北京市海淀区2020届高三第一次模拟考试数学试题（含解析）

北京市海淀区2020届高三第一次模拟考试数学试题（含解析）

‎2020 年北京市海淀区高三一模数学考试逐题解析 ‎2020.5‎ 本试卷分为第I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。‎ 第 I 卷（选择题 共 40 分）‎ 一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ 1. 在复平面内,复数i(2 -i) 对应的点位于 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 ‎（C）第三象限 （D）第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】本题考查复数的运算.‎ i(2 - i) = -i2 + 2i = 1+ 2i 对应点(1, 2) 在第一象限内.‎ 故选 A.‎ 2. 已知集合 A ={x | 0 < x < 3}, A B = {1} ,则集合B 可以是 ‎（A）{1,2} （B）{1,3}‎ ‎（C）{0,1,2} （D）{1,2,3}‎ 21 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查集合运算. 选项 A: A B = {1, 2}‎ B = {1}‎ 选项 B: A 选项 C: A B = {1, 2}‎ 选项 D: A B = {1, 2}‎ 故选 B.‎ 21 ‎ 1. 已知双曲线x2‎ ‎- y2‎ b2‎ ‎= 1(b > 0) 的离心率是 ‎,则b 的值为 21 ‎ ‎5‎ ‎（A）1 （B） 2‎ ‎（C） 3 （D） 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查双曲线的离心率.‎ 21 ‎ 由 x2‎ ‎- y2‎ b2‎ ‎= 1,可知a = 1‎ 21 ‎ c2‎ a2‎ a2 + b2‎ a2‎ ‎1+ b2‎ a2‎ ‎1+ b2‎ ‎5‎ e = c = = = = = a 解得b2 = 4‎ ‎∵ b > 0‎ ‎∴ b = 2‎ 故选 B.‎ 21 ‎ 1. 已知实数a,b,c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是 21 ‎ ‎（A） b - a < c + a ‎（C） c > c b a ‎（B） c2 < ab ‎ ‎（D）| b | c <| a | c 21 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查不等式的性质.‎ 由图可知, c < b < a < 0, 且| c | > | b | > | a |‎ 选项 A:‎ ‎∵ c < b, a < 0, ∴ c + a < c,b - a > b.‎ ‎∴ c + a < c < b < b - a.‎ ‎∴ c + a < b - a ,故A 项错误; 选项 B:‎ ‎∵ c < b < a < 0, ∴ c2 > b2 > a2 ,且b2 > ab ‎∴ c2 > b2 > ab ‎∴ c2 > ab ,故选项B 错误; 选项 C:‎ ‎∵ b < a < 0, ∴ 1 > 1‎ b a ‎∴ c < c ,故选项C 错误;‎ b a 选项 D:‎ ‎∵| b | > | a | 且c < 0‎ ‎∴| b | ×c < | a | ×c ,故选项D 正确.‎ 21 ‎ 1. 在( 1 - 2x)6 的展开式中,常数项为 x 21 ‎ ‎（A） -120‎ ‎（B）120 （C） -160‎ ‎（D）160‎ 21 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查二项式定理.‎ T = Cr × 1 6-r × (-2x)r = Cr × (-2)r × x2r -6 ,‎ r +1 6 ( x ) 6‎ 其中常数项需满足2r - 6 = 0 ,即r = 3 ,‎ T = C3 × (-2)3 = 20 ´ (-8) = -160 .‎ ‎4 6‎ 故选 C.‎ 1. 