数学卷·2018届宁夏石嘴山市平罗中学高二上学期期末数学试卷（文科）+（解析版）

数学卷·2018届宁夏石嘴山市平罗中学高二上学期期末数学试卷（文科）+（解析版）

‎2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分，每小题只有唯一正确答案.）‎ ‎1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（　　）‎ A．60° B．120° C．150° D．30°‎ ‎2．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市（　　）‎ A．70家 B．50家 C．20家 D．10家 ‎3．如图所示，某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的体积是（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎4．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（　　）‎ ‎　月份x ‎　1‎ ‎　2‎ ‎　3‎ ‎　4‎ ‎　用水量y ‎　4.5‎ ‎4　‎ ‎3　‎ ‎2.5　‎ A．10.5 B．5.15 C．5.25 D．5.2‎ ‎5．输入x=1时，运行如图所示的程序，输出的x值为（　　）‎ A．4 B．5 C．7 D．9‎ ‎6．已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（　　）‎ A．10 B．8 C．2 D．0‎ ‎7．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为（　　）‎ A．2 B．2.3 C．3 D．3.5‎ ‎8．知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面：‎ ‎①a∥c，b∥c⇒a∥b；‎ ‎②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；‎ ‎③a∥c，c∥α⇒a∥α；‎ ‎④a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α．‎ 其中正确的命题是（　　）‎ A．①④ B．①② C．②④ D．③④‎ ‎9．某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，由图中数据估计此次数学成绩的众数、平均分分别为（　　）‎ A．60、69 B．65、71 C．65、73 D．60、75‎ ‎10．从装有2支铅笔和2支钢笔的文具袋内任取2支笔，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．恰有1支钢笔；恰有2支铅笔 B．至少有1支钢笔；都是钢笔 C．至少有1支钢笔；至少有1支铅笔 D．至少有1个钢笔；都是铅笔 ‎11．如图程序运行后，输出的结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（　　）‎ A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1AP C．∠APD1的最大值为90° D．AP+PD1的最小值为 ‎　‎ 二、填空题（请将正确答案填在答案卷的横线上．每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0相交，则圆C1‎ 与圆C2的公共弦所在的直线的方程为　　．‎ ‎14．已知△ABC的三顶点坐标为A（3，0），B（0，4），C（0，0），D点的坐标为（2，0），向△ABC内部投一 点P，那么点P落在△ABD内的概率为　　．‎ ‎15．无论m为何值，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过一定点P，则点P的坐标为　　．‎ ‎16．不等式组所确定的平面区域记为D，则（x﹣2）2+（y+3）2的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答要有必要的文字说明或演算过程，否则不得分，共70分）‎ ‎17．设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A，B．‎ ‎（1）求弦AB的垂直平分线方程；‎ ‎（2）求弦AB的长．‎ ‎18．某地植被面积 x（公顷）与当地气温下降的度数y（°C）之间有如下的对应数据：‎ x（公顷）‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎80‎ y（°C）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（1）请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；‎ ‎（2）根据（1）中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少℃？‎ ‎（附：回归方程系数公式=， =﹣）‎ ‎19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．‎ ‎（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；‎ ‎（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；‎ ‎（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．‎ ‎20．一个袋中装有5个形状大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．‎ ‎（Ⅰ）从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；‎ ‎（Ⅱ）从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．‎ ‎21．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；‎ ‎（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ ‎22．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．‎ ‎（Ⅰ）若l1与圆相切，求l1的方程；‎ ‎（Ⅱ）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，求证： •为定值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分，每小题只有唯一正确答案.）‎ ‎1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（　　）‎ A．60° B．120° C．150° D．30°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，得到选项．‎ ‎【解答】解：由直线x﹣y+1=0可知：直线的斜率k=tanα=，‎ ‎∵0≤α＜π，且tanα=，‎ ‎∴α=60°，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市（　　）‎ A．70家 B．50家 C．20家 D．10家 ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家，‎ ‎∴按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市为=20，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．如图所示，某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的体积是（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】此几何体是四棱锥，由图形其高与底面边长已知，利用棱锥的体积公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由三视图知，此几何体是一个高为，底面边长为2的四棱锥，顶点在底面上的投影是底面的中心，‎ 故其几何体的体积是=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（　　）‎ ‎　月份x ‎　1‎ ‎　2‎ ‎　3‎ ‎　4‎ ‎　用水量y ‎　4.5‎ ‎4　‎ ‎3　‎ ‎2.5　‎ A．10.5 B．5.15 C．5.25 D．5.2‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】计算样本中心，代入回归方程得出．‎ ‎【解答】解： =， =3.5．‎ ‎∴3.5=﹣0.7×2.5+，解得=5.25．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．输入x=1时，运行如图所示的程序，输出的x值为（　　）‎ A．4 B．5 C．7 D．9‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由程序框图依次计算程序运行的结果，直到满足条件n≥4时，计算x的值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：第一次运行x=1+2=3，n=2；‎ 第二次运行x=1+2+2=5，n=3；‎ 第三次运行x=1+2+2+2=7，n=4，此时满足条件n≥4，输出x=7．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（　　）‎ A．10 B．8 C．2 D．0‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出足约束条件的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断，即可求出4x+y的最大值．‎ ‎【解答】解：已知实数x、y满足，‎ 在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，‎ 三个顶点分别是A（0，0），B（0，2），C（2，0），‎ 由图可知，当x=2，y=0时，‎ ‎4x+y的最大值是8．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为（　　）‎ A．2 B．2.3 C．3 D．3.5‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】先由数据的平均数公式求得a，再根据方差的公式计算．‎ ‎【解答】解：∵由题可知样本的平均值为1，‎ ‎∴（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1，‎ ‎∴样本的方差为 [（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面：‎ ‎①a∥c，b∥c⇒a∥b；‎ ‎②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；‎ ‎③a∥c，c∥α⇒a∥α；‎ ‎④a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α．‎ 其中正确的命题是（　　）‎ A．①④ B．①② C．②④ D．③④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】由平行公理知①正确；在②中，a与b平行、相交或异面；在③中，a∥α或a⊂α；由线面平行的判定定理得④正确．‎ ‎【解答】解：由a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，知：‎ 在①中，a∥c，b∥c⇒a∥b，由平行公理知①正确；‎ 在②中，a∥γ，b∥γ⇒a与b平行、相交或异面，故②错误；‎ 在③中，a∥c，c∥α⇒a∥α或a⊂α，故③错误；‎ 在④中，a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α，由线面平行的判定定理得④正确．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，由图中数据估计此次数学成绩的众数、平均分分别为（　　）‎ A．60、69 B．65、71 C．65、73 D．60、75‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】由频率分布直方图能估计此次数学成绩的众数，由频率分布图的性质先求出a=0.005，由此能估计平均分．‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图知：‎ 估计此次数学成绩的众数为： =65，‎ 由频率分布图的性质得：（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1，‎ 解得a=0.005，‎ 平均分为：0.005×10×55+0.04×10×65+0.03×10×75+0.02×10×85+0.005×10×95=73．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．从装有2支铅笔和2支钢笔的文具袋内任取2支笔，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．恰有1支钢笔；恰有2支铅笔 B．至少有1支钢笔；都是钢笔 C．至少有1支钢笔；至少有1支铅笔 D．至少有1个钢笔；都是铅笔 ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】根据恰有1支钢笔 和 恰有2支铅笔 互斥但不对立，至少有1支钢笔 和 都是钢笔不互斥，至少有1支钢笔 和 至少有1支铅笔 不互斥，至少有1个钢笔 和 都是铅笔 是对立事件，得到答案．‎ ‎【解答】解：A 恰有1支钢笔 和 恰有2支铅笔 互斥但不对立．‎ B至少有1支钢笔 和 都是钢笔不互斥．‎ C至少有1支钢笔 和 至少有1支铅笔 不互斥．‎ D 至少有1个钢笔 和 都是铅笔 是对立事件．‎ 故选 A．‎ ‎　‎ ‎11．如图程序运行后，输出的结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】由题意，S=++…+，利用裂项法即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（　　）‎ A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1AP C．∠APD1的最大值为90° D．AP+PD1的最小值为 ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正确 利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正确；‎ 当A1P= 时，∠APD1为直角，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，C错；‎ 将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值．‎ ‎【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确 ‎∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，‎ ‎∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；‎ ‎ 当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；‎ 将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，‎ 在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，‎ 即AP+PD1≥，‎ ‎∴D正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（请将正确答案填在答案卷的横线上．每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为　x+2y﹣1=0　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】利用圆系方程，求出公共弦所在直线方程．‎ ‎【解答】解：圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0…①和C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0…②‎ ‎①﹣②得公共弦所在的直线方程为：6x+12y﹣6=0，即x+2y﹣1=0．‎ 故答案为x+2y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎14．已知△ABC的三顶点坐标为A（3，0），B（0，4），C（0，0），D点的坐标为（2，0），向△ABC内部投一 点P，那么点P落在△ABD内的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】欲求的点落在△ABD内的概率，则可求出△ABD与△ABC的面积之比，再根据几何概型概率公式求解．‎ ‎【解答】解：因为D是AC 上的靠近A点的三等份点，‎ 所以S△ABD=S△ABC，‎ 所以点落在△ABD内的概率为P=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．无论m为何值，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过一定点P，则点P的坐标为　（3，1）　．‎ ‎【考点】恒过定点的直线．‎ ‎【分析】直线l即：m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，一定经过直线2x+y﹣7=0和 x+y﹣4=0的交点，解方程组，求得定点P的坐标．‎ ‎【解答】解：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0 即 m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，‎ 故直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和 x+y﹣4=0的交点．‎ 由 求得，‎ ‎∴点P的坐标为（3，1），‎ 故答案为 （3，1）．