河北省张家口市宣化第一中学2020届高三模拟（四）考试数学试卷

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河北省张家口市宣化第一中学2020届高三模拟（四）考试数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合，，则集合 A. B. C. D. ‎ 2. 已知i为虚数单位，且复数z满足：，则z的虚部为 A. B. C. D. ‎ 3. 已知抛物线C：的焦点F在直线l：上，则点F到C的准线的距离为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16‎ 4. 如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比，则下列说法错误的是 ‎ A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018上半年 B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨 C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量 D. 2018年1月月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减 5. 已知，，，若，则 A. 6 B. C. 16 D. 20‎ 6. 已知函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. ‎ 7. 函数的图象可看作是将函数的图象向右平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到的，则函数的解析式为 A. B. C. D. ‎ 8. 设函数，若，，，则 A. B. C. D. ‎ 1. 十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员含A、B两市代表团安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为 A. 6 B. 12 C. 16 D. 18‎ 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知坐标平面xOy中，点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为的中点，点I为的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为 A. B. 3 C. D. 5‎ 4. 当x为实数时，表示不超过x的最大整数，如已知函数其中，函数满足，，且时，，则方程的实根的个数为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 若的展开式中第项为常数项，则______．‎ 6. 已知实数x，y满足，则的最大值是______．‎ 7. 我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图，函数的图象与x轴围成一个封闭区域阴影部分，将区域阴影部分沿z轴的正方向上移6个单位，得到一几何体．现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图所示，其底面积与区域阴影部分的面积相等，则此柱体的体积为______．‎ 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在线段BC上，且，则AD的最小值为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 9. 已知数列中，，且，． 判断数列是否为等比数列，并说明理由； 当时，求数列的前2020项和．‎ ‎ ‎ 1. 如图，多面体是正三棱柱底面是正三角形的直棱柱沿平面切除一部分所得，其中平面ABC为原正三棱柱的底面，，点D为的中点． 求证：平面； 求二面角的平面角的余弦值． ‎ 2. 某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组单位：万元：，，，，，，统计结果如表所示：‎ 组别 频数 ‎5‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎5‎ 以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题； 从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间内的天数不少于2的概率； 该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润Z服从正态分布，其中近似为样本平均数每组数据取区间的中点值． 试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间内的天数精确到个位； 该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案： 方案一：直接发放奖金，日纯利润低于时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于时每名员工发放奖金90元； 方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为 金额 ‎50元 ‎100元 概率 小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？ 考数据：若，则，．‎ ‎ ‎ 1. 已知椭圆C：的离心率为，过椭圆C的左焦点和上顶点的直线与圆O：相切． 求椭圆C的方程； 过点的直线l与椭圆C交于A、B两点，点与原点O关于直线l对称，试求四边形的面积的最大值． ‎ 2. 已知函数为常数．‎ 若函数恰有1个零点，求实数m的取值范围；‎ 若不等式对正数x恒成立，求实数a的最小整数值． ‎ 3. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为为参数，，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为． 若，求直线l被圆C所截得的弦长； 设，且直线l与圆C交于A，B两点，若，求角的大小 ‎ 4. 已知函数． 解不等式； 记函数的最小值为m，正实数a，b满足，求证：． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 可求出集合N，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、区间表示集合的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算． 