如图,半径为 1 的圆M 与直线l 相切于点 A ,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚到圆M ¢ 时,圆M ¢ 与直线l 相切于点B ,点 A 运动到点 A¢ ,线段 AB 的长度为 3π ,则点M ¢ 到直线 ‎2‎ BA¢ 的距离为 ‎（A）1 （B） 3‎ ‎2‎ 21 ‎ （C） ‎2‎ ‎2‎ ‎（D） 1‎ ‎2‎ 21 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查直线与圆.‎ 由题可知 AB = 3π ,且圆M 的周长为2π,‎ ‎2‎ 所以由圆M 到圆M ¢ 的过程中沿着直线l 旋转了 3 圈,‎ ‎4‎ 21 ‎ 所以点 A¢的位置如图所示,‎ 此时 A¢BM ¢为等腰直角三角形,‎ 所以M ¢ 到直线BA¢ 的距离为 2 .‎ ‎2‎ 故选 C.‎ 1. 已知函数 f (x) = | x - m | 与函数 g(x) 的图象关于 y 轴对称.若 g(x) 在区间(1, 2) 内单调递减,则m 的取值范围为 21 ‎ ‎（A）[-1, +¥)‎ ‎（B）(-¥, -1]‎ ‎（C）[-2, +¥)‎ ‎（D）(-¥, -2]‎ 21 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查函数单调性.‎ 因为函数 f (x) = | x - m | 与函数g(x) 的图象关于 y 轴对称, 所以函数g(x) = | x + m | .‎ 由解析式可知函数 g(x) 在区间(-¥,-m) 单调递减, 若函数 g(x) 在区间(1, 2) 单调递减,‎ 则(1,2) Í (-¥,-m) ,即-m ³ 2,‎ 解得m £ -2 .‎ 故选 D.‎ 21 ‎ 1. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为 ‎5‎ ‎（A）‎ ‎2‎ ‎（B） 2‎ ‎3‎ ‎（C） 2‎ ‎13‎ ‎（D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查三视图.‎ 四棱锥的直观图如图所示:由图可知,‎ 21 ‎ ‎22 + 22 + 22‎ 该四棱锥中最长棱的棱长为PA = 故选 C.‎ 9. 若数列{a }满足a = 2 ,则“ "p, r Î N*, a ‎= 2‎ ‎3‎ = a a ‎.‎ ‎”是“{a }为等比数列”的 21 ‎ n 1 p+r p r n ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】本题考查等比数列.‎ 21 ‎ 充分条件:因为数列{a }中, a = 2 ,并且对于"p, r Î N*, a = a a ‎都成立,‎ 21 ‎ n 1 p+r p r 所以 p ³1, r ³1,即a2 = a1 × a1 = 4, a3 = a1 × a2 = 8,a4 = a1 × a3 = 16,‎ 所以{an}各项均不为 0.‎ 21 ‎ 令r = 1,则a ‎= a = a × a = 2a ,即 ap+1 = 2 ,‎ 21 ‎ a p+r p+1 1 p p p 所以{an}为以a1 = 2 为首项,公比q = 2 的等比数列,所以充分条件成立;‎ 21 ‎ 必要条件:若{an}为等比数列,则公比q 可以为 1.‎ 21 ‎ 当q = 1时, a ‎= a × qp+r -1 = a ‎= 2 , a ‎= a × qp-1 = a ‎= 2 , a = a × qr -1 = a ‎= 2 ,‎ 21 ‎ p+r 1 1‎ ‎p 1 1‎ ‎r 1 1‎ 21 ‎ 此时apar = 4 ¹ ap+r = 2 ,所以必要条件不成立.‎ p+r p r n 所以“ "p, r Î N*, a = a a ”是“{a }为等比数列”的充分而不必要条件,‎ 故选 A.‎ 9. 形如22n +1（ n 是非负整数）的数称为费马数,记为F .数学家费马根据F , F , F , F , F n 0 1 2 3 4‎ 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出 F5 不是质数,那么F5 的位数是 ‎（参考数据: lg 2 » 0.3010 ）‎ ‎（A） 9 （B）10 （C）11 （D）12‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查指对数运算.‎ 21 ‎ 由题知, F5‎ ‎= 225 +1 = 232 +1 » 232 = 10lg 232‎ ‎= 1032lg 2 » 1032´0.3010 = 109.632 = 100.632 ´109‎ 21 ‎ ‎5‎ 因为1 < 100.632 < 10 ,所以F 的位数是 10.