福建省漳平市第一中学2020届高三上学期月考试题数学（文）试题

福建省漳平市第一中学2020届高三上学期月考试题数学（文）试题

漳平一中2019-2020学年第一学期第二次月考高三数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题．每题仅有一个选项是正确的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式求出集合，，再利用交集的定义求出．‎ ‎【详解】解：∵，∴，∴，‎ 又，∴，又，∴，‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算与一元二次不等式和根式不等式的解法，属于基础题．‎ ‎2.已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点，则该双曲线的虚轴长为　　‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦点可得，结合渐近线方程中的关系；联立可得、的值，从而可得答案．‎ ‎【详解】因为双曲线的渐近线方程为，一个焦点，‎ 所以，‎ ‎， ‎ 联立、可得：，，，‎ 该双曲线的虚轴长2，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线方程，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎3.若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法的运算法则：复数，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得，即可判断出．‎ ‎【详解】解：由题意有，，‎ 由于复数在复平面内对应的点在第三象限，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的充要条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件，属于基础题．‎ ‎4.已知实数x，y满足，则的最大值为（）‎ A. 0 B. 2 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出不等式组表示的平面区域，在利用平移直线法求出的最大值即可．‎ ‎【详解】由题意画出不等式表示的平面区域，如图，易求得在点处取得最大值2．选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的概念及线性目标函数最值问题，属基础题．‎ ‎5.如图所示的流程图中，输出的含义是（ ）‎ A. 点到直线的距离 B. 点到直线的距离的平方 C. 点到直线的距离的倒数 D. 两条平行线间距离 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入 中,结合点到直线的距离公式可得.‎ ‎【详解】因为,,‎ 所以,故的含义是表示点到直线的距离.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图以及点到直线的距离公式,属基础题.‎ ‎6.设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ）‎ A. B. 4 C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，又，两式相除即可解出．‎ ‎【详解】解：由得，‎ 又，‎ ‎∴，∴，或，‎ 又正项等比数列得，‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．‎ ‎7.函数的图象大致为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先验证函数是否满足奇偶性，由f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数f（x）为偶函数，，排除B,D ，再由函数的特殊值确定答案．‎ ‎【详解】令f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C，A项满足.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．‎ ‎8.直线截圆所得劣弧所对圆心角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先写出圆心和半径，再根据几何法求出弦长，然后根据余弦定理求出圆心角．‎ ‎【详解】由题意有，该圆圆心为，半径为2，‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎∴弦长，‎ 由余弦定理得圆心角的余弦值，‎ ‎∴圆心角．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长公式以及余弦定理，属于基础题．‎ ‎9.已知等腰梯形中，，，分别为，的中点，为的中点，若记，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由梯形中位线的性质得出，再利用向量加法的三角形法则得出，并将、用基向量、表示代入即可．‎ ‎【详解】等腰梯形中，，，分别为，的中点，为的中点，‎ ‎，，，，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的基本定理、平面向量加减的混合运算，在求解基底分解的问题时，可充分利用向量加法或减法的三角形法则，将问题涉及的向量利用位移来理解，属于中等题．‎ ‎10.已知是奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的解析式判断得出在上单调递增，由奇函数的性质得出在上也单调递增，画出的大致图象，再根据单调性解不等式即可．‎ ‎【详解】解：∵当时，，‎ ‎∴在上单调递增，且，‎ 由是奇函数得在上单调递增，且，‎ 画出函数的大致图象，‎ 由图可知，由得，或 ‎∴或，‎ ‎∴不等式的解集为或，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查奇函数的图象与性质，考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题．‎ ‎11.已知函数在上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到的范围，根据恰有一个最大值和最小值，利用图象的特点分析的范围，然后求解出的范围即可.‎ ‎【详解】因，所以，‎ 因为图象如下图：‎ 因为恰有一个最大值和一个最小值，所以，‎ 解得：，即.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】已知正弦型函数在给定区间上的最值的个数，可考虑将看做一个整体，然后作出的图象分析最值的个数分布情况，由此得到关于的不等式，即可求解出的范围.‎ ‎12.若曲线C1：y＝ax2(x>0)与曲线C2：y＝ex存在公共点，则实数a的取值范围为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】根据题意，函数（）与函数在上有公共点，由得：，设，则，由得：，当时，，函数在区间上是减函数，当时，，函数在区间上是增函数，所以当时，函数在上有最小值，所以，即的取值范围是，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，属于中档题；由题意可得，有解，运用参数分离，再令，求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求范围.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：本大题共4小题，把答案填在答题卷的相应位置．‎ ‎13.已知，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角的三角函数关系先求出，再用二倍角公式求出、，最后再利用余弦的和角公式求．‎ ‎【详解】解：∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查同角的三角函数关系、二倍角公式以及余弦的和角公式，属于基础题．‎ ‎14.