数学卷·2018届重庆一中高二上学期10月月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届重庆一中高二上学期10月月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年重庆一中高二（上）10月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）‎ ‎1．双曲线的一个焦点坐标是（　　）‎ A．（0，8） B． C． D．（﹣4，0）‎ ‎2．过椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦，则此弦长为（　　）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎3．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），双曲线的渐近线y=±x，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1‎ ‎4．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=4，B=，C=，则c的长度是（　　）‎ A． B．2+2 C． D．2‎ ‎5．已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a2+a8）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若直线ax﹣by+1=0（a＞0，b＞0）分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，] B．（0，] C．（0，] D．[，+∞）‎ ‎7．设实数x，y满足，则x+y取得最小值时的最优解的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．无数个 ‎8．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），过点F的直线交双曲线于AB两点．若AB的中点坐标为（﹣3，﹣1），则E的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎9．已知P是椭圆+y2=1上的动点，则P点到直线l：x+y﹣2=0的距离的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若正实数x，y满足log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），则3x+y的最小值是（　　）‎ A．12 B．6 C．16 D．8‎ ‎11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．对任意实数a，b，c，d，定义符号=，已知函数f（x）=，直线l：kx﹣y+3﹣2k=0，若直线l与函数f（x）的图象有两个公共点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，）∪（，1） B．（﹣1，） C．（﹣1，）∪（，1） D．（﹣1，1）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知向量=（1，1），向量与向量夹角为π，且•=﹣1，则||=　　．‎ ‎14．设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a8=　　．‎ ‎15．已知动点P与双曲线x2﹣y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，则动点P的轨迹方程为　　．‎ ‎16．如图，设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2的内切圆的面积为π，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则|y1﹣y2|值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．‎ ‎（1）若l1⊥l2，求实数a的值；‎ ‎（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．‎ ‎18．已知曲线C的方程是：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，点P（3，﹣1）．‎ ‎（1）若m=1，直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，求直线l的方程；‎ ‎（2）若曲线C表示圆且被直线x+2y+5=0截得的弦长为2，求实数m的值．‎ ‎19．已知函数f（x）=cos（2x+）+1，△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．‎ ‎（Ⅰ）若角A、B、C成等差数列，求f（B）的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（﹣）=，边a、b、c成等比数列，△ABC的面积S=，求△ABC的周长．‎ ‎20．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=2+（n=1，2，3，…），其前n项和为Tn，如果对任意的n∈N*，都有Tn+2t≥t2成立，求Tn的表达式及实数t的取值范围．‎ ‎21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右顶点为A、B，左右焦点为F1，F2，其长半轴的长等于焦距，点Q是椭圆上的动点，△QF1F2面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B的点M、N，判断点B与以MN为直径的圆的位置关系．‎ ‎22．在平面直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为B（0，﹣1），C（0，1），平面内两点P、Q同时满足：‎ ‎①++=；②||=||=||；③∥．‎ ‎（1）求顶点A的轨迹E的方程；‎ ‎（2）过点F（，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1，l2与点A的轨迹E的相交弦分别为A1B1，A2B2，设弦A1B1，A2B2的中点分别为M，N．‎ ‎（ⅰ）求四边形A1A2B1B2的面积S的最小值；‎ ‎（ⅱ）试问：直线MN是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆一中高二（上）10月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）‎ ‎1．双曲线的一个焦点坐标是（　　）‎ A．（0，8） B． C． D．（﹣4，0）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，进而由c2=a2+b2，可得c的值，又可以判断其焦点在x轴上，即可求得其焦点的坐标，分析选项可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，‎ 可得a=2，b=2，则c=4，且其焦点在x轴上，‎ 则其焦点坐标为（4，0），（﹣4，0），‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．过椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦，则此弦长为（　　）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的标准方程即可得出c，进而得出弦AB的坐标及弦长．