【数学】2020届一轮复习人教B版 函数的单调性、奇偶性与周期性学案
考查角度1 函数的单调性、奇偶性与周期性
分类透析一 确定函数的单调性(区间)
例1 函数y=lo(-x2+x+6)的单调递增区间为( ).
A. B.
C.(-2,3) D.
解析 由-x2+x+6>0,得-2
f(3)
C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3)
(2)函数f(x)=的最大值为 .
(3)已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是 .
解析 (1)依题意得f(3)=f(1),且-1<0<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得f(-1)f(a),得2-a2>a,解得-2f(-),则a的取值范围是 .
解析 ∵f(x)在R上是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,
∴f(x)在(-∞,0)上是减函数.
∵f(-2a)>f(-),
∴-2a<-,∴2a>,
又y=2x是增函数,∴a>.
答案
3.(2017年天津卷,文6改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( ).
A.a时,f=f.则f(8)=( ).
A.-2 B.-1 C.0 D.2
解析 当x>时,由f=f,得f(x)=f(x+1),∴f(8)=f(1).
又由题意知f(1)=f(-1),且f(-1)=(-1)3-1=-2.因此f(8)=f(-1)=-2.
答案 A
1.(2018年天津市南开中学高三模拟考试)已知a=0.30.3,b=1.20.3,c=log1.20.3,则a,b,c的大小关系为( ).
A.c1,
c=log1.20.3<0,
所以c0,∴f(-ln 5)=-f(ln 5)=-(eln 5-1)=-4,选B.
答案 B
4.(辽宁省2018届高考三模试卷)已知函数f(x)=log2,若f(a)=,则f(-a)的值为( ).
A. B.- C.1 D.-1
解析 ∵f(x)=log2,
∴f(-x)=log2,
∴f(x)+f(-x)=0,
∴f(a)+f(-a)=0,∴f(-a)=-.
答案 B
5.(河北省衡水中学2018届高三第三次摸底)已知f(x)=-是定义在R上的奇函数,则f(a)的值为( ).
A. B.
C. D.
解析 因为f(x)=-是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=-=0,得a=3,
所以f(x)=-.
所以f(a)=f(3)=-=.故选A.
答案 A
6.(2018年石景山区高三统一测试)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递减的是( ).
A.y= B.y=-x3
C. y=lox D.y=x+
解析 由题意得,函数y=和函数y=lox都是非奇非偶函数,排除A、C.
又函数y=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,排除D.故选B.
答案 B
7.(2018年山西省第一模拟考试)已知函数f(x)=x+sin x,若a=f(3),b=f(2),c=f(log26),则a,b,c的大小关系是( ).
A.a-f(-),则a的取值范围是( ).
A.(,+∞) B.(1,)
C.(0,) D.(-∞,)
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,
∴f(x)在R上为增函数,
∵不等式f()>-f(-),∴f()>f(),
∴>=,∴log3a>=log3,
即a>=.
即a的取值范围是(,+∞).
答案 A
10.(广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研)已知函数f(x)是[2-m,2m-6](m∈R)上的偶函数,且f(x)在[2-m,0]上单调递减,则f(x)的解析式不可能为( ).
A.f(x)=x2+m B.f(x)=-m|x|
C.f(x)=xm D.f(x)=logm(|x|+1)
解析 由函数f(x)是[2-m,2m-6](m∈R)上的偶函数,
可得2-m+2m-6=0,解得m=4,
即f(x)是[-2,2]上的偶函数,且f(x)在[-2,0]上单调递减.
对于A,f(x)=x2+4,为偶函数,且在[-2,0]上单调递减;
对于B, f(x)=-4|x| ,为偶函数,且在[-2,0]上单调递增;
对于C, f(x)=x4,为偶函数,且在[-2,0]上单调递减;
对于D, f(x)=log4(|x|+1)为偶函数,且在[-2,0]上单调递减.
故选B.
答案 B
11.(海南省2018届高三阶段性测试(二模))已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=f(12-x),当x∈[0,6]时, f(x)=log6(x+1),若f(a)=1(a∈[0,2020]),则a的最大值是( ).
A.2018 B. 2010 C. 2020 D.2011
解析 由函数f(x)是定义在R上的偶函数, f(x)=f(12-x),可得f(-x)=f(12+x),
即f(x)=f(12+x),故函数的周期为12.
令log6(a+1)=1,解得a=5,
∴在[0,12]上,f(a)=1的解为a=5或a=7.
又2020=12×168+4,作出函数图象(图略)可知,
a的最大值在[2004,2016]上,即2004+7=2011.
答案 D
12.(2018届郑州高三第二次模拟考试)函数f(x)=log3(8x+1)的值域为 .
解析 由指数函数的性质可知8x>0,∴8x+1>1,
据此可知f(x)=log3(8x+1)>0,
故函数f(x)的值域为(0,+∞).
答案 (0,+∞)
13.(2018届上海市崇明区二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是 .
解析 设x∈[-1,0],则-x∈[0,1],
结合题意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1).
又设x∈[1,2],则x-2∈[-1,0],
故f(x)=f(x-2)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x).
综上可得,函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x).
答案 f(x)=log2(3-x)
14.(淮南市2018届高三第二次模拟考试)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=,当x∈[0,2)时f(x)=x+ex,则f(2018)= .
解析 ∵定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=,
∴f(x+4)==f(x),
∴函数f(x)的周期为4,
当x∈[0,2)时,f(x)=x+ex,
∴f(2018)=f(504×4+2)=f(2)==1.
答案 1
15.(广西2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试)若函数f(x)=是在R上的减函数,则a的取值范围是 .
解析 由题意可得 则-6≤a<1.
答案 [-6,1)
16.(福州三中高三5月模拟)定义:对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),称f(x)为“局部奇函数”.若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是 .
解析 ∵f(x)为“局部奇函数”,
∴存在实数x满足f(-x)=-f(x),
即4-x-2m×2-x+m2-3=-4x+2m×2x-m2+3,
即4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0,
令t=2x(t>0),
则+t2-2m+2m2-6=0,
即-2m+2m2-8=0在t∈(0,+∞)上有解,
再令h=+t(h≥2),则g(h)=h2-2mh+2m2-8=0在h∈[2,+∞)上有解,Δ=(-2m)2-4(2m2-8)≥0,解得-2≤m<2;
函数g(h)图象的对称轴为直线h=m,
①当m≥2时,0≥g(m),∴g(m)=m2-2m2+2m2-8≤0,解得2≤m≤2;
②当m<2时,0≥g(2),∴g(2)=4-4m+2m2-8≤0,解得1-≤m<2.
综合①②,可知1-≤m≤2.
答案 [1-,2]