‎ ‎　‎ ‎16．不等式组所确定的平面区域记为D，则（x﹣2）2+（y+3）2的最小值为　4　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．‎ ‎【解答】解：不等式组所确定的平面区域记为D，如图：阴影ABC，A（2，2），B（﹣1，﹣1），C（0，﹣2），‎ ‎（x﹣2）2+（y+3）2的几何意义是可行域的D与P连线距离的平方，由图形可知，C到P的距离的平方最小，‎ 所以z最小值=（0﹣2）2+（﹣3+3）2=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答要有必要的文字说明或演算过程，否则不得分，共70分）‎ ‎17．设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A，B．‎ ‎（1）求弦AB的垂直平分线方程；‎ ‎（2）求弦AB的长．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】（1）求出圆的圆心为C（1，0），半径r=4．根据垂径定理，弦AB的垂直平分线经过圆心C，由此加以计算即可得出AB的垂直平分线方程；‎ ‎（2）利用点到直线的距离公式，算出圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离，再根据垂径定理加以计算，可得弦AB的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵圆x2+y2﹣2x﹣15=0化成标准方程得（x﹣1）2+y2=16，‎ ‎∴圆心为C（1，0），半径r=4．‎ ‎∵直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A、B，‎ ‎∴设弦AB的垂直平分线为l：2x﹣y+m=0，‎ 由垂径定理，可知点C（1，0）在l上，得2×1﹣0+m=0，解之得m=﹣2．‎ 因此，弦AB的垂直平分线方程为2x﹣y﹣2=0；‎ ‎（2）圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离为：‎ d==．‎ 根据垂径定理，得|AB|=2=2，即弦AB的长等于2．‎ ‎　‎ ‎18．某地植被面积 x（公顷）与当地气温下降的度数y（°C）之间有如下的对应数据：‎ x（公顷）‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎80‎ y（°C）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（1）请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；‎ ‎（2）根据（1）中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少℃？‎ ‎（附：回归方程系数公式=， =﹣）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）根据表中数据，计算、，求出回归方程的系数、，写出线性回归方程；‎ ‎（2）利用回归直线方程求出x=200时的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据表中数据，计算 ‎=×（20+40+50+60+80）=50，‎ ‎=×（3+4+4+4+5）=4，‎ xiyi=20×3+40×4+50×4+60×4+80×5=1060，‎ ‎=202+402+502+602+802=14500；‎ 则回归方程系数为 ‎===0.03，‎ ‎=﹣=4﹣0.03×50=2.5，‎ 所以y关于x的线性回归方程为=0.03x+2.5；‎ ‎（2）由（1）得：当x=200时， =0.03×200+2.5=8.5，‎ 即如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是8.5℃．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．‎ ‎（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；‎ ‎（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；‎ ‎（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；‎ ‎（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；‎ ‎（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．‎ ‎∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，‎ ‎∴A1B∥OD．‎ ‎∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，‎ ‎∴直线AB1∥平面BC1D；‎ ‎（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，‎ ‎∴AA1⊥BD，‎ ‎∵底面ABC正三角形，D是AC的中点 ‎∴BD⊥AC ‎∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，‎ ‎∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；‎ ‎（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，‎ ‎∴S△BCD==，‎ ‎∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=••6=9．‎ ‎　‎ ‎20．一个袋中装有5个形状大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．‎ ‎（Ⅰ）从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；‎ ‎（Ⅱ）从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）所有的取法共有种，而取出的两个球颜色不同的取法有2×3种，由此求得取出的两个球颜色不同的概率．‎ ‎（Ⅱ）所有的取法共有5×5种，其中，没有红球的取法有3×3=9种，由此求得求得没有红球的概率，再用1减去此概率，即得所求．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）从袋中随机取两个球，所有的取法共有=10种，‎ 而取出的两个球颜色不同的取法有2×3=6种，‎ ‎∴取出的两个球颜色不同的概率为=．‎ ‎（Ⅱ）从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，‎ 所有的取法共有5×5=25种，其中，没有红球的取法有3×3=9种，‎ 故没有红球的概率为，‎ 故求两次取出的球中至少有一个红球的概率为1﹣=．‎ ‎　‎ ‎21．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；‎ ‎（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．‎ ‎（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．‎ ‎（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，‎ 成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．‎ ‎（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，‎ 其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，‎ 故所求概率为P=．‎ ‎　‎ ‎22．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．‎ ‎（Ⅰ）若l1与圆相切，求l1的方程；‎ ‎（Ⅱ）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，求证： •为定值．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用；圆的切线方程．‎ ‎【分析】（I）由直线l1与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求得直线方程，注意分类讨论；‎ ‎（II）分别联立相应方程，求得M，N的坐标，再求•．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，即直线x=1，符合题意．‎ ‎②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．‎ 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，‎ 即解之得．‎ 所求直线方程是x=1，3x﹣4y﹣3=0．‎ ‎（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx﹣y﹣k=0‎ 由得又直线CM与l1垂直，‎ 得．‎ ‎∴•=为定值．‎ ‎　‎