【解答】 解：，或； ． 故选：C． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 【解答】 解：由，得． 的虚部为． 故选：A． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：抛物线C：的焦点为 ，可得， 因此点F到C的准线的距离为：8； 故选：C． 根据抛物线的标准方程，将焦点代入直线l方程算出p，即可得到结果； 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由图易知A，B正确， 由数量同比折线图可知，除6月和10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C正确， 由2018年1月月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故D错误， 故选：D． 先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 可求出，，从而求出，‎ ‎，这样根据即可得出，解出m即可求出的坐标，从而得出． 考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法． 【解答】 解：，； ，； 又； ； 解得； ； ． 故选：D． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数．得到切线的向量求出切点坐标，然后求解切线方程． 本题考查函数的导数的应用，函数的奇偶性以及导数的几何意义，是基本知识的考查． 【解答】 解：函数，若为奇函数，可得，所以， ，，， 函数， ， 曲线在点处的切线斜率为：，， 曲线在点处的切线方程为：， 即． 故选：C． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，得 再把图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到 故选：D． 根据的图象变换规律，可得结论． 本题主要考查函数的图象变换规律，属基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查正切函数的单调性，涉及函数的单调性的判定以及应用，属于基础题． 根据题意，由对数函数的性质分析可得在上为增函数，又由对数的性质可得，分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，函数，其周期为， 且在区间上为增函数， 又由， 则，即， 故选：D． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 由排列组合及简单的计数问题得：不同的安排种数为，得解． 本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题． 【解答】 解：当a，b，c三家宾馆入住人数为3，1，1，则不同的安排种数为， 当a，b，c三家宾馆入住人数为2，2，1，则不同的安排种数为， 当a，b，c三家宾馆入住人数为2，1，2，则不同的安排种数为， 即不同的安排种数为， 故选：B． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意可知，几何体的是列出为1的正方体的一部分，，外接球就是正方体的外接球，半径为：， 外接球的表面积为：． 故选：A． 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解外接球的半径，然后求解外接球的表面积． 本题考查三视图求解外接球的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，考查计算能力． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 由题意画出图形，不妨设点M在第二象限，设，，由题意列式求得m，n，代入双曲线方程可得双曲线C的离心率． 【解答】 解：不妨设点M在第二象限，设，， 由D为的中点，O，I，D三点共线知，直线OD垂直平分， 则OD：，故有 ‎， 且，解得，． 将，即代入双曲线的方程可得， ，化简得，即． 当M在第三象限时同理可得． 故选：C． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由，，得函数的图象关于直线及直线对称，且， 令，则， 即为周期函数，且最小正周期为4． 对于，当时，；             当时，；             当时，；             当时，；             当时，； ；             当时，；             当时，；             当时，；             当时，；             当时，； 综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数及的图象， 由图可知，函数与函数共有6个交点， 即方程的根的个数为6． 故选：C． 由，，得函数的图象关于直线及直线对称，又由可得的周期，通过作图观察的方法可得结果． 此题考查了函数的图象和性质，由数形结合求解，对于分段函数较麻烦一点，中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：的展开式中第项为，再根据它为常数项， 可得，求得 ‎， 故答案为：． 由题意利用二项展开式的通项公式，求得，从而得到 的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 14.【答案】2 ‎ ‎【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 的几何意义为动点到定点的斜率， 由图象可知当动点位于A时，直线PA的斜率最大， 解得 此时， 故答案为：2． 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 本题主要考查线性规划的应用，利用几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由题意得，阴影区域在上为半个圆， 底面积， 所以该柱体的体积为． 故答案为：． 阴影区域在上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数在上的积分，有了底面积，又知道高为6，即可得到柱体的体积． 本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由正弦定理可得：， ， 又， ， 由，可得：， ，两边平方，可得：，当且仅当时取等号， 可得 ‎． 故答案为：． 