‎ ‎【解答】解：由椭圆（a＞b＞0），可得a2=4，b2=3，∴‎ ‎=1．‎ 不妨取焦点F（1，0），过焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦为AB，，解得．‎ ‎∴弦长|AB|==3．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），双曲线的渐近线y=±x，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，有a2+b2=c2=4，①=，②联立两式，解可得a2、b2的值，将其代入双曲线的标准方程即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，有a2+b2=c2=4，①=，②‎ 联立①、②可得：a2=1，b2=3，‎ 则要求双曲线的方程为： =1；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=4，B=，C=，则c的长度是（　　）‎ A． B．2+2 C． D．2‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由B与C的度数，求出sinB与sinC的值，再由b的值，利用正弦定理即可求出c的长．‎ ‎【解答】解：∵b=4，B=，C=，‎ ‎∴由正弦定理=得：‎ c===．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a2+a8）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质可得a1+a9=a2+a8=2a5，结合已知，可求出a5，进而求出cos（a2+a8）．‎ ‎【解答】解：∵{an}为等差数列，‎ ‎∴a1+a9=a2+a8=2a5，‎ ‎∵a1+a5+a9=8π，‎ ‎∴a5=，a2+a8=，‎ ‎∴cos（a2+a8）=cos=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．若直线ax﹣by+1=0（a＞0，b＞0）分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，] B．（0，] C．（0，] D．[，+∞）‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有a+‎ ‎2b=1，再利用ab=（1﹣2b）b=﹣2（b﹣）2+≤，求得ab的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，‎ ‎∴直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），‎ ‎∴有a+2b=1，‎ ‎∴ab=（1﹣2b）b=﹣2（b﹣）2+≤，‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴ab的取值范围是（0，]．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．设实数x，y满足，则x+y取得最小值时的最优解的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．无数个 ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值，结合数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 设z=x+y，得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A或B时，‎ 直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，‎ 即x+y取得最小值时的最优解的个数是2个，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），过点F的直线交双曲线于AB两点．若AB的中点坐标为（﹣3，﹣1），则E的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出直线AB的方程，与双曲线方程联立方程组，利用根与系数的关系列出方程解出a2，b2．‎ ‎【解答】解：∵双曲线E的左焦点为F（﹣2，0），‎ ‎∴a2+b2=4，即b2=4﹣a2．‎ 直线AB的斜率为k==1，‎ ‎∴直线AB的方程为y=x+2，‎ 联立方程组，消元得：（4﹣2a2）x2﹣4a2x+a4﹣8a2=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2==﹣6，‎ 解得a2=3．‎ ‎∴双曲线方程为．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．已知P是椭圆+y2=1上的动点，则P点到直线l：x+y﹣2=0的距离的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设P（2cosθ，sinθ），代入距离公式化简得d=|sin（θ+β）﹣2|，根据三角函数的性质即可得出d的最小值．‎ ‎【解答】解：设P（2cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d===|sin（θ+β）﹣2|，‎ ‎∴当sin（θ+β）=1时，d取得最小值．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．若正实数x，y满足log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），则3x+y的最小值是（　　）‎ A．12 B．6 C．16 D．8‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【分析】正实数x，y满足log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），得：x+3y=2xy，即=2，利用“1”的代换，即可求出3x+y的最小值．‎ ‎【解答】解：∵正实数x，y满足log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），‎ ‎∴（x+3y）2=x2（2y）2，整理，得：x+3y=2xy，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴3x+y=（3x+y）（）=（10++）≥（10+6）=8，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF'|=2a，再由|PF|﹣|PF'|=2a，知b=2a，由此能求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，∴|EF|=b，‎ ‎∵=（+），则），∴|PF|=2b，|PF'|=2a，‎ ‎∵|PF|﹣|PF'|=2a，∴b=2a，‎ e=，‎ 故选：C ‎　‎ ‎12．对任意实数a，b，c，d，定义符号=，已知函数f（x）=，直线l：kx﹣y+3﹣2k=0，若直线l与函数f（x）的图象有两个公共点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，）∪（，1） B．（﹣1，） C．（﹣1，）∪（，1） D．