2018-2019学年江苏省海安高级中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省海安高级中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省海安高级中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．若集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用集合交集运算性质即可解得.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 所以 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的运算性质,属于基础题.‎ ‎2．已知，是虚数单位，若，则的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查复数运算性质和复数模的计算,属于基础题,解题时要准确计算.‎ ‎3．若向量，则与共线的向量可以是（ ）‎ A．（，-1） B．（-1，） C．（，-1） D．（）‎ ‎【答案】B ‎【解析】先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.‎ ‎【详解】‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.‎ ‎4．将函数的图像向右平移单位后，所得图像对应的函数解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先将函数中x换为x-后化简即可.‎ ‎【详解】‎ 化解为 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x按要求变换.‎ ‎5．设实数，满足的约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先画出可行域的几何图形,再根据中z的几何意义(直线在y轴上的截距)求出z的范围.‎ ‎【详解】‎ 如图:做出满足不等式组的的可行域,‎ 由图可知在A(1,2)处取得最大值3,在点B(-1,0)处取得最小值-1;‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划问题中的截距型问题,属于基础题型,解题中关键是准确画出可行域,再结合z的几何意义求出z的范围.‎ ‎6．若函数为偶函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数为偶函数,则有f(-1)=f(1),可解得a=1,函数在区间 单调递减,在区间单调递增,故自变量距离0越远函数值越大,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为函数为偶函数 所以f(-1)=f(1),解得a=1‎ 又因为函数在 单调递减,在单调递增 所以 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利用偶函数的性质求解a的值,其次是利用偶函数的单调性比较大小(先减后增,离原点越远函数值越大,先增后减,离原点越远越小).‎ ‎7．已知圆的圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间。过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹为（ ）‎ A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意找出几何关系，得到，所以，即可得到，所以点P的轨迹是双曲线右支.‎ ‎【详解】‎ 由已知条件可知 ,‎ 所以三角形是等腰三角形， ,‎ 因为 ‎ 所以 则三角形BMP是等腰三角形， ‎ 所以 所以点P的轨迹是双曲线的右支。‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了几何关系的转换和双曲线的定义，是一道综合性较强的题目，属于难题，解题的关键是几何关系的转换，由角的相等得出线段相等而后得到线段的差是一个常数是本题的难点.‎ ‎8．对于，若存在 ，满足，则称为“类三角形”．“类三角形”一定满足（ ）．‎ A．有一个内角为 B．有一个内角为 C．有一个内角为 D．有一个内角为 ‎【答案】B ‎【解析】由对称性，不妨设和为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由对称性，不妨设和为锐角，则A，B，‎ 所以：+＝π﹣（A+B）＝C，‎ 于是：cosC＝sin＝sin（+）＝sinC，即：tanC＝1，解得：C＝45°，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．‎ ‎9．已知的展开式中没有常数项，则n的最大值是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用二项式通项公式分类讨论：当（x+1）中取x时，式子展开式中无,所以中x的指数幂取不到-1,即 ；‎ 当（x+1）中取1时, 式子展开式中无常数项,所以中x的指数幂取不到0即,n要同时满足以上两个不等式,再结合选项验证即可.‎ ‎【详解】‎ 因为的展开式中没有常数项；由二项式展开式的通项公式 可知 ‎(1)当（x+1）中取x时，式子展开式中无, 所以中x的幂指数取不到-1,即；‎ ‎（2）当（x+1）中取1时,式子展开式中无常数项,所以中x的幂指数取不到0,即 ，选项中的n要同时满足上面两个不等式，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理地应用，难度较高，解题中首先要根据题意进行分类讨论，确定后面式子中x的指数幂，再根据无常数项的条件确定幂指数满足的不等式组，有一定的难度，解题关键是对二项式定理的深度理解.‎ ‎10．已知函数恰有两个极值点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】对函数求导数，得出导数有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象找到临界的相切状态，通过求解切线斜率即可构造不等式，求解得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 函数 ‎ 由于函数的两个极值点为，‎ 即，是方程的两个不等实根 即方程有两个不等式实根，且，‎ 设，‎ 在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；‎ 要使这两个函数有个不同的交点，应满足如图所示的位置关系 临界状态为图中虚线所示切线 恒过，设与曲线切于点 则 ‎ 若有个不同的交点，则 解得：‎ 所以的取值范围是 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，关键是能够将问题转化为两个函数有两个交点的问题，根据切线斜率求得临界值．‎ 二、填空题 ‎11．学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为_______（结果用数值表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．