【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版5-2平面向量基本定理及坐标表示学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版5-2平面向量基本定理及坐标表示学案

‎§5.2　平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解平面向量基本定理及其意义.‎ ‎2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.‎ ‎4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.‎ ‎1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.‎ ‎2.平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.‎ ‎3.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.‎ 概念方法微思考 ‎1.若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？‎ 提示　不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的 夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样.‎ ‎2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？‎ 提示　不一定.当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量.‎ 题组一　思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.(　×　)‎ ‎(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)‎ ‎(3)在等边三角形ABC中，向量与的夹角为60°.(　×　)‎ ‎(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　)‎ ‎(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(　√　)‎ ‎(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________.‎ 答案　(1,5)‎ 解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，‎ 即解得 ‎3.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.‎ 答案　－ 解析　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，‎ 得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1).‎ 由ma＋nb与a－2b共线，‎ 得＝，所以＝－.‎ 题组三　易错自纠 ‎4.设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.‎ 答案　0‎ ‎5.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.‎ 答案　(－7，－4)‎ 解析　根据题意得＝(3,1)，‎ ‎∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4).‎ ‎6.已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ 答案　－6‎ 解析　因为a∥b，‎ 所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.‎ 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.‎ ‎(1)用a和b表示向量，；‎ ‎(2)若＝λ，求实数λ的值.‎ 解　(1)由题意知，A是BC的中点，‎ 且＝，由平行四边形法则，‎ 得＋＝2，‎ 所以＝2－＝2a－b，‎ ＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.‎ ‎(2)由题意知，∥，故设＝x.‎ 因为＝－＝(2a－b)－λa ‎＝(2－λ)a－b，＝2a－b.‎ 所以(2－λ)a－b＝x.‎ 因为a与b不共线，由平面向量基本定理，‎ 得解得 故λ＝.‎ 思维升华 应用平面向量基本定理的注意事项 ‎(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.‎ ‎(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.‎ ‎(3)强化平行向量基本定理的应用.‎ 跟踪训练1　在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________.‎ 答案　 解析　∵＝＋，‎ ‎∴3＝2＋，‎ 即2－2＝－，‎ ‎∴2＝，‎ 即P为AB的一个三等分点，如图所示.‎ ‎∵A，M，Q三点共线，‎ ‎∴＝x＋(1－x) ‎＝＋(x－1)，‎ 而＝－，∴＝＋.‎ 又＝－＝－＋，‎ 由已知＝t，可得 ＋＝t，‎ 又，不共线，‎ ‎∴解得t＝.‎ 题型二　平面向量的坐标运算 例2　(1)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)‎ A.(2,0) B.(－3,6)‎ C.(6,2) D.(－2,0)‎ 答案　A 解析　设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，‎ ‎∴x＝2，y＝0.‎ ‎(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).‎ ‎∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，‎ ‎∴解得 ‎∴m＋n＝－2.‎ 思维升华 平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.‎ ‎(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解.‎ 跟踪训练2 线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使||＝2||，则x＋y＝________.‎ 答案　－2或6‎ 解析　由已知得＝(1－x，－4)，2＝2(3,1－y).‎ 由||＝2||，可得＝±2，‎ 则当＝2时，有 解得此时x＋y＝－2；‎ 当＝－2时，有 解得此时x＋y＝6.‎ 综上可知，x＋y＝－2或6.‎ 题型三　向量共线的坐标表示 命题点1　利用向量共线求向量或点的坐标 例3　已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.‎ 答案　(3,3)‎ 解析　方法一　由O，P，B三点共线，‎ 可设＝λ＝(4λ，4λ)，‎ 则＝－＝(4λ－4,4λ).‎ 又＝－＝(－2,6)，‎ 由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，‎ 解得λ＝，所以＝＝(3,3)，‎ 所以点P的坐标为(3,3).‎ 方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，‎ 因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，‎ 即x＝y.‎ 又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，‎ 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，‎ 所以点P的坐标为(3,3).‎ 命题点2　利用向量共线求参数 例4　(2018·乌海模拟)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为(　　)‎ A.－ B. C.2 D. 答案　B 解析　因为a＝(2，－1)，b＝(1,1)，‎ 所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，‎ 又c＝(－5,1)，‎ 由(a＋kb)∥c 得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝，故选B.‎ 思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 ‎(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”.‎ ‎(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).‎ 跟踪训练3 (1)已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，则m的值是(　　)‎ A.－4 B.1 C.0 D.－2‎ 答案　A 解析　a＋2b＝(4，m－4)，‎ 由a∥(a＋2b)，‎ 得2(m－4)＝4m，m＝－4，故选A.‎ ‎(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是________.‎ 答案　－ 解析　＝－＝(4－k，－7)，‎ ＝－＝(－2k，－2).‎ ‎∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴，共线，‎ ‎∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，‎ 解得k＝－.‎ ‎1.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)‎ A.