（﹣1，1）‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】函数f（x）==，直线l：kx﹣y+3﹣2k=0过定点A（2，3），‎ ‎①当﹣2＜x＜2时， +y2=1（椭圆上半部分），‎ ‎②x≤﹣2或x≥2时，x2﹣y2=4（双曲线上半部分）．如图所示．‎ 画出图象，依据图象求解．‎ ‎【解答】解：函数f（x）==，‎ 直线l：kx﹣y+3﹣2k=0过定点A（2，3），‎ ‎①当﹣2＜x＜2时， +y2=1（椭圆上半部分），‎ ‎②x≤﹣2或x≥2时，x2﹣y2=4（双曲线上半部分）．如图所示．‎ 直线m与双曲线渐近线平行，直线l在直线m、n之间时满足条件，此时，‎ 直线e与双曲线渐近线平行，直线l在直线e、f之间时满足条件，此时 kx﹣y+3﹣2k=0代入椭圆方程可得：（1+4k2）x2+（24k﹣16k2）x+16k2﹣48k+32=0．‎ 解得k=‎ ‎∵直线l：kx﹣y+3﹣2k=0与函数f（x）的图象有两个公共点，∴∴‎ 综上所述，实数k的取值范围是（﹣1，）∪（，1）．‎ 故选A ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知向量=（1，1），向量与向量夹角为π，且•=﹣1，则||=　1　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量数量积的定义与模长公式，列出方程求出||的值．‎ ‎【解答】解：向量=（1，1），∴||=，‎ 又向量与向量夹角为π，且•=﹣1，‎ ‎∴||×||×cos=×||×（﹣）=﹣1，‎ 解得||=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a8=　　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等比数列性质列出方程组，求出，由此能求出a8．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴a8=8×=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知动点P与双曲线x2﹣y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，则动点P的轨迹方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，再结合余弦定理、基本不等式，即可求出椭圆中的a，b的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵x2﹣y2=1，∴c=．设|PF1|+|PF2|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2，∴a＞‎ 由余弦定理有cos∠F1PF2==﹣1‎ ‎∵|PF1||PF2|≤（）2=a2，‎ ‎∴当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2．‎ 此时cos∠F1PF2取得最小值为﹣1，‎ 由题意﹣1=﹣，解得a2=3，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=3﹣2=1‎ ‎∴P点的轨迹方程为．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．如图，设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2的内切圆的面积为π，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则|y1﹣y2|值为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆方程求得a、c的值，从而得到椭圆的焦点坐标．利用椭圆的定义算出△ABF2的周长为16，由圆面积公式求得△ABF2的内切圆半径r=1，从而算出△ABF2的面积为8．最后根据△ABF2的形状，算出其面积S=+=3|y2﹣y1|，由此建立关系式并解之，即可得出|y2﹣y1|的值．‎ ‎【解答】解：∵椭圆中，a2=16且b2=4，‎ ‎∴a=4，c==3，可得椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（ 3，0），‎ 设△ABF2的内切圆半径为r，‎ ‎∵△ABF2的内切圆面积为S=πr2=π，∴r=4，‎ 根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=16．‎ ‎∴△ABF2的面积S=（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r==8‎ 又∵△ABF2的面积S=+=×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|‎ ‎=×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=3|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧）‎ ‎∴3|y2﹣y1|=8，解之得|y2﹣y1|=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．‎ ‎（1）若l1⊥l2，求实数a的值；‎ ‎（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】（1）由垂直可得a+3（a﹣2）=0，解之即可；（2）由平行可得a=3，进而可得直线方程，代入距离公式可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由l1⊥l2可得：a+3（a﹣2）=0，…4分 解得；…6分 ‎（2）当l1∥l2时，有，…8分 解得a=3，…9分 此时，l1，l2的方程分别为：3x+3y+1=0，x+y+3=0即3x+3y+9=0，‎ 故它们之间的距离为．…12分．‎ ‎　‎ ‎18．已知曲线C的方程是：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，点P（3，﹣1）．‎ ‎（1）若m=1，直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，求直线l的方程；‎ ‎（2）若曲线C表示圆且被直线x+2y+5=0截得的弦长为2，求实数m的值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）m=1时，曲线C表示圆，直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，即直线l与圆相切，‎ ‎①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=3．‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣3）﹣1．由圆心到直线距离等于半径求得k．‎ ‎（2）曲线C的方程配方得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，若方程表示圆则m＜5．‎ 根据圆的弦长公式2，⇒m的值．‎ ‎【解答】解：（1）m=1时，曲线C的方程是：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，‎ 表示圆心为（1，2），半径为2的圆，‎ ‎∵直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，∴直线l与圆相切．‎ ‎①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=3．‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣3）﹣1．即kx﹣y﹣3k﹣1=0．‎ ‎⇒k=﹣，直线l的方程为：5x+12y﹣3=0．‎ 综上所述所求直线l的方程为：x=3，5x+12y﹣3=0．‎ ‎（2）曲线C的方程配方得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，若方程表示圆则5﹣m＞0⇒m＜5．‎ 圆心到直线x+2y+5=0距离d=，‎ 根据圆的弦长公式2，⇒2，⇒m=﹣20‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=cos（2x+）+1，△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．‎ ‎（Ⅰ）若角A、B、C成等差数列，求f（B）的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（﹣）=，边a、b、c成等比数列，△ABC的面积S=‎ ‎，求△ABC的周长．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由等差数列的性质及三角形内角和定理可求B的值，进而利用特殊角的三角函数值即可计算得解．‎ ‎（Ⅱ）化简已知等式可求cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式，等比数列的性质可求b，利用余弦定理可求a+c，从而计算得解三角形的周长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵角A、B、C成等差数列，可得：2B=A+C，‎ 又∵A+B+C=π，‎ ‎∴B=，‎ ‎∴可得：f（B）=cosπ+1=0．‎ ‎（Ⅱ）∵f（﹣）=cos[2（﹣）+]+1=cosB+1=，‎ ‎∴cosB=，可得sinB==，‎ ‎∴S=acsinB=ac=，可得：ac=2，‎ ‎∵a、b、c成等比数列，即b2=ac，‎ ‎∴b=，‎ 又∵由余弦定理可得：cosB====，‎ ‎∴解得：a+c=3．‎ ‎∴△ABC的周长=a+b+c=3．‎ ‎　‎ ‎20．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=2+（n=1，2，3，…），其前n项和为Tn，如果对任意的n∈N*，都有Tn+2t≥t2成立，求Tn的表达式及实数t的取值范围．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用公式an=Sn﹣Sn﹣1求出通项公式，再验证n=1是否成立即可；‎ ‎（2）使用等比数列的求和公式和裂项法求和得出Tn，判断Tn的增减性得出Tn的最小值，代入不等式即可得出t的范围．‎ ‎【解答】解：（1）n=1时，a1=S1==1，‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1==n，‎ 显然，n=1时上式成立，‎ ‎∴an=n．‎ ‎（2）bn=2n+=2n+2（），‎ ‎∴Tn=2+22+23+…+2n+2[1﹣+…+]‎ ‎=+2（1﹣）‎ ‎=2n+1﹣，‎ ‎∴{Tn}是递增数列，‎ ‎∴n=1时，Tn取得最小值T1=3，‎ ‎∵对任意的n∈N*，都有Tn+2t≥t2成立，‎ ‎∴3+2t≥t2，‎ 解得﹣1≤t≤3．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右顶点为A、B，左右焦点为F1，F2，其长半轴的长等于焦距，点Q是椭圆上的动点，△QF1F2面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B的点M、N，判断点B与以MN为直径的圆的位置关系．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）当Q为椭圆短轴顶点时，△QF1F2面积最大，列出方程组解出a，b，c即可；‎ ‎（2）设M（x0，y0），利用A，M，P三点共线求出P点坐标，计算得出∠MBP的范围，从而确定∠MBN的范围，进而判断出B与以MN为直径的圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：（1）∵长半轴的长等于焦距，△QF1F2面积的最大值为．‎ ‎∴，又a2﹣b2=c2，‎ ‎∴a=2，b=，c=1．‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）A（﹣2，0），B（2，0），‎ 设M（x0，y0），则，即y02=（4﹣x02），且﹣2＜x0＜2．‎ ‎∵P，A，M三点共线，∴P（4，），‎ ‎∴=（x0﹣2，y0），=（2，），‎ ‎∴=2（x0﹣2）+=（x02﹣4+3y02）= [x02﹣4+（4﹣x02）]=（2﹣x0）＞0，‎ ‎∴∠MBP为锐角，‎ ‎∴∠MBN为钝角，‎ ‎∴点B在以MN为直径的圆内．‎ ‎　‎ ‎22．在平面直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为B（0，﹣1），C（0，1），平面内两点P、Q同时满足：‎ ‎①++=；②||=||=||；③∥．‎ ‎（1）求顶点A的轨迹E的方程；‎ ‎（2）过点F（，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1，l2与点A的轨迹E的相交弦分别为A1B1，A2B2，设弦A1B1，A2B2的中点分别为M，N．‎ ‎（ⅰ）求四边形A1A2B1B2的面积S的最小值；‎ ‎（ⅱ）试问：直线MN是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）由++=可得P为△ABC的重心，设A（x，y），则P（），再由||=||=||，知Q是△‎ ABC的外心，Q在x轴上，再由∥，可得Q（），结合||=||求得顶点A的轨迹E的方程；‎ ‎（2）F（，0）恰为的右焦点．当直线l1，l2的斜率存在且不为0时，设直线l1 的方程为my=x﹣．联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A、B的纵坐标得到和与积．‎ ‎（ⅰ）根据焦半径公式得|A1B1|、|A2B2|，代入四边形面积公式再由基本不等式求得四边形A1A2B1B2的面积S的最小值；‎ ‎（ⅱ）根据中点坐标公式得M、N的坐标，得到直线MN的方程，化简整理令y=0解得x值，可得直线MN恒过定点；当直线l1，l2有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，直线MN即为x轴，过点（）．‎ ‎【解答】解：（1）由++=，得，∴P为△ABC的重心，‎ 设A（x，y），则P（），由||=||=||，知Q是△ABC的外心，∴Q在x轴上，‎ 由∥，可得Q（），由||=||，得．‎ 化简整理得：（x≠0）；‎ ‎（2）F（，0）恰为的右焦点．‎ ‎①当直线l1，l2的斜率存在且不为0时，设直线l1 的方程为my=x﹣．‎ 联立，得．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则．‎ ‎（ⅰ）根据焦半径公式得：，‎ 又=．‎ ‎∴=，同理|A2B2|==．‎ 则≥6．‎ 当m2+3=3m2+1，即m=±1时取等号．‎ ‎（ⅱ）根据中点坐标公式得：M（），同理可得N（）．‎ 则直线MN的斜率为kMN==．‎ ‎∴直线MN的方程为，‎ 化简整理得：．‎ 令y=0，解得x=，∴直线MN恒过定点（）．‎ ‎②当直线l1，l2有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，‎ 直线MN即为x轴，过点（）．‎ 综上，S的最小值为，直线MN过定点（）．‎