‎ ‎【详解】‎ 解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，‎ 基本事件总数n10．‎ 选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，‎ 则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎12．若抛物线的上一点到其焦点的距离为3, 且抛物线的焦点是双曲线的右焦点,则p=_______ ,a=______．‎ ‎【答案】4 ‎ ‎【解析】利用抛物线的定义可解得p的值；利用双曲线中 可解得a的值.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的上一点到其焦点的距离为3‎ 所以 解得p=4‎ 抛物线的焦点是双曲线的右焦点 ‎ 解得a=‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线和双曲线的性质，属于基础题型，解题中要熟练掌握和应用双曲线和抛物线的性质.‎ ‎13．已知数列{an}为等比数列，且a3a11+2a72=4π，则tan（a1a13）的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用等比数列的等积性可求.‎ ‎【详解】‎ 因为数列{an}为等比数列，所以，‎ 因为，所以,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质，利用等积性可以简化运算，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎14．在 中．已知，为线段上的一点，且满足．若的面积为，，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解∵‎ ‎ ‎ ‎∵A，P，D三点共线，∴，即m．‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 又∵．‎ ‎∴，即CA•CB＝8．‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．‎ ‎15．设函数=，若函数f(x)-a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_______．‎ ‎【答案】[0, 2)‎ ‎【解析】先将方程 变形为,根据数形结合思想,y=a与f(x)必须有两个交点,即可求出a的范围.‎ ‎【详解】‎ 函数有两个不同的零点,即有两个不同的交点,‎ 所以函数与函数y=a有两个交点,如图所示:‎ 所以a的范围是[0, 2)‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数形结合和化归转化的数学思想，将函数的零点、方程的根、函数的交点的转化，再利用数形结合确定参数a的范围，属于中档题目；解题中关键是将方程的根转化为两个函数交点的问题.‎ ‎16．设二次函数（为常数）的导函数为，对任意 ‎，不等式恒成立，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式f(x)≥f′(x)即ax2＋bx＋c≥2ax＋b，所以对任意x∈R，不等式ax2＋(b－2a)x＋(c－b)≥0(a≠0)恒成立，所以 ‎≤＝，令－1＝t，则由4ac－4a2≥b2≥0以及a>0知≥1，所以t≥0等号仅当a＝c且b＝0时成立．又＝＝，‎ 当t＝0时＝0，当t>0时＝≤＝＝2－2，所以当t＝时取最大值2－2，因此当b2＝4ac－4a2且－1＝时取最大值2－2.‎ 三、解答题 ‎17．已知，设．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）在△ABC中，已知A为锐角，，BC=4，AB=3，求的值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）先根据向量坐标运算和正弦的二倍角公式求出f（x）的解析式，在由周期公式即可求得函数的周期；‎ ‎（2）由（1）和可求出sinA和cosA，再根据正弦定理可求得sinC和cosC，然后根据sinB=sin（A+C）即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ 所以 ‎ 的最小正周期为 ‎ ‎（2）因为 所以 ‎ 由正弦定理得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎= ‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查了三角函数的化简和利用正弦定理求解三角形，属于中档题目，解题中需要熟练掌握三角函数的二倍角公式、和角公式，对字母运算能力要求较高.‎ ‎18．如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠BAC=90°，PA=PB，点D，F分别为BC，AB的中点．‎ ‎（1）求证：直线DF∥平面PAC；‎ ‎（2）求证：PF⊥AD．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）先根据中位线，证明DF∥AC，结合线面平行的判定定理可证；‎ ‎（2）利用线面垂直判定方法证明PF⊥平面ABC，从而可证结论.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）∵点D，F分别为BC，AB的中点，‎ ‎∴DF∥AC，‎ 又∵DF⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，‎ ‎∴直线DF∥平面PAC．‎ ‎（2）∵∠PAC=∠BAC=90°，‎ ‎∴AC⊥AB，AC⊥AP，‎ 又∵AB∩AP=A，AB，AP在平面PAB内，‎ ‎∴AC⊥平面PAB，‎ ‎∵PF⊂平面PAB，∴AC⊥PF，‎ ‎∵PA=PB，F为AB的中点，∴PF⊥AB，‎ ‎∵AC⊥PF，PF⊥AB，AC∩AB=A，AC，AB在平面ABC内，‎ ‎∴PF⊥平面ABC，‎ ‎∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥PF．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎19．为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年．已知房屋外表喷一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元，且每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（毫米）满足关系：．设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．‎ ‎（1）请解释的实际意义，并求的表达式；‎ ‎（2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？