 B．x>4 ‎ C．x≤4 D．x≤5‎ ‎[解析]　输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x>4，故选B．‎ ‎4．(文)如果不共线向量a、b满足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b与2a－b的夹角为(　C　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎[解析]　∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|2＝0，‎ ‎∴(2a＋b)⊥(2a－b)，∴选C．‎ ‎(理)若两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是(　C　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎[解析]　解法一：由条件可知，a·b＝0，|b|＝|a|，则cosθ＝＝－⇒θ＝．‎ 解法二：由向量运算的几何意义，作图可求得a＋b与a－b的夹角为．‎ ‎5．设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝，|a＋b|＝2，则|b|等于(　B　)‎ A． B．1 ‎ C． D．2‎ ‎[解析]　∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1．‎ ‎6．(2016·北京卷)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为(　B　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎[解析]　输入a＝1，则b＝1，第一次循环，a＝＝－，k＝1；第二次循环，a＝＝－2，k＝2；第三次循环，a＝＝1，此时a＝b，结束循环，输出k＝2.故选B．‎ ‎7．(2017·武汉模拟)如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝(　C　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎[解析]　每条边有n个点，所以三条边有3n个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么＝＝＝－，‎ 则＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…(－)＝1－＝．‎ 故选C．‎ ‎8．(2016·全国卷Ⅱ，8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝(　C　)‎ A．7 B．12 ‎ C．17 D．34‎ ‎[解析]　由程序框图知，‎ 第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；‎ 第二次循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；‎ 第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C．‎ ‎9．(2017·大连模拟)设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的虚部为__－1__. ‎[解析]　∵z＝1－i(i为虚数单位)，‎ ‎∴＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝－2i＝－i，故其虚部为－1．‎ ‎10．(文)(2017·厦门联考)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．”‎ 乙说：“我们四人中有人考得好．”‎ 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”‎ 丁说：“我没考好．”‎ 结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的__乙丙__.两人说对了．‎ ‎[解析]　甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．‎ ‎(理)(2017·湖北七市联考)观察下列等式： ‎1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；‎ ‎1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；‎ ‎1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)；‎ ‎……‎ 可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝__n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N*)__．‎ ‎[解析]　根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)‎ ‎＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N*)‎ ‎11．(2017·济南一模)公元约263年，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限接近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为__24__. ‎(参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0.1305)‎ ‎[解析]　由程序框图得第一次循环，n＝6，S＝3sin 60°≈2.598<3.10；第二次循环，n＝12，S＝6sin 30°＝3<3.10；第三次循环，n＝24，S＝12sin 15°≈3.105 6>3.10，此时循环结束，输出n的值为24．‎ ‎12．如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是__(－1,0)__. ‎[解析]　根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则＝t．‎ ‎∵D在圆外，∴t<－1，‎ 又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又由已知，＝m＋n，‎ ‎∴tm＋tn＝λ＋μ，‎ ‎∴m＋n＝，故m＋n∈(－1,0)．‎