2017-2018学年河北省定州中学高二（承智班）上学期期末数学试题（解析版）

2017-2018学年河北省定州中学高二（承智班）上学期期末数学试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省定州中学高二（承智班）上学期期末数学试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1. 给出下列三个命题：‎ ‎；‎ 或是“”的必要不充分条件；‎ 若，则；‎ 那么，下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以命题为假命题。‎ 易知或不能推出“”，但“”能推出或，故为真命题。‎ 由得且，所以，所以为真命题。‎ 因此为真命题。选C。‎ ‎2. 命题“， ”的否定是（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】命题“，”的否定是，‎ 选D.‎ ‎3. 用， ，…， ‎ 表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87，执行如图所示的程序框图，若分别输入的10个值，则输出的的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据程序框图可知程序框图中的n记录输入的数据中大于等于80分的学生的人数，在给出的10个数据中，大于等于80的数据的个数为7个，故输出的值为。选C。‎ ‎4. 连接双曲线和（其中）的四个顶点的四边形面积为，连接四个焦点的四边形的面积为，则的最小值为（ ）‎ A. B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】四个顶点坐标分别为，连接四个顶点的四边形由四个直角三角形组成，所以。四个焦点为，其中 ，连接四个焦点的四边形由四个直角三角形组成，所以，所以由基本不等式可得，当且仅当时，上式取等号。故选B。 ‎ ‎5. 在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得， ，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是，故选D.‎ ‎6. 设曲线上任一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的解析式可得 则.‎ 该函数为奇函数,选项BC错误；‎ 且当时，，选项A错误；‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎7. 已知双曲线离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】因为一条渐近线方程为，又离心率为，所以，所以渐近线方程为，由知圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故选C.‎ ‎ ‎ ‎8. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）‎ A. 为的极大值点 ‎ B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】由图得 ‎ 所以 因此为的极小值点,选D ‎9. 、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】延长交延长线于N,则 ‎ 选A 点睛：涉及两焦点问题，往往利用椭圆定义进行转化研究，而角平分线性质可转化到焦半径问题，两者切入点为椭圆定义.‎ ‎10. 若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意结合对数的运算法则有：，‎ 由对数函数的单调性有：，‎ 整理可得：，由恒成立的条件有：，‎ 其中，当且仅当时等号成立.‎ 即时，函数取得最小值.‎ 综上可得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎11. 直线与抛物线相交于两点，抛物线的焦点为，设，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，若，‎ 则，，‎ 则，，‎ 故：，‎ 若，同理可得：.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎12. 已知定义在上的函数的导函数为，且， ，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意有，故，‎ 令，则函数是R上的单调递增函数，‎ 而,‎ 据此可得选A.‎ 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）‎ ‎13. 某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表：‎ 由最小二乘法得到回归方程，则__________．‎ ‎【答案】68‎ ‎【解析】，‎ 所以，‎ 得。‎ ‎14. 已知定义在上的可导函数满足，不等式的解集为，则=__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】令 ‎ ‎ ‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 ‎15. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，则下列结论中正确结论的序号是__________．‎ ‎①；‎ ‎②直线与平面所成角的正弦值为定值；‎ ‎③当为定值，则三棱锥的体积为定值；‎ ‎④异面直线所成的角的余弦值为定值.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】连接，交于点.很明显平面，‎ 而平面，①正确；‎ 由AC⊥平面BB1D1D，得OE是AE在平面BB1D1D上的射影,所以∠AEO是直线AE与平面DBB1D1所成角,由于AE不是定值,所以②不正确;‎ 由于点B到直线B1D1的距离不变,故△BEF的面积为定值,又点A到平面BEF的距离为,故三棱锥E-ABF的体积为定值,故③正确;‎ 当E在D1,F在B1,此时异面直线AE,BF所成的角为,故④不正确;‎ 应填:①③.‎ ‎16. 已知函数的图象是曲线，若曲线不存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数f（x）=ex﹣mx+1的导数为f′（x）=ex﹣m，‎ 设切点为（s，t），即有切线的斜率为es﹣m，‎ 若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，‎ 则关于s的方程es﹣m=﹣无实数解，‎ 由于es＞0，即有m﹣≤0，‎ 解得m≤．‎ 故答案为：‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 某市拟兴建九座高架桥，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：‎ ‎（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有多少被抽取；‎ ‎（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在40岁以上的概率.‎ ‎【答案】（1）年龄在40岁以下（含40岁）的人有45人被抽取；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设在“支持”的群体中抽取个人，其中年龄在40岁以下（含40岁）的人被抽取人，得，得，则人，即可得到结论.