已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若且，则C的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，，根据勾股定理即可求出离心率．‎ ‎【详解】由椭圆的定义有，，‎ 又，则，，‎ 又，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴离心率．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，同时考查平面向量的数量积及勾股定理，属于基础题．‎ ‎15.已知数列的前项和为，其首项，且满足，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式，化简即可得出 与的递推关系，再利用类乘法计算出数列的通项公式．‎ ‎【详解】当n=1时恒成立 当时 ‎ 所以 ‎ 当n=1时满足 所以 故填 ‎【点睛】本题考查已知数列与的关系，求通项公式，掌握理解公式是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎16.已知四棱锥的底面为矩形，平面平面于点，则四棱锥外接球的半径为____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 由已知，设三角形外接圆圆心为，由正弦定理可求出三角形PBC外接圆半径为,F为BC边中点,求出, 设四棱锥的外接球球心为O,外接球半径的平方为,所以四棱锥外接球半径为2.  ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题： ‎ ‎17.设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若，求三角形ABC面积S的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理边化角，再利用三角形内角和消去B，再化简求值；‎ ‎（2）利用余弦定理得，再根据基本不等式即可求出，再根据面积公式求出最大值．‎ ‎【详解】（1）由正弦定理：可化为，‎ 即，‎ 即，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 因为，所以；‎ ‎（2）由余弦定理得，‎ 即，‎ 所以，所以，‎ 所以△ABC面积.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，属于中档题．‎ ‎18.已知为公差不为的等差数列，，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设出公差，利用已知条件列方程解出公差即可.‎ ‎(2)得到的通项公式，可由分组求和法求前项和.‎ ‎【详解】（1）成等比数列，所以 即，即.‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）由题意得：，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基本问题，考查分组求和法.若且数列的前项和易求，则可以利用分组求和法求数列的前项和.‎ ‎19.如图，在三棱柱中，，顶点在底面ABC上的射影恰为AC的中点M，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若点P为的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由在底面ABC上的射影为M可证，再证平面，从而所以；‎ ‎（2）由P是的中点得，代入求值即可．‎ ‎【详解】（1）证明：因为顶点在底面ABC上的射影恰为AC的中点M，‎ 所以平面ABC，‎ 又平面ABC，所以，‎ 又因为，‎ 而，且，‎ 所以平面，又因为，‎ 所以；‎ ‎（2）解：如图，因为P是的中点，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥的体积，属于中档题．‎ ‎20.已知抛物线P：的焦点为F，经过点作直线与抛物线P相交于A，B两点，设，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）是否存在常数a，当点M在抛物线P上运动时，直线都与以MF为直径的圆相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，由韦达定理即可得出结论；‎ ‎（2）设点，求出以MF为直径的圆的圆心与半径，根据直线与圆相切得圆心到切线的距离等于半径得对恒成立，从而求出a的值．‎ ‎【详解】（1）法一：依题意过点的直线可设为，‎ 由，得，‎ 设，，则，‎ ‎∴；‎ ‎（2）存．‎ ‎∵F是抛物线P的焦点，∴．‎ 设，则MF的中点为，．‎ ‎∵直线与以MF为直径的圆相切的充要条件是到直线的距离等于，即，‎ ‎∴．‎ ‎∵对于抛物线P上的任意一点M，直线都与以MF为直径的圆相切，‎ ‎∴关于x的方程对任意的都要成立．‎ ‎∴解得．‎ ‎∴存在常数a，并且仅有满足“当点M在抛物线P上运动时，直线都与以MF为直径的圆相切”．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，属于中档题．‎ ‎21.已知函数，（，）．‎ ‎（1）若，求的极值和单调区间；‎ ‎（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）有极小值1，函数的单调减区间为，单调增区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出函数解析式，求导，得当x变化时，，的变化情况表，从而求出极值与单调区间；‎ ‎（2）将存在性问题转化为最值问题，得在区间上的最小值小于0，分类讨论，根据导数判断函数的单调性，求出最小值，再求参数的范围．‎ ‎【详解】（1）∵，∴（），∴‎ 令，得 当x变化时，，的变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 ‎∴当时，函数有极小值1；‎ 函数的单调减区间为，单调增区间为；‎ ‎（2）若在区间上至少存在一点，使成立，‎ 即在区间上的最小值小于0，‎ ‎，（）令，得 ‎①当时，‎ ‎∴函数在区间上单调递减 ‎∴函数在区间上的最小值为 ‎∴由得，即 ‎②当时，‎ ‎（ⅰ）当即时，‎ ‎∴函数在区间上单调递减 ‎∴函数在区间上的最小值为 显然，这与在区间上的最小值小于0不符 ‎（ⅱ）当即时 当x变化时，，的变化情况如下表：‎ x ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 ‎∴函数在区间上的最小值为 ‎∴由，得，即 ‎∴综上述，实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的导数求函数的极值、单调性、最值，综合性较强，属于中档题．‎ ‎（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数，），曲线C的极坐标方程为：．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，若，求直线l的斜率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由，，即可求出曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）把代入，整理得 ‎，得韦达定理的结论，求出弦长，求出倾斜角，再求斜率．‎ ‎【详解】（1）∵，∴，‎ 由，，得．‎ 所以曲线C的直角坐标方程为．‎ ‎（2）把代入，整理得 设其两根分别为，，则，‎ ‎∴‎ 得，或，‎ 所以直线l的斜率为．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的极坐标方程化直角坐标方程，考查直线的参数方程的参数t的几何意义，属于基础题．‎ ‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对去绝对值符号，然后分别解不等式即可 ‎（2）不等式有解，则只需，求出的最小值，然后解不等式即可.‎ ‎【详解】（1）由已知得 当时， ‎ 当时， ‎ 当时，舍 综上得的解集为 ‎（2）‎ 有解 ‎，‎ 或 的取值范围是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目.‎ ‎ ‎