数学理卷·2018届河北省邢台市高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届河北省邢台市高三上学期期末考试（2018

邢台市2017～2018学年高三（上）期末测试 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则的元素的个数为（ ）‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎2.设是两个互相垂直的单位向量，则（ ）‎ A．-3 B．‎-2 C．2 D．3‎ ‎3.设复数满足，则复数的实部为（ ）‎ A．-2 B．‎2 C．-1 D．1‎ ‎4.若双曲线的焦点都在直线的下方，则的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.在中，，，，现有以下四个命题 ‎；‎ 的面积为；‎ ‎；‎ 中最大角的余弦值为．‎ 那么，下列命题中为真命题的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎6.执行如图的程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A．12 B．‎13 C.15 D．18‎ ‎7.设满足约束条件，且目标函数的最大值为16，则（ ）‎ A．10 B．‎8 C.6 D．4‎ ‎8.某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B．或6 ‎ C. D．或 ‎9.已知函数的最小值为8，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若在区间上，函数的图像总在函数的图像的上方，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的（ ）‎ A．倍 B．2倍 C. 倍 D．3倍 ‎12.过圆的圆心的直线与抛物线相交于两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．‎ ‎13.若，且为钝角，则 ．‎ ‎14.某超市经营的某种包装优质东北大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选取一袋这种大米，质量在的概率为 ．（附：若，则，）‎ ‎15.设的展开式中的常数项为-16，则 ．‎ ‎16.若函数恰有2个零点，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22/23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.设为数列的前项和，且．‎ ‎（1）若，判断数列的单调性；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎18.如图，在正方体中，分别是棱的中点，为棱上一点，且平面．‎ ‎（1）证明：为的中点；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎19.某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理．‎ ‎（1）若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：瓶，）的函数解析式；‎ ‎（2）鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量（单位：瓶），绘制出如下的柱形图（例如：日需求量为25瓶时，频数为5）：‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．‎ ‎（ⅰ）若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；‎ ‎（ⅱ）若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？请说明理由．‎ ‎20.已知椭圆的焦距与椭圆的短轴长相等，且与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为，直线与直线（为坐标原点 ‎）垂直，且与交于两点．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求的面积的最大值．‎ ‎21.已知，函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线的斜率为，判断函数在上的单调性；‎ ‎（2）若，证明：对恒成立．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与直线交于点，与曲线交于两点．且，求．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若存在，使得成立，求的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CAADB 6-10:CADBD 11、12：BD 二、填空题 ‎13.-5 14.0.8185 15.-1 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵，∴，‎ ‎∵，∴.∴.于是，‎ 故数列单调递增.‎ ‎（2）∵，∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎18.解：（1）当时，；‎ 当时，.故.‎ ‎（2）（ⅰ）的可能取值为85，92，99，106，113，120，‎ ‎，，，，‎ ‎，.‎ 的分布列为 元.‎ ‎（ⅱ）购进29瓶时，当天利润的数学期望为 ‎，因为，所以应购进30瓶.‎ ‎19.（1）证明：取的中点，连接，因为，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，平面平面，所以，即，又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.‎ ‎（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正方体的棱长为2，则，可得，，设是平面的法向量，则.令，得.‎ 易得平面的一个法向量为，‎ 所以.‎ 故所求锐二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）由题意可得，∴，故的方程为.‎ ‎（2）联立，得，∴，又在第一象限，∴.‎ 故可设的方程为.‎ 联立，得，‎ 设，则，，‎ ‎∴，‎ 又到直线的距离为，则的面积，‎ ‎∴，当且仅当，即，满足，故的面积的最大值为（若未写满足不扣分）.‎ ‎21．（1）解：∵，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.∴，‎ 当时，，，，∴，∴函数在上单调递增.‎ ‎（2）证明：设，，‎ 令，得，递增；令，得递减.‎ ‎∴，∵，∴，∴.‎ 设，令得，‎ 令，得递增；令，得递减.‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴，∴，∴.‎ 又，∴，即.‎ ‎22.解：（1）∵，∴，故曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）将代入得.‎ 将代入，‎ 得，则，则，∴.‎ ‎23.解：（1）由得，∴，‎ 或，或，解得.‎ ‎（2）当时，，∴存在，‎ 使得即成立，‎ ‎∴存在，使得成立，∴，∴.‎