‎ 故选 B.‎ 21 ‎ 第 II 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。‎ 9. 已知点P(1, 2) 在抛物线C : y2 = 2 px 上,则抛物线C 的准线方程为 .‎ ‎【答案】x = -1‎ ‎【解析】本题考查抛物线.‎ 将点P(1, 2) 代入 y2 = 2 px ,解得 p = 2,所以抛物线C : y2 = 4x ,其准线方程为x = -1.‎ 10. 在等差数列{an}中, a1 = 3, a2 + a5 = 16 ,则数列{an}的前 4 项的和为 .‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】本题考查等差数列.‎ 设等差数列{an}公差为d ,由a1 = 3, a2 + a5 = 2a1 + 5d = 16,解得d = 2 ,‎ 21 ‎ 其中a4 = a1 + 3d = 3 + 6 = 9 .‎ 所以数列{an}的前 4 项和S4‎ ‎‎ = (a1 + a4 ) ´ 4 = (3 + 9) ´ 4 = 24.‎ ‎2 2‎ 21 ‎ 11. 已知非零向量a,b 满足| a | = | a - b | ,则(a - 1 b) × b = .‎ ‎2‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】本题考查平面向量.‎ 因为| a | = | a - b | ,平方得| a |2 = | a - b |2 ,化简得2a × b - b2 = 0 ,‎ 所以(a - 1 b) × b = a × b - 1 b2 = 1 (2a × b - b2 ) = 0 .‎ ‎2 2 2‎ 21 ‎ 9. 在 ‎中, AB = 4 3,ÐB = π , 点D 在边 BC 上, ÐADC = 2π ,CD = 2 ,则 AD = ;‎ 21 ‎ ‎4 3‎ ACD 的面积为 ‎6‎ ‎【答案】4 2; 2‎ 21 ‎ ‎【解析】本题考查解三角形.‎ 在 ABD 中,由正弦定理得 AB ‎‎ = AD ,‎ 21 ‎ sinÐADB 其中ÐADB = π - ÐADC = π ,‎ ‎3‎ ‎sin ÐB 21 ‎ 21 ‎ ‎ AB × sin ÐB ‎4 3 ´ 2‎ 21 ‎ ‎2‎ 所以 AD = = 2 = 4 ,‎ sin ÐADB 3‎ ‎2‎ 21 ‎ 所以S ‎= 1 AD × CD × sinÐADC = 1 ´ 4 ´ 2 ´ 3 = 2 .‎ ‎ ‎ 21 ‎ ‎2‎ ‎6‎ ACD ‎2 2 2‎ 21 ‎ ABC 9. 如图,在等边三角形 ABC 中, AB = 6 .动点P 从点 A 出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到 A 点,记 P 运动的路程为 x ,点 P 到此三角形中心O 距离的平方为 f (x) ,给出下列三个结论:‎ ‎①函数 f (x) 的最大值为12 ;‎ ‎②函数 f (x) 的图象的对称轴方程为x = 9 ;‎ ‎③关于 x 的方程 f (x) = kx + 3 最多有5 个实数根.‎ 其中,所有正确结论的序号是 .‎ 注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求.全部选对得 5 分,不选或有错选得 0 分,‎ 其他得 3 分.‎ 21 ‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】本题考查函数的应用、图象与性质. 由题意可知,函数 f (x) 解析式为:‎ ì3 + (x - 3)2 , 0 £ x < 6‎ 21 ‎ ï f (x) = í3‎ ‎+ (x - 9)2 , 6 £ x < 12 ,‎ 21 ‎ î ï3 + (x -15)2 , 12 £ x £ 18‎ 图象如图所示.‎ 易知:当点P 与 ABC 的顶点重合,即x = 0,6,12,18 时, f (x) 取得最大值为 12,故①正确;‎ 由 f (x) 解析式可知, f (x) = f (18 - x) ,函数 f (x) 的图象的对称轴方程为x = 9 ,故②正确;‎ 21 ‎ 由图象可知,‎ ‎f (x) 的图象与直线 y = kx + 3 的交点的个数最多为 6 个,即此时方程 21 ‎ f (x) = kx + 3 有 6 个实数根,故③不正确. 