【数学】2019届一轮复习人教A版 随机变量及其分布学案
第6讲 随机变量及其分布
题型1 相互独立事件的概率与条件概率
(对应 生用书第18页)
■核心知识储备………………………………………………………………………·
1．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率为P(B|A)＝＝.
2．相互独立事件同时发生的概率
P(AB)＝P(A)P(B)．
3．独立重复试验的概率
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk·(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查条件概率)如图61，△ABC和△DEF是同一个圆的内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在△ABC内”，N表示事件“豆子落在△DEF内”，则P(|M)＝( )
图61
A. B. C. D.
[解析]
如图，作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC包含9个小三角形，满足事件M的有3个小三角形，
所以P(|M)＝＝＝，故选C.
[答案] C
【典题2】 (考查相互独立事件的概率)(2017·福州五校联考)为了检验某大型乒乓球赛男子单打参赛队员的训练成果，某校乒乓球队举行了热身赛，热身赛采取7局4胜制(即一场比赛先胜4局者为胜)的规则．在队员甲与乙的比赛中，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和数 期望.
【导 号：07804040】
[解] (1)由题意得，甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率P＝＋C×＝.
(2)由题意知，X的所有可能取值为4,5,6,7，
且P(X＝4)＝＋＝，
P(X＝5)＝C×＋C××＝＝，
P(X＝6)＝C×＋C×＝，
P(X＝7)＝C×＋C×＝.
所以X的分布列为
X
4
5
6
7
P
E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＝.
[类题通法]
1.解决条件概率的关键是明确“既定条件”.
2.求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法
(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解.
(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.
■对点即时训练………………………………………………………………………·
1．某同 用计算器产生了两个[0,1]之间的均匀随机数，分别记作x，y.当y
的概率是( )
A. B．
C. D．
D [记“y”为事件B，所以(x，y)构成的区域如图所示，所以S1＝＝，S2＝x2dx－S1＝，则所求概率为＝＝＝，故选D.]
2．如图62，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )
图62
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
B [法一：(直接法)由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8，因为K，A1，A2相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.所以系统正常工作的概率为P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.
法二：(间接法)A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(12)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，故系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.]
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T1、T3、T4、T6、T12)
题型2 离散型随机变量的分布列、期望和方差的应用(答题模板)
(对应 生用书第19页)
离散型随机变量的分布列问题是高考的热点，常以实际生活为背景，涉及事件的相互独立性、互斥事件的概率等，综合性强，难度中等．(2017·全国Ⅱ卷T13、2017·全国Ⅲ卷T18、2016·全国Ⅰ卷T19、2016·全国Ⅱ卷T18、2013·全国Ⅰ卷T19、2013·全国Ⅱ卷T19)
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题】 (本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．
机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.①
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面如图63所示的②
图63
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，③
n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求④确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
【导 号：07804041】
[审题指导]
题眼
挖掘关键信息
①
看到这种条件，
想到解题时可能要分类求解.
②
看到柱状图想到频数与频率间的关系，
想到横轴中的取值含义.
③
看到自变量X想到柱状图，
想到X的所有可能取值.
④
看到P(X≤n)≥0.5想到X和n的含义，
想到(1)中的分布列.
[规范解答] (1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 1分
⑤
从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 4分
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
6分
(2)由(1)⑥
故n的最小值为19. 7分
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
⑦
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040； 9分
⑧
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 11分
可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. 12分
[阅卷者说]
易错点
防范措施
⑤忽视X的实际含义导致取值错误，进而导致概率计算错误.
细心审题，把握题干中的重要字眼，关键处加标记，同时理解X取每个值的含义.
⑥忽视P(X≤n)≥0.5的含义，导致不会求解.
结合(1)中的分布列及n的含义，推理求解便可.
⑦忽视n＝19与n＝20的含义导致无法解题.
本题中购买零件所需费用包含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.
[类题通法]
解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：
(1)明确随机变量可能取哪些值.
(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值.
(3)根据分布列和期望、方差公式求解.
提醒：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键.
■对点即时训练………………………………………………………………………·
(2016·湖南益阳4月调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：
得分
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
甲种产品的件数
5
10
34
11
乙种产品的件数
8
12
31
9
(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；
(2)生产一件甲种产品，若是合格品，可盈利100元，若是不合格品，则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品，可盈利90元，若是不合格品，则亏损15元．在(1)的前提下：
①记X为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X的分布列和数 期望；
②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率．
[解] (1)甲种产品为合格品的概率约为＝ ，
乙种产品为合格品的概率约为＝.
(2)①随机变量X的所有可能取值为190,85,70，－35，
且P(X＝190)＝×＝，
P(X＝85)＝×＝，
P(X＝70)＝×＝，
P(X＝－35)＝×＝.
所以随机变量X的分布列为
X
190
85
70
－35
P
所以E(X)＝＋＋－＝125.
②设生产的5件乙种产品中合格品有n件，则不合格品有(5－n)件，
依题意得，90n－15(5－n)≥300，
解得n≥，又因为0≤n≤5，且n为整数，所以n＝4或n＝5，
设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A，则P(A)＝C4×＋＝.
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T2、T7、T8、T11、T13)
题型3 正态分布问题
(对应 生用书第21页)
■核心知识储备………………………………………………………………………·
正态分布的性质
(1)正态曲线与x轴之间面积为1.
(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同．
(3)P(X≤a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．
(4)求概率时充分利用3σ原则．
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题】 (2017·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数 期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得＝xi＝9.97，s＝＝)≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
【导 号：07804042】
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ
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