‎ ‎【答案】（1）（2）90‎ ‎【解析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f（x）的解析式；‎ ‎（2）利用基本不等式得出f（x）的最小值及对应的x的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：（1） 表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元，‎ 设隔热层建造厚度为毫米，则 ‎，‎ ‎（2）‎ 当，即时取等号 所以当隔热层厚度为时总费用最小万元，‎ 如果不建隔热层，年业主将付能源费万元，‎ 所以业主节省万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）椭圆C上是否存在点P，使得过点P引圆O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）所求椭圆方程为．‎ ‎（2）椭圆C上存在四个点分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直.‎ ‎【解析】(1)利用椭圆的性质可求解出a、b；‎ ‎（2）先假设存在点P,过点P引圆O的切线,连接OA,OB, 则四边形PAOB是边长为b的正方形，点P是以O为圆心,为半径的圆与椭圆C的交点，构造方程组即可解得P的坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ,‎ ‎(2)假设存在点P,过点P引圆O的切线,连接OA,OB, 则四边形PAOB是边长为b的正方形,点P为以O为圆心,为半径的圆与椭圆C的交点.‎ 即 解得 ‎ 所以点P的坐标是 ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，属于难题，解决第二问的关键是根据已知条件分析出四边形PAOB是边长为b的正方形,得到点P是以O为圆心,为半径的圆与椭圆C的交点.‎ ‎21．设函数，给定数列，其中,.‎ ‎（1）若为常数数列，求a的值；‎ ‎（2）当时，探究能否是等比数列？若是，求出的通项公式；若不是，说明理由；‎ ‎（3）设，数列的前n项和为，当a=1时，求证：.‎ ‎【答案】(1)a=0或；（2）①见解析；(3)见详解.‎ ‎【解析】(1)数列是常数数列即有 ,再利用可得关于a的等式;‎ ‎(2)由可得数列的递推关系式,然后取倒数,化解为,讨论首项a是否为零,确定数列是否为等比数列;‎ ‎(3)由(2)求得数列,通过放缩法将数列再利用错位相减法即可证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 为常数列，则，‎ 由得 即 解得：a=0或.‎ ‎（2）,‎ 当时，，得 ‎ ‎ ‎①当时，不是等比数列. ‎ ‎②当 时，是以2为公比，以为首项的等比数列，‎ 所以， . ‎ ‎（3）当时， ,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设 ①‎ ‎② ‎ ‎ ‎ ‎①-②得 ‎ ‎ 所以 ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的判断,关键在于其首项是否为0,比值是否为常数,同时还考查了放缩法及错位相减法求数列的和,属于难题, 突破题目的关键是利用放缩法求将复杂数列表达式通过放缩转化为可以利用错位相减法求和的数列.‎ ‎22．已知函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且曲线y=f（x）在其与y轴的交点处的切线记为l1，曲线y=g（x）在其与x轴的交点处的切线记为l2，且l1∥l2．‎ ‎（1）求l1，l2之间的距离；‎ ‎（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）对于函数f（x）和g（x）的公共定义域中的任意实数x0，称|f（x0）-g（x0）|的值为两函数在x0处的偏差．求证：函数f（x）和g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析 ‎【解析】（1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求l1，l2之间的距离；‎ ‎（2）利用分离参数法，求出h（x）=x-ex的最大值即可；‎ ‎（3）根据偏差的定义，只需要证明的最小值都大于2．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f′（x）=aex，g′（x）=，‎ y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），‎ y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），‎ 由题意得f′（0）=g′（a），即a=，‎ 又∵a＞0，∴a=1．‎ ‎∴f（x）=ex，g（x）=lnx，‎ ‎∴函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：‎ x-y+1=0，x-y-1=0，‎ ‎∴两平行切线间的距离为.‎ ‎（2）由＞，得＞，‎ 故m＜x-ex在x∈[0，+∞）有解，‎ 令h（x）=x-ex，则m＜h（x）max，‎ 当x=0时，m＜0；‎ 当x＞0时，∵h′（x）=1-（+）ex，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴+≥2=，ex＞1，‎ ‎∴（+）ex＞，‎ 故h′（x）＜0，‎ 即h（x）在区间[0，+∞）上单调递减，‎ 故h（x）max=h（0）=0，∴m＜0，‎ 即实数m的取值范围为（-∞，0）．‎ ‎（3）解法一：‎ ‎∵函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），‎ ‎∴F′（x）=ex-，设x=t为F′（x）=0的解，‎ 则当x∈（0，t），F′（x）＜0；当x∈（t，+∞），F′（x）＞0，‎ ‎∴F（x）在（0，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增，‎ ‎∴F（x）min=et-lnt=et-ln=et+t，‎ ‎∵F′（1）=e-1＞0，F′（）=-2＜0，∴＜t＜1，‎ 故F（x）min=et+t=+＞+=2，‎ 即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．‎ 解法二：‎ 由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），‎ 令F1（x）=ex-x，x∈（0，+∞）；令F2（x）=x-lnx，x∈（0，+∞），‎ ‎∵F1′（x）=ex-1，F2′（x）=1-=，‎ ‎∴F1（x）在（0，+∞）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴F1（x）＞F1（0）=1，F2（x）≥F2（1）=1，‎ ‎∴F（x）=ex-lnx=F1（x）+F2（x）＞2，‎ 即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义解决曲线的切线问题，利用导数求解函数的最值问题,属于难度题.‎