【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版5-2平面向量基本定理及坐标表示学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版5-2平面向量基本定理及坐标表示学案

‎§5.2 平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解平面向量基本定理及其意义.‎ ‎2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.‎ ‎4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示,考查向量线性运算的综合应用,考查学生的运算推理能力、数形结合能力,常与三角函数综合交汇考查,突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查,偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题,属于中档题.‎ ‎1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.‎ 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.‎ ‎2.平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),‎ λa=(λx1,λy1),|a|=.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.‎ ‎②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=.‎ ‎3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a,b共线⇔x1y2-x2y1=0.‎ 概念方法微思考 ‎1.若两个向量存在夹角,则向量的夹角与直线的夹角一样吗?为什么?‎ 提示 不一样.因为向量有方向,而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时,与直线的 夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时,与直线的夹角不一样.‎ ‎2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗?‎ 提示 不一定.当两个向量共线时,这两个向量就不能表示,即两向量只有不共线时,才能作为一组基底表示平面内的任一向量.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.( × )‎ ‎(2)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( √ )‎ ‎(3)在等边三角形ABC中,向量与的夹角为60°.( × )‎ ‎(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成=.( × )‎ ‎(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( √ )‎ ‎(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.‎ 答案 (1,5)‎ 解析 设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y),‎ 即解得 ‎3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则=________.‎ 答案 - 解析 由向量a=(2,3),b=(-1,2),‎ 得ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1).‎ 由ma+nb与a-2b共线,‎ 得=,所以=-.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.设e1,e2是平面内一组基底,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1+λ2=________.‎ 答案 0‎ ‎5.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=________.‎ 答案 (-7,-4)‎ 解析 根据题意得=(3,1),‎ ‎∴=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).‎ ‎6.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=________.‎ 答案 -6‎ 解析 因为a∥b,‎ 所以(-2)×m-4×3=0,解得m=-6.‎ 题型一 平面向量基本定理的应用 例1 如图,已知△OCB中,A是CB的中点,D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.‎ ‎(1)用a和b表示向量,;‎ ‎(2)若=λ,求实数λ的值.‎ 解 (1)由题意知,A是BC的中点,‎ 且=,由平行四边形法则,‎ 得+=2,‎ 所以=2-=2a-b,‎ =-=(2a-b)-b=2a-b.‎ ‎(2)由题意知,∥,故设=x.‎ 因为=-=(2a-b)-λa ‎=(2-λ)a-b,=2a-b.‎ 所以(2-λ)a-b=x.‎ 因为a与b不共线,由平面向量基本定理,‎ 得解得 故λ=.‎ 思维升华 应用平面向量基本定理的注意事项 ‎(1)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.‎ ‎(2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.‎ ‎(3)强化平行向量基本定理的应用.‎ 跟踪训练1 在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t的值为________.‎ 答案  解析 ∵=+,‎ ‎∴3=2+,‎ 即2-2=-,‎ ‎∴2=,‎ 即P为AB的一个三等分点,如图所示.‎ ‎∵A,M,Q三点共线,‎ ‎∴=x+(1-x) ‎=+(x-1),‎ 而=-,∴=+.‎ 又=-=-+,‎ 由已知=t,可得 +=t,‎ 又,不共线,‎ ‎∴解得t=.‎ 题型二 平面向量的坐标运算 例2 (1)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为(  )‎ A.(2,0) B.(-3,6)‎ C.(6,2) D.(-2,0)‎ 答案 A 解析 设N(x,y),则(x-5,y+6)=(-3,6),‎ ‎∴x=2,y=0.