2018-2019学年河南省豫南九校高二下学期第二次联考数学(理)试题 解析版

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2018-2019学年河南省豫南九校高二下学期第二次联考数学(理)试题 解析版

绝密★启用前 河南省豫南九校2018-2019学年高二下学期第二次联考数学(理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1.若是函数的导函数,则的值为( )‎ A.1 B.3 C.1或3 D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的导函数,然后求出函数值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导函数的求法,解题的关键是熟记基本初等函数的求导公式和求导法则,属于简单题.‎ ‎2.如果表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把方程写成椭圆的标准方程形式,得到形式,要想表示焦点在轴上的椭圆,必须要满足,解这个不等式就可求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 转化为椭圆的标准方程,得,因为表示焦点在轴上的椭圆,所以,解得.所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了焦点在轴上的椭圆的方程特征、解分式不等式。‎ ‎3.的一个必要不充分条件是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求解不等式,然后确定其必要不充分条件即可.‎ ‎【详解】‎ 求解不等式可得,‎ 结合所给的选项可知的一个必要不充分条件是.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解法,充分条件与必要条件的理解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4.函数的单调减区间是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出,令,解不等式即可。‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为,,‎ 由得,得,得,‎ 即函数的单调递减区间为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数求函数的单调区间知识,属于基础题。‎ ‎5.如图,在平行六面体中,为的中点,设,,,则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量的几何运算可得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据向量的三角形法则得到 ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量以及线性运算,属于基础题.‎ ‎6.在等差数列中,,则该数列前9项的和等于( )‎ A.15 B.18 C.21 D.27‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据微积分基本定理可求得,由等差数列的求和公式结合等差数列的性质可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ,‎ ‎,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查微积分基本定理的应用、等差数列的性质以及等差数列的求和公式,属于中档题. 解等差数列有关的问题时,一定要注意应用等差数列的性质()与前 项和的关系.‎ ‎7.下列有关命题的叙述错误的是( )‎ A.命题“,”的否定是“,”‎ B.命题“,则”的逆否命题为“若,则”‎ C.命题“,”是真命题 D.若“”为真命题,则命题、中至多有一个为真命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 命题“,”的否定是“,”,故A正确;“若,则”的逆否命题为:“若,则”,故B正确;因为的判别式,所以函数与轴有两个交点,即不可能恒成立,故C错误;因为“”为真命题,所以为假命题,所以、中至多有一个为真命题,故D正确.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题真假的判断、含有全称量词命题的否定和写出一个命题的逆否命题。‎ ‎8.已知抛物线的焦点为,直线与抛物线交于、(在 轴上方)两点,若,则实数的值为( )‎ A. B.3 C.2 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出抛物线的准线,设A、B在l上的射影分别是、,过B作于由抛物线的定义结合题中的数据,可算出中,得,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设A、B在l上的射影分别是、,‎ 过B作于由抛物线的定义可得出中,得,‎ ‎,解得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了抛物线的定义,考查了转化思想,是中档题.‎ ‎9.已知函数为上的可导函数,且,均有,则有( )‎ A.,‎ B.,‎ C.,‎ D.,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,.,根据,均有,可得函数的单调性,进而得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解:令,.‎ ‎,‎ ‎,均有,‎ 在上单调递增,‎ ‎,‎ 可得:,.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎10.已知函数,则不正确的选项是( )‎ A.在处取得极大值 B.在上有两个极值点 C.在处取得极小值 D.函数在上有三个不同的零点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导,让导函数为零,求解方程。然后利用函数的单调性,判断函数极值情况。‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,令,得或,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;当时,,函数递增。故函数在处取得极小值,在处取得极大值。 ‎ 方程有两个不相等的实根,故函数在上有两个不同的零点.根据以上得出的结论可以判断选项D说法不正确,故本题选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数的导数判断函数极值、单调性问题。‎ ‎11.已知双曲线的右焦点为,过作双曲线渐近线的垂线,垂足为,直线交双曲线右支于点,且为线段的中点,则该双曲线的离心率是( )‎ A.2 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得点的坐标,根据中点坐标公式求得点坐标,将点坐标代入双曲线方程,化简后求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由于双曲线焦点到渐近线的距离为,所以,所以,由于是的中点,故,代入双曲线方程并化简得,即,.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的几何性质,考查双曲线焦点到渐近线的距离,考查中点坐标公式,考查双曲线离心率的求法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.双曲线焦点到渐近线的距离是一个定值,这个要作为结论来记忆.要求双曲线的离心率,可从一个等式中得到,本题通过双曲线上一个点的坐标来得到一个等式,由此解出双曲线的离心率.‎ ‎12.已知函数,,方程在内有两个不同的实根,则的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把关于的方程在上有两个不同的解,转化为函数与的图象在有两个不同交点,利用导数求出函数在上的单调性及值域,数形结合得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为方程在内有两个不同的实根,所以在上有两个不同的实数解,即:在上有两个不同的实数解,令,所以,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 所以在上递减,在上递增,‎ ‎,,,‎ 要使在上有不同的实数解,则,解得:‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查转化思想,利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,是中档题.‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13.已知在处的切线方程为,则实数的值为_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导,通过已知可以求出切线方程的斜率,然后把代入导函数中,求出实数的值。‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,由题意有,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的导数的几何意义。‎ ‎14.在四棱柱中,底面,底面是正方形,,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意,建立坐标系,运用向量的数量积公式,计算夹角余弦值,即可。‎ ‎【详解】‎ 结合题意,绘制图形,建立坐标系,得到点的坐标分别为:‎ 故 ‎ ‎,所以 ‎【点睛】‎ 本道题考查了向量数量积公式,考查了异面直线所成角余弦值计算方法,难度中等。‎ ‎15.已知椭圆的左右顶点分别为,,点为椭圆上不同于,的一点,若直线与直线的斜率之积等于,则椭圆的离心率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出M坐标,由直线AM,BM的斜率之积为得一关系式,再由点M在椭圆上变形可得另一关系式,联立后结合a、b、c的关系求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆方程可知,A(﹣a,0),B(a,0),‎ 设M(x0,y0),∴,,‎ 则,整理得:,①‎ 又,得,‎ 即,②‎ 联立①②,得,即,解得e.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质及椭圆方程的应用,考查了数学转化思想方法,是中档题.‎ ‎16.已知函数的两个极值点分别在与内,则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导,让导函数为零。得到一个一元二次方程,根据两根分步情况,列出满足条件的不等式组,得到一个可行解域,令,通过平移函数的图象,最后确定的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,‎ 因为的两个极值点分别在区间与内,‎ 即的两个根分别在区间与内,‎ 则,令,则问题转化为在约束条件下,‎ 求的取值范围,可行域如下阴影(不包括边界),‎ ‎ ‎ 目标函数转化为,由图可知,在处取得最大值,‎ 在处取得最小值,因为可行域不包含边界,‎ ‎∴的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数极值问题、以及线性归划问题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17.如图,抛物线的顶点在原点,圆的圆心恰是抛物线的焦点.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)一条直线的斜率等于2,且过抛物线焦点,它依次截抛物线和圆于、、、四点,求的值.‎ ‎【答案】(1)圆的圆心坐标为,‎ 即抛物线的焦点为,……………………3分 ‎∴∴抛物线方程为……………………6分 ‎1. 由题意知直线AD的方程为…………………7分即代入得=0‎ 设,则,‎ ‎……………………11分 ‎∴‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标,进而可求出结果;‎ ‎(2)先由题意得出直线的方程,联立直线与抛物线方程,求出,再由为圆的直径,即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设抛物线方程为, ‎ 圆的圆心恰是抛物线的焦点,∴. ‎ 抛物线的方程为:; ‎ ‎(2)依题意直线的方程为 ‎ 设,,则,得, ‎ ‎,. ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的方程,以及直线与抛物线的位置关系;由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程;联立直线与抛物线方程,结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长,进而可求出结果,属于常考题型.‎ ‎18.已知函数,.‎ ‎(1)求函数图像过点的切线的方程;‎ ‎(2)求函数的图像与直线所围成的封闭图形的面积.‎ ‎【答案】(1) 切线方程为或(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设切点为,切线斜率,即可求得曲线在 点处的切线方程,把点代入解出即可;(2)联立函数与直线的方程,从而可得函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积:,利用微积分基本定理即可得出.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设切点为,切线斜率,所以曲线在点处的切线方程为,把点代入,得或,所以切线方程为或.‎ ‎(2)由或 所以所求的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求切线方程以及微积分定理,属于中档题. 应用导数的几何意义,一般过某一点求切线方程的步骤为:①设切点,求导并且表示在切点处的斜率;②根据点斜式写出切线方程;③将所过的点代入切线方程,求出切点坐标;④将切点代入切线方程,得到具体的表达式.‎ ‎19.已知命题:函数在上单调递减;命题:曲线为双曲线.‎ ‎(1)若“”为真命题,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若“” 为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)对函数求导,利用分离常数法求得命题中的取值范围,利用双曲线的标准方程的概念求得命题中的取值范围. 若“且”为真命题则均为真命题,求中两个的取值范围的交集,得到题目所求的取值范围.(II)若“或”为真命题,“且”为假命题,则一真一假,分别根据“真假”或者“假真”两类,结合(I)的数据,求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)若为真命题,在恒成立,即在恒成立,∵在的最大值是3, ①‎ 若为真命题,则,解得,②‎ 若“且”为真命题,即,均为真命题,所以,解得,‎ 综上所述,若“且”为真命题,则实数的取值范围为; ‎ ‎(Ⅱ)若“或”为真命题,“且”为假命题,即,一真一假,‎ 当真假时,,解得,‎ 当假真时,,解得,‎ 综上所述,实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有简单逻辑连接词命题真假性求参数,考查导数和双曲线的有关知识,属于中档题.‎ ‎20.如图,在直三棱柱中,是的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若是正三角形,且,求直线与平面所成角的正弦值。‎ ‎【答案】(1)见解析.(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)连接,设与的交点为,则为的中点,连接,通过证明可证到线面平行。(2)可求得,以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系.由空间向量求得线面角。‎ 试题解析:(1)连接,设与的交点为,则为的中点,连接,又是的中点,所以.又平面,平面,所以平面 ‎.‎ ‎(2)是的中点,是正三角形,则,,,‎ 设,则,以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系.‎ 则,,,,,, .‎ 设是平面的法向量,则,可取平面的法向量为,则 ‎ ,所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】空间向量在立体几何中的应用 ‎(1)两条异面直线所成角的求法:设两条异面直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,则cos φ=|cos θ|= (其中φ为异面