(－8,1) B. C. D.(8，－1)‎ 答案　B 解析　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2).‎ 而＝(－8,1)＝，‎ ‎∴解得 ‎∴P.故选B.‎ ‎2.若向量＝＝(2,0)，＝(1,1)，则＋等于(　　)‎ A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3)‎ 答案　B 解析　＝＋＝(3,1)，‎ 又＝－＝(－1,1)，‎ 则＝＋＝(1,1)，‎ 所以＋＝(4,2).故选B.‎ ‎3.(2018·赤峰质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，t)，且a∥b，则|a＋b|等于(　　)‎ A. B. C. D.5‎ 答案　B 解析　根据题意可得1×t＝2×(－2)，可得t＝－4，‎ 所以a＋b＝(－1，－2)，‎ 从而可求得|a＋b|＝＝，故选B.‎ ‎4.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，2) B.(2，＋∞)‎ C.(－∞，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞)‎ 答案　D 解析　由题意知向量a，b不共线，‎ 故2m≠3m－2，即m≠2.‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A.2 B. C.2 D.4 答案　A 解析　因为|OC|＝2，∠AOC＝，‎ 所以C(，)，‎ 又＝λ＋μ，‎ 所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，‎ 所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.‎ ‎6.(2019·呼伦贝尔期中)已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　∵m∥n，‎ ‎∴sin A(sin A＋cos A)－＝0，‎ ‎∴2sin2A＋2sin Acos A＝3，‎ ‎∴1－cos 2A＋sin 2A＝3，‎ ‎∴sin＝1，‎ ‎∵A∈(0，π)，‎ ‎∴2A－∈.‎ 因此2A－＝，解得A＝，故选C.‎ ‎7.若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________.‎ 答案　－ 解析　＝(a－1,3)，＝(－3,4)，‎ 根据题意知∥，‎ ‎∴4(a－1)＝3×(－3)，‎ 即4a＝－5，∴a＝－.‎ ‎8.设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________.‎ 答案　(－4，－2)‎ 解析　∵b＝(2,1)，且a与b的方向相反，‎ ‎∴设a＝(2λ，λ)(λ<0).‎ ‎∵|a|＝2，‎ ‎∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.‎ ‎∴a＝(－4，－2).‎ ‎9.(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.‎ 答案　 解析　由题意得2a＋b＝(4,2)，‎ 因为c∥(2a＋b)，‎ 所以4λ＝2，得λ＝.‎ ‎10.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________.‎ 答案　 k≠1‎ 解析　若点A，B，C能构成三角形，‎ 则向量，不共线.‎ ‎∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，‎ ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，‎ ‎∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.‎ ‎11.已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，‎ ‎(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；‎ ‎(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.‎ 解　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，‎ a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2).‎ ‎∵ka－b与a＋2b共线，‎ ‎∴2(k－2)－(－1)×5＝0，‎ 即2k－4＋5＝0，得k＝－.‎ ‎(2)方法一　＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，‎ ＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，‎ ‎∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴∥，‎ ‎∴8m－3(2m＋1)＝0，‎ 即2m－3＝0，‎ ‎∴m＝.‎ 方法二　∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴＝λ，‎ 即2a＋3b＝λ(a＋mb)，‎ ‎∴解得m＝.‎ ‎12.如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.‎ 解　方法一　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则A(1,0)，B，‎ C(3，).‎ 由＝λ＋μ，‎ 得解得 所以λ＋μ＝6.‎ 方法二　如图，作平行四边形OB1CA1，‎ 则＝＋，‎ 因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，‎ 所以∠B1OC＝90°.‎ 在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2，‎ 所以||＝2，||＝4，‎ 所以||＝||＝4，‎ 所以＝4＋2，‎ 所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.‎ ‎13.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A.3 B. C.2 D.1‎ 答案　B 解析　由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，‎ 则B(1,0)，E(－1,1)，‎ ‎∴＝(1,0)，‎ ＝(－1,1)，‎ ‎∵＝λ＋μ＝(λ－μ，μ)，‎ 又∵P为CD的中点，‎ ‎∴＝，∴ ‎∴λ＝，μ＝1，‎ ‎∴λ＋μ＝.‎ ‎‎ ‎14.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)‎ A.3 B.2 C. D.2‎ 答案　A 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则C点坐标为(2,1).‎ 设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.‎ ‎∵CD＝1，BC＝2，‎ ‎∴BD＝＝，‎ EC＝＝＝，‎ 即圆C的半径为，‎ ‎∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.‎ 设P(x0，y0)，则(θ为参数)，‎ 而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0).‎ ‎∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，‎ ‎∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.‎ 两式相加，得 λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ ‎＝2＋sin(θ＋φ)≤3，‎ 当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.‎ 故选A.‎ ‎‎ ‎15.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示).若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是(　　)‎ A.[－，1] B.[－，]‎ C. D. 答案　C 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则A(0,0)，E(2,0)，‎ D(0,2)，F(3,1)，‎ P(cos α，sin α)，‎ 即＝(cos α，sin α)，＝(－2,2)，＝(3,1).‎ ‎∵＝λ＋μ，‎ ‎∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)，‎ ‎∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，‎ ‎∴λ＝(3sin α－cos α)，μ＝(cos α＋sin α)，‎ ‎∴2λ－μ＝sin α－cos α＝sin.‎ ‎∵－≤α≤，‎ ‎∴－≤α－≤.‎ ‎∴－≤sin≤.‎ ‎‎ ‎16.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量＝m＋n(m，n为实数)，求m＋n的最大值.‎ 解　如图所示，‎ ‎①设点O为正六边形的中心，则＝＋.‎ 当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点.连接OP，‎ 则＝＋，‎ ‎∵与共线，‎ ‎∴存在实数t，使得＝t，‎ ‎∴此时m＋n＝1＋t＋1－t＝2，取得最小值.‎ ‎②当动圆Q的圆心经过点D时，‎ 取AD的延长线与圆Q的交点P时，‎ ＝＝＝＋，‎ 此时m＋n＝5取得最大值.‎