综上所述,所有正确结论的序号为①②.‎ 21 ‎ 三、解答题：共 6 小题，共 85 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。‎ 9. ‎（本小题满分 14 分）‎ ‎3‎ 如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中, AB⊥平面BB1C1C , AB = BB1 = 2BC = 2 , BC1 = ,点E 为 A1C1 的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证: C1B⊥平面 ABC ;‎ ‎（Ⅱ）求二面角 A - BC - E 的大小.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）因为 ABC - A1B1C1 是三棱柱,三棱柱侧棱平行且相等,‎ 所以BB1 // CC1 , BB1 = CC1 = 2 ,‎ 在 BCC1 中, BC = 1, BC1 = 3,CC1 = 2 ,‎ ‎1 1‎ 所以CC 2 = BC 2 + BC 2 ,‎ BCC1‎ 所以 是直角三角形,且ÐCBC = π ,即BC ^ BC ,‎ ‎1 2 1‎ 又因为 AB ^平面BB1C1C , BC1 Ì 平面BB1C1C ,‎ 所以 AB ^ BC1 ,‎ 又因为 AB Ì 平面 ABC , BC Ì 平面 ABC , AB BC = B ,‎ 所以C1B ^平面 ABC .‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 AB, BC, BC1 两两垂直,故以B 为原点,分别以BC, BC1, BA 为 x 轴, y 轴,‎ z 轴,如图建立空间直角坐标系,‎ B(0,0,0) , C(1,0,0) , A(0,0, 2) , C1(0, 3,0) , A1(-1, 3, 2),‎ 21 ‎ 因为E 为 A1C1 中点,‎ 所以E(- 1 , 3,1) ,‎ ‎2‎ 所以BC = (1,0,0) , BE = (- 1 , 3,1) ,‎ ‎2‎ 由（Ⅰ）可知平面 ABC 一个法向量为 BC1 = (0, 3,0) ,‎ 设平面BCE 的一个法向量n = (x, y, z) ,‎ 21 ‎ ìïBC × n = 0‎ 由í BE × n = 0‎ ‎ìx = 0,‎ ‎,得 ï í- 1 x + ‎‎ ‎3y + z = 0,‎ 21 ‎ îï ïî 2‎ 21 ‎ 令 y =1,得n = (0,1, - ‎3) .‎ 21 ‎ 设二面角 A - BC - E 为q ,由图可知q 为锐角,‎ 21 ‎ BC1, n > |‎ 则cosq = | cos < = |‎ ‎= = 1 ,‎ BC1 × n ‎| BC1 | × | n |‎ ‎|‎ ‎3‎ ‎0 + ( 3)2 + 0 × 0 +12 + (- 3)2‎ ‎2‎ 21 ‎ 即二面角 A - BC - E 为π .‎ ‎3‎ 9. ‎（本小题满分 14 分）‎ ‎1 2‎ 已知函数 f (x) = 2cos2 w x + sinw x .‎ ‎（Ⅰ）求 f (0) 的值;‎ ‎（Ⅱ）从①w1 =1,w2 = 2 ;②w1 =1,w2 =1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数 f (x) 在[- π , π]上的最小值,并直接写出函数 f (x) 的一个周期.‎ ‎2 6‎ 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.‎ 21 ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ） f (0) = 2cos2 0 + sin 0 = 2 .‎ ‎（Ⅱ）选①w1 =1,w2 = 2 时,‎ f (x) = 2cos2 x + sin 2x ,‎ = cos 2x + sin 2x +1‎ = 2 sin(2x + π) +1‎ ‎4‎ ‎, ]‎ 因为x Î[- π π ,‎ ‎2 6‎ 所以2x + π Î[- 3π , 7π],‎ ‎4 4 12‎ ‎2‎ 所以当2x + π = - π ,即 x =- 3π 时函数 f (x) 有最小值1- ,‎ ‎4 2 8‎ 函数 f (x) 的一个周期T = π .