‎ ‎(2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,a=mb+nc(m,n∈R),则m+n=________.‎ 答案 -2‎ 解析 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).‎ ‎∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),‎ ‎∴解得 ‎∴m+n=-2.‎ 思维升华 平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.‎ ‎(2)解题过程中,常利用“向量相等,则坐标相同”这一结论,由此可列方程(组)进行求解.‎ 跟踪训练2 线段AB的端点为A(x,5),B(-2,y),直线AB上的点C(1,1),使||=2||,则x+y=________.‎ 答案 -2或6‎ 解析 由已知得=(1-x,-4),2=2(3,1-y).‎ 由||=2||,可得=±2,‎ 则当=2时,有 解得此时x+y=-2;‎ 当=-2时,有 解得此时x+y=6.‎ 综上可知,x+y=-2或6.‎ 题型三 向量共线的坐标表示 命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标 例3 已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为________.‎ 答案 (3,3)‎ 解析 方法一 由O,P,B三点共线,‎ 可设=λ=(4λ,4λ),‎ 则=-=(4λ-4,4λ).‎ 又=-=(-2,6),‎ 由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,‎ 解得λ=,所以==(3,3),‎ 所以点P的坐标为(3,3).‎ 方法二 设点P(x,y),则=(x,y),‎ 因为=(4,4),且与共线,所以=,‎ 即x=y.‎ 又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,‎ 所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,‎ 所以点P的坐标为(3,3).‎ 命题点2 利用向量共线求参数 例4 (2018·乌海模拟)已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若(a+kb)∥c,则实数k的值为(  )‎ A.- B. C.2 D. 答案 B 解析 因为a=(2,-1),b=(1,1),‎ 所以a+kb=(2+k,-1+k),‎ 又c=(-5,1),‎ 由(a+kb)∥c 得(2+k)×1=-5×(k-1),解得k=,故选B.‎ 思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 ‎(1)如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”.‎ ‎(2)在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R).‎ 跟踪训练3 (1)已知a=(2,m),b=(1,-2),若a∥(a+2b),则m的值是(  )‎ A.-4 B.1 C.0 D.-2‎ 答案 A 解析 a+2b=(4,m-4),‎ 由a∥(a+2b),‎ 得2(m-4)=4m,m=-4,故选A.‎ ‎(2)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则实数k的值是________.‎ 答案 - 解析 =-=(4-k,-7),‎ =-=(-2k,-2).‎ ‎∵A,B,C三点共线,‎ ‎∴,共线,‎ ‎∴-2×(4-k)=-7×(-2k),‎ 解得k=-.‎ ‎1.已知M(3,-2),N(-5,-1),且=,则P点的坐标为(  )‎ A.(-8,1) B. C. D.(8,-1)‎ 答案 B 解析 设P(x,y),则=(x-3,y+2).‎ 而=(-8,1)=,‎ ‎∴解得 ‎∴P.故选B.‎ ‎2.若向量==(2,0),=(1,1),则+等于(  )‎ A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3)‎ 答案 B 解析 =+=(3,1),‎ 又=-=(-1,1),‎ 则=+=(1,1),‎ 所以+=(4,2).故选B.‎ ‎3.(2018·赤峰质检)已知向量a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,则|a+b|等于(  )‎ A. B. C. D.5‎ 答案 B 解析 根据题意可得1×t=2×(-2),可得t=-4,‎ 所以a+b=(-1,-2),‎ 从而可求得|a+b|==,故选B.‎ ‎4.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是(  )‎ A.(-∞,2) B.(2,+∞)‎ C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)‎ 答案 D 解析 由题意知向量a,b不共线,‎ 故2m≠3m-2,即m≠2.‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点,∠AOC=,且|OC|=2,若=λ+μ,则λ+μ等于(  )‎ A.2 B. C.2 D.4 答案 A 解析 因为|OC|=2,∠AOC=,‎ 所以C(,),‎ 又=λ+μ,‎ 所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),‎ 所以λ=μ=,λ+μ=2.‎ ‎6.(2019·呼伦贝尔期中)已知向量m=与向量n=(3,sin A+cos A)共线,其中A是△ABC的内角,则角A的大小为(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 ∵m∥n,‎ ‎∴sin A(sin A+cos A)-=0,‎ ‎∴2sin2A+2sin Acos A=3,‎ ‎∴1-cos 2A+sin 2A=3,‎ ‎∴sin=1,‎ ‎∵A∈(0,π),‎ ‎∴2A-∈.‎ 因此2A-=,解得A=,故选C.‎ ‎7.若三点A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共线,则实数a的值为________.‎ 答案 - 解析 =(a-1,3),=(-3,4),‎ 根据题意知∥,‎ ‎∴4(a-1)=3×(-3),‎ 即4a=-5,∴a=-.‎ ‎8.设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为________.‎ 答案 (-4,-2)‎ 解析 ∵b=(2,1),且a与b的方向相反,‎ ‎∴设a=(2λ,λ)(λ<0).