‎ ‎（2）设所选的人中，有人年龄在40岁以下，求得，列举出从中任取人的所有基本事件的空间，找到其中至少有人在岁以上的基本事件个数，利用古典概型，即可求解概率.‎ 试题解析：‎ 解：（1）设在“支持”的群体中抽取个人，‎ 其中年龄在40岁以下（含40岁）的人被抽取人，‎ 由题意，得，则人.‎ 所以在“支持”的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有45人被抽取.‎ ‎（2）设所选的人中，有人年龄在40岁以下，则，.‎ 即从40岁以下（含40岁）抽取4人，40岁以上抽取2人；‎ 分别记作，则从中任取2人的所有基本事件为：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，共15个.‎ 其中至少有1人在40岁以上的基本事件有9个.‎ 分别是，，，，，，，，.‎ 所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在40岁以上的概率为.‎ ‎18. 已知； 函数有两个零点．‎ ‎(1)若为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若为真命题， 为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或 ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）若为假命题，则两个命题均为假命题，先求出为真时参数的范围再求补集即可；‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，则一真一假 试题解析：‎ 若为真，令，问题转化为求函数的最小值，‎ ‎，令，解得，‎ 函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 故，故．‎ 若为真，则，或 ．‎ ‎(1)若为假命题，则均为假命题，实数的取值范围为．‎ ‎(2)若为真命题，为假命题，则一真一假．‎ 若真假，则实数满足，即；‎ 若假真，则实数满足，即．‎ 综上所述，实数的取值范围为．‎ ‎19. 在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（）.‎ ‎（1）设为参数，若，求直线的参数方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于， ，设，且，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）直线的参数方程为（为参数）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）把直线的极坐标方程化为普通方程，把，代入上式即可求解直线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）由曲线的极坐标方程，得出曲线的直角坐标方程，将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，求得，，再由题设得，即可求解实数的值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）直线的极坐标方程为 所以，即，‎ 因为为参数，若，代入上式得，‎ 所以直线的参数方程为（为参数）；‎ ‎（Ⅱ）由（），得（），‎ 由，代入，得（）‎ 将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，‎ 得.（*）‎ ‎.‎ ‎，，‎ 设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.‎ 则，，，‎ 由题设得.‎ 则有，得或.‎ 因为，所以.‎ ‎20. 如图，已知四棱锥的底面为直角梯形， ， ，且， .‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）设，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）取，的中点，，连接，，，，可得，，故得平面，所以，又，所以平面，从而可得平面平面.（2）由（1）知两两垂直，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解即可。‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：如图，取，的中点，，连接，，，，‎ 则四边形为正方形，‎ ‎∴，∴.‎ 又，∴，‎ 又 ‎∴平面，‎ 又平面 ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）解：由（1）知两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∵，，‎ ‎∴.‎ 令，则，，，，‎ ‎∴，，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，得，取，得.‎ 又设平面的法向量为，‎ 由得，取，得，‎ ‎∴，‎ 由图形得二面角为锐角，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ 点睛：利用坐标法解决空间角问题的步骤及注意点 ‎（1）解题步骤：证明存在两两垂直的三条直线，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，根据向量的数量积求得两法向量夹角的余弦。‎ ‎（2）注意事项：解题时分清两法向量的夹角与二面角大小的关系，在求得法向量夹角余弦的基础上，要结合图形判断二面角为锐角还是钝角，最后得到结论。‎ ‎21. 已知椭圆： （）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点，且，直线： 与椭圆交于， 两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，，又，求得椭圆方程；（2）联立方程组，得到韦达定理，，所以所以，解得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）联立解得，故 又，，联立三式，解得，，，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，，联立方程消元得，‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ 又是一个与无关的常数，∴，即，‎ ‎∴，.∵，∴.‎ 当时，，直线与椭圆交于两点，满足题意.‎ ‎22. 已知函数（）.‎ ‎（1）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式写切线方程（2）先将不等式恒成立转化为函数最值：,再利用导数求函数最小值为；根据导函数零点， ，分类讨论，确定导函数符号，进而确定单调性，最后由单调性确定最值取法，解对应不等式可得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）依题意， ， ，故，‎ 又，故所求切线方程为，即； ‎ ‎（2）令，故函数的定义域为， ． ‎ 当变化时， ， 的变化情况如下表：‎ 单调减 单调增 单调减 因为， ，所以时，函数的最小值为； ‎ 因为． 因为，令得， ， ．‎ ‎（ⅰ）当，即时，在上，所以函数在上单调递增，所以函数．由得， ，所以． ‎ ‎（ⅱ）当，即时, 在上，在上，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，由得， ，所以． ‎ 综上所述，的取值范围是.‎ 点睛：对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即；，‎