‎ 选②w1 =1,w2 =1时,‎ f (x) = 2cos2 x + sin x ,‎ = 2(1 - sin2 x) + sin x = -2sin2 x + sin x + 2‎ 令t = sin x , h(t) = -2t 2 + t + 2 ,‎ 因为x Î[- π , π] ,‎ ‎2 6‎ 所以t Î[-1, 1],‎ ‎2‎ 21 ‎ 因为h(-1) = - 1 = 2 且函数h(t) 开口向下,‎ ‎1, h( )‎ ‎2‎ 所以当t = -1时函数h(t) 有最小值-1,‎ 即当x =- π 时,函数 f (x) 有最小值-1,‎ ‎2‎ 函数 f (x) 的一个周期T = 2π .‎ 9. ‎（本小题满分 14 分）‎ 科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从 2010 年到 2019 年 这 10 年研发投入的数据分布图:‎ 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值（单位:十亿元）.‎ ‎（Ⅰ）从 2010 年至 2019 年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10% 的概率;‎ ‎（Ⅱ）从 2010 年至 2019 年中随机选取两个年份,设 X 表示其中研发投入超过 500 亿元的年份的个数,求 X 的分布列和数学期望;‎ 21 ‎ ‎（Ⅲ）根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发, 并说明理由.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）设“该年研发投入占当年总营收的百分比超过10% ”为事件 A ,从 2010 年到 2019‎ 年共有 10 年,其中研发投入占当年总营收的百分比超过10% 的有 9 年,所以P( A) = 9 .‎ ‎10‎ ‎（Ⅱ）低于 500 亿的年份是 2010、2011、2012、2013、2014 共 5 年,超过 500 亿的年份是 2015、2016、2017、2018、2019 共 5 年.‎ X 的所有可能的取值为:0,1,2‎ 21 ‎ C2 2‎ ‎C1C1 5‎ ‎C2 2‎ 21 ‎ P( X ‎= 0) = 5 = ; P( X = 1) = 5 5 = ; P( X = 2) = 5 = 21 ‎ C C C ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎2 2 2‎ ‎10 10 10‎ 所以 X 的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎2‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎9‎ E( X ) = 0 ´ 2 + 1´ 5 + 2 ´ 2 = 1‎ ‎9 9 9‎ ‎（Ⅲ）该公司在发展的过程中比较重视研发,原因是:总体看从 2010 年到 2019 年研发投入从 180 亿到 980 亿,研发投入占比从9.7% -13.9%,均呈上涨趋势,且研发投入占比平均数为13.54%,判断该公司在发展过程中比较重视研发.‎ 21 ‎ 9. ‎（本小题满分 15 分） 已知函数 f (x) = ex + ax .‎ ‎（Ⅰ）当a = -1时,‎ 21 ‎ ‎①曲线 y = ‎f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程;‎ 21 ‎ ‎②求函数 f (x) 的最小值;‎ ‎（Ⅱ）求证:当a Î(-2,0) 时,曲线 y = f (x) 与 y =1- ln x 有且只有一个交点.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）①由题意,得当a = -1时, f (x) = ex - x , f ¢(x) = ex -1‎ 则 f ¢(0) = e0 -1 = 0 , f (0) = e0 - 0 = 1‎ 所以 y = f (x) 在(0, f (0)) 处的切线方程为 y =1‎ ‎②由①知:随着 x 变化, f ¢(x) 与 f (x) 的变化情况如下表所示:‎ x ‎(-¥,0)‎ ‎0‎ ‎(0, +¥)‎ f ¢(x)‎ ‎0‎ + f (x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以 f (x) 在(-¥,0) 上单调递减,在(0, +¥) 上单调递增. 