‎ ‎∵|a|=2,‎ ‎∴4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2.‎ ‎∴a=(-4,-2).‎ ‎9.(2018·全国Ⅲ)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=________.‎ 答案  解析 由题意得2a+b=(4,2),‎ 因为c∥(2a+b),‎ 所以4λ=2,得λ=.‎ ‎10.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________.‎ 答案  k≠1‎ 解析 若点A,B,C能构成三角形,‎ 则向量,不共线.‎ ‎∵=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),‎ =-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),‎ ‎∴1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.‎ ‎11.已知a=(1,0),b=(2,1),‎ ‎(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线;‎ ‎(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.‎ 解 (1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),‎ a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).‎ ‎∵ka-b与a+2b共线,‎ ‎∴2(k-2)-(-1)×5=0,‎ 即2k-4+5=0,得k=-.‎ ‎(2)方法一 =2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),‎ =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),‎ ‎∵A,B,C三点共线,‎ ‎∴∥,‎ ‎∴8m-3(2m+1)=0,‎ 即2m-3=0,‎ ‎∴m=.‎ 方法二 ∵A,B,C三点共线,‎ ‎∴=λ,‎ 即2a+3b=λ(a+mb),‎ ‎∴解得m=.‎ ‎12.如图,已知平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.‎ 解 方法一 以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 则A(1,0),B,‎ C(3,).‎ 由=λ+μ,‎ 得解得 所以λ+μ=6.‎ 方法二 如图,作平行四边形OB1CA1,‎ 则=+,‎ 因为与的夹角为120°,与的夹角为30°,‎ 所以∠B1OC=90°.‎ 在Rt△OB1C中,∠OCB1=30°,||=2,‎ 所以||=2,||=4,‎ 所以||=||=4,‎ 所以=4+2,‎ 所以λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.‎ ‎13.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD,若点P为CD的中点,且=λ+μ,则λ+μ等于(  )‎ A.3 B. C.2 D.1‎ 答案 B 解析 由题意,设正方形的边长为1,建立平面直角坐标系如图,‎ 则B(1,0),E(-1,1),‎ ‎∴=(1,0),‎ =(-1,1),‎ ‎∵=λ+μ=(λ-μ,μ),‎ 又∵P为CD的中点,‎ ‎∴=,∴ ‎∴λ=,μ=1,‎ ‎∴λ+μ=.‎ ‎‎ ‎14.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(  )‎ A.3 B.2 C. D.2‎ 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 则C点坐标为(2,1).‎ 设BD与圆C切于点E,连接CE,则CE⊥BD.‎ ‎∵CD=1,BC=2,‎ ‎∴BD==,‎ EC===,‎ 即圆C的半径为,‎ ‎∴P点的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=.‎ 设P(x0,y0),则(θ为参数),‎ 而=(x0,y0),=(0,1),=(2,0).‎ ‎∵=λ+μ=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),‎ ‎∴μ=x0=1+cos θ,λ=y0=1+sin θ.‎ 两式相加,得 λ+μ=1+sin θ+1+cos θ ‎=2+sin(θ+φ)≤3,‎ 当且仅当θ=+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值3.‎ 故选A.‎ ‎‎ ‎15.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=2,AB=4,E,F分别为AB,BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是(  )‎ A.[-,1] B.[-,]‎ C. D. 答案 C 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 则A(0,0),E(2,0),‎ D(0,2),F(3,1),‎ P(cos α,sin α),‎ 即=(cos α,sin α),=(-2,2),=(3,1).‎ ‎∵=λ+μ,‎ ‎∴(cos α,sin α)=λ(-2,2)+μ(3,1),‎ ‎∴cos α=-2λ+3μ,sin α=2λ+μ,‎ ‎∴λ=(3sin α-cos α),μ=(cos α+sin α),‎ ‎∴2λ-μ=sin α-cos α=sin.‎ ‎∵-≤α≤,‎ ‎∴-≤α-≤.‎ ‎∴-≤sin≤.‎ ‎‎ ‎16.如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心在线段CD(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点,设向量=m+n(m,n为实数),求m+n的最大值.‎ 解 如图所示,‎ ‎①设点O为正六边形的中心,则=+.‎ 当动圆Q的圆心经过点C时,与边BC交于点P,点P为边BC的中点.连接OP,‎ 则=+,‎ ‎∵与共线,‎ ‎∴存在实数t,使得=t,‎ ‎∴此时m+n=1+t+1-t=2,取得最小值.‎ ‎②当动圆Q的圆心经过点D时,‎ 取AD的延长线与圆Q的交点P时,‎ ===+,‎ 此时m+n=5取得最大值.‎
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