由已知利用正弦定理可得：，根据余弦定理可求，结合范围，可求，由，可得，两边平方，结合基本不等式可求AD的最小值． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量的应用和基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题． 17.【答案】解：， ， 当时，，故数列不是等比数列； 当时，数列是等比数列，其首项为，公比为3． 由且当时，有：， 即，， ． ‎ ‎【解析】由，得，当时，，故数列不是等比数列；当时，数列是等比数列，其首项为，公比为3． 由且当时，有，求得，然后利用数列的分组求和求数列的前2020项和． 本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了利用分组法求数列的前n项和，是中档题． 18.【答案】证明：设与交于点E，连接DE， 多面体是正三棱柱沿平面切除一部分所得，， 四边形是正方形，且， 点D为的中点，，， ，同理． ， 为的中点，， ，， 平面； 证明：取BC的中点O，连接AO， 为正三角形，， 由正棱柱的性质可得，平面平面，且平面平面， 平面， 以O为坐标原点，OB，OE，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则0，，2，，0，，1，， ，，． 设平面CBD的一个法向量为 ‎． 则，取，得． 由知，平面的一个法向量为， ， 又二面角的平面角为锐角， 二面角的平面角的余弦值为． ‎ ‎【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题． 设与交于点E，连接DE，由题意可得四边形是正方形，且，再由点D为的中点，，，求得CD，同理求得，得，可得，由线面垂直的判定可得； 取BC的中点O，连接AO，可得，由正棱柱的性质可得平面，以O为坐标原点，OB，OE，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面CBD与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的平面角的余弦值． 19.【答案】解：由频数分布表可知，日纯利润在区间的频率为． 记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X，则 所求的概率． ． ，又， ． 故该大型超市1000天内日纯利润在区间的天数为． 易知． 对应奖励方案一：设小张每日奖金金额为Y，则Y可能取值为70，其对应的概率均为， 故E． 对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为Q，则Q的所有可能的取值为50，100，150，200． ， ； ； ． ‎ 的分布列为：‎ ‎ Q ‎ 50‎ ‎ 100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎． ， 从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利． ‎ ‎【解析】本题考查了二项分布，正态分布，离散型随机变量的分布列与数学期望．主要考查了归纳总结能力与运算能力．本题属于中档题． 日纯利润在区间的频率为，记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X，则，结合二项分布即可得到日纯利润在区间内的天数不少于2的概率； 依题意，又，，代入数据即可； 分别计算出两种方案对应的奖金金额的期望，比较，取期望较大的即可． 20.【答案】解：过椭圆C的左焦点和上顶点的直线方程为，即． 又该直线与圆O相切，， 又两向量，． ，得． 椭圆C的方程为； 由点与原点O关于直线l对称，得， 当直线l的斜率不存在时，轴，四边形不存在，不合题意； 当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l：， 设，， 联立，得． 当，即时， ，． 从而 ‎ ‎． 又点O到直线AB的距离． ． 设，则． 当且仅当，即时等号成立，且满足． 四边形的面积的最大值为2． ‎ ‎【解析】由直线与圆相切得，结合椭圆离心率求得b，再由隐含条件求得a，则椭圆方程可求； 由点与原点O关于直线l对称，得，当直线l的斜率不存在时，轴，四边形不存在，不合题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式、点到直线距离公式及三角形面积公式得到四边形的面积，利用换元法结合基本不等式求最值． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法求最值，考查计算能力，是中档题． 21.【答案】解：的定义域为， 函数恰有1个零点方程仅有一个正实数解， 由，得， 设，则， 令得， 令，得， 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得唯一的极大值，即为最大值， 故的最大值为． 当x趋近于0时，趋近于， 所以为负数， 当x趋近于时，x的增长速度大于的增长速度， 且当时， 故趋近于0， 由图可知，当或者时，方程仅有一个实数解， 的取值范围为或； ， ， 设， ‎ 又在上为减函数，，， 存在唯一的零点， 此时在上单调递增，在上单调递减， 且， ，， 由单调性知， 又，故， 对任意正数x恒成立时，， ， 实数a的最小整数值为． ‎ ‎【解析】首先写出的定义域，函数恰有1个零点方程仅有一个正实数解，由，得，设，然后求导，找出的最值，结合图象求出m的范围； 设，求导判断的单调区间，利用单调性求出a的最值即可． 本题考查了函数的求导，利用导数求单调区间，求最值，还涉及到函数的零点等知识，内容丰富，综合性强，较难解决． 22.【答案】解：由，得， 曲线C的直角坐标方程为，即． 当时，直线l的方程为，恰好经过圆C的圆心， 故直线l被圆C所截得的弦长为圆的直径，等于4； 将代入． 得． ． 设A，B对应的此时分别为，，则，， 可知，异号． ， 得． 又，或． ‎ ‎【解析】把两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，求出时的直线方程，由直线l恰好过圆心求得直线l被圆C所截得的弦长； 把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解． 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题． ‎ ‎23.【答案】解：， 由得，或或， 或或， ， 不等式的解集为：． ， 当且仅当，即时取等号， ，， 当且仅当，即时取等号， ． ‎ ‎【解析】，分段解不等式即可； 利用绝对值三角不等式求出最小值m，然后利用基本不等式证明即可． 本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属基础题． ‎