所以 f (x) 的最小值为 f (0) = 1.‎ 21 ‎ ‎（Ⅱ）当a Î(-2,0) 时,令g(x) = f (x) -1+ ln x = ex + ax -1+ ln x , x Î(0,+¥)‎ 由②知:当 x > 0 时, ex - x > 1,即: ex > x +1‎ g¢(x) = ex + a + 1 > x +1+ a + 1 ³ 3 + a > 0‎ x x 所以 g(x) 在(0, +¥) 上单调递增 g(e) = ee + ae = e(ee-1 + a) > 0 ,‎ ‎1 1 a 1 a a g( ) = ee + - 2 < (2e)e + - 2 = < 0 e e e e 21 ‎ 所以$x ‎1‎ Î ‎( ,e),使得 g(x ‎) = 0‎ 21 ‎ ‎0 e 0‎ 由 g(x) 在(0, +¥) 上单调递增可知:‎ y = g(x) 在(0, +¥) 上有且仅有一个零点 即: y = f (x) 与 y =1- ln x 有且只有一个交点.‎ 9. ‎（本小题满分 14 分）‎ x2 y2 3‎ 21 ‎ A1BA2‎ 已知椭圆C : + a2 b2‎ 的面积为2 .‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C 的方程;‎ ‎= 1(a > b > 0) 的离心率为 ‎2 , A1(-a,0), A2 (a,0), B(0,b),‎ 21 ‎ ‎（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点,且不与顶点重合,若直线 A1B 与直线 A2M 交于点P ,直线 A1M 与直线 A2 B 交于点Q .求证: BPQ 为等腰三角形.‎ ‎ ‎ 21 ‎ 21 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎‎ ìS A1BA2‎ ï ‎‎ = ab = 2‎ ‎‎ ìa = 2‎ 21 ‎ ‎（Ⅰ）由题知, ïe = c = 3‎ ‎ï Þ b = 1‎ 21 ‎ í a 2 í 21 ‎ ‎3‎ a ï ‎2 2 2‎ ‎ïc = 21 ‎ î ï = b + c î 21 ‎ 所以椭圆C 的方程为 ‎x2 + 2‎ y ‎4‎ ‎= 1.‎ 21 ‎ 21 ‎ ‎（Ⅱ）设M (x , y ) 且满足x 2 + 4 y 2 - 4 = 0(x × y ‎¹ 0) ‎ 21 ‎ ‎0 0 0 0 0 0‎ A1(-2,0), A2 (2,0), B(0,1)‎ k = 1 ,所以 AB 的直线方程为 y = 1 x +1,‎ ‎ ‎ A1B 2 1 2‎ 21 ‎ kA2M = ‎y0‎ x - 2‎ ‎,所以直线 A2M 的直线方程为 y = ‎y0‎ x - 2‎ ‎(x - 2) ,‎ 21 ‎ ‎0 0‎ ìx = -2x0 - 4 y0 + 4‎ ï x0 - 2 y0 - 2‎ -4 y 联立两条直线方程,得到í ï y = 0 ‎ îï x0 - 2 y0 - 2‎ 因为直线 A1B 与直线 A2M 交于点P ,‎ 21 ‎ 所以P( -2x0 - 4 y0 + 4 ,‎ x0 - 2 y0 - 2‎ ‎-4 y0 )‎ x0 - 2 y0 - 2‎ 21 ‎ k =- 1 ,所以 A B 的直线方程为 y = - 1 x +1,‎ ‎ ‎ A2 B 2 2 2‎ 21 ‎ kA1M = ‎y0‎ x + 2‎ ‎,所以直线 A1M 的直线方程为 y = ‎y0‎ x + 2‎ ‎(x + 2) ,‎ 21 ‎ ‎0 0‎ 21 ‎ ìx = 2x0 - 4 y0 + 4‎ 21 ‎ í 联立两条直线方程,得到ï ‎x0 + 2 y0 + 2‎ ‎4 y 21 ‎ ï y = 0 ‎ îï x0 + 2 y0 + 2‎ 因为直线 A1M 与直线 A2 B 交于点Q ,‎ 21 ‎ 所以Q( 2x0 - 4 y0 + 4 ,‎ x0 + 2 y0 + 2‎ ‎4 y0 )‎ x0 + 2 y0 + 2‎ 21 ‎ 21 ‎ x - x ‎= -2x0 - 4 y0 + 4 - 2x0 - 4 y0 + 4‎ ‎ ‎ 21 ‎ P Q x - 2 y - 2 x + 2 y + 2‎ ‎0 0 0 0‎ ‎2[22 - (x + 2 y )2 ] - 2[(x - 2 y )2 - 22 ]‎ = 0 0 0 0 ‎ ‎0 0‎ x 2 - (2 y + 2)2‎ ‎2(4 - x 2 - 4 y 2 ) - 8x y + 8x y + 2(4 - x 2 - 4 y 2 )‎ = 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0‎ ‎0 0‎ x 2 - (2 y + 2)2‎ 所以xP = xQ ,直线PQ 的斜率不存在, 所以直线PQ 垂直x 轴.‎ 21 ‎ yP + yQ = x ‎-4 y0 + - 2 y - 2 x ‎4 y0‎ + 2 y + 2‎ 21 ‎ ‎0 0 0 0‎ -16 y 2 -16 y = 0 0 ‎ ‎0 0‎ x 2 - (2 y + 2)2‎ -16 y 2 -16 y = 0 0 ‎ ‎0 0 0‎ x 2 - 4 y 2 - 8y - 4‎ -16 y 2 -16 y = 0 0 ‎ ‎0 0 0‎ ‎(4 - 4 y 2 ) - 4 y 2 - 8y - 4‎ -16 y 2 -16 y = 0 0 = 2‎ ‎0 0‎ -8y 2 - 8y 因此可以得到PQ 的中点纵坐标为1与B 点纵坐标相同,‎ 21 ‎ 所以对于以PQ 为底的 BPQ 来说, 中线的斜率为0 ,‎ 所以中线与底PQ 垂直,‎ 所以 BPQ 是等腰三角形.‎ 21 ‎ 9. ‎（本小题满分 14 分）‎ 已知数列{a }是由正整数组成的无穷数列.若存在常数k Î N* ,使得a ‎‎ + a = ka 21 ‎ n n 对任意的n Î N* 成立,则称数列{a }具有性质Y(k) .‎ ‎（Ⅰ）分别判断下列数列{an}是否具有性质Y(2);（直接写出结论）‎ ‎① a = 1; ② a = 2n .‎ ‎2n-1 2n n 21 ‎ n n ‎（Ⅱ）若数列{an}满足an+1 ³ an (n = 1, 2,3, ) ,求证:“数列{an}具有性质Y(2)”是“数列{an}为常数列”的充分必要条件;‎ ‎（Ⅲ）已知数列{an}中, a1 = 1,且an+1 > an (n = 1, 2,3, ) .若数列{an}具有性质Y(4) ,求数列 ‎{an}的通项公式.‎ ‎【解析】‎ ‎2n-1 2n n n ‎（Ⅰ）①具有,②不具有.(a + a = 22n-1 + 22n = 2n × (2n-1 + 2n ) = a × (2n-1 + 2n ) ¹ 2a )‎ 21 ‎ ‎（Ⅱ）必要条件:若{a }为常数列,即"n Î N*, a ‎= a = a ‎,所以a + a = 2a ‎成立.‎ 21 ‎ n 充分条件:当n = 1时, a1 + a2 = 2a1 ,所以a1 = a2 .‎ k k -1‎ 假设存在k Î N*, k ³ 3 ,使a > a ,‎ ‎2n-1 2n n ‎2n-1 2n n 21 ‎ 若k 为奇数,则ak +1 ³ ak > ak +1 ,所以ak + ak +1 > 2ak +1 ,矛盾;‎ ‎2 2‎ 若k 为偶数,则ak > ak -1 ³ ak ,所以ak + ak -1 > 2ak ,矛盾.‎ ‎2 2‎ 所以ak £ ak -1 ,并且ak ³ ak -1 ,‎ 21 ‎ k k -1 n 所以"k Î N* ,都有a = a ,即{a }为常数列.‎ 所以“数列{an}具有性质Y(2)”是“数列{an}为常数列”的充分必要条件.‎ ‎（Ⅲ）由题意,易知a1 = 1, a2 = 3, a3 + a4 = 4a2 = 12,且a3 ³ 4 ,‎ 若a3 = 4 ,则a4 = 8 , a5 + a6 ³ 9 +10 > 16 = 4a3 ,矛盾;‎ 若a3 ³ 6 ,则a4 £ 6 ,矛盾.‎ 因此a3 = 5, a4 = 7 .下证an = 2n -1.‎ 21 ‎ ‎2i-1‎ 假设该命题不成立,设k = min{i Î N* | a ‎¹ 4i - 3 或a2i ‎¹ 4i -1},显然k ³ 3 ,‎ 21 ‎ 考虑数列{bn},其中bn = an+2k -4 - 4(k - 2) ,则数列{bn}也具有性质Y(4),‎ 且b1 = a2k -3 - 4(k - 2) = 4k - 7 - 4(k - 2) = 1,同理有b3 = 5,b4 = 7 ,‎ 即a3+2k -4 - 4(k - 2) = 5, a4+2k -4 - 4(k - 2) = 7 ,‎ 有a2k -1 = 4k - 3且a2k = 4k -1,矛盾.‎ 综上,数列{an}的通项公式为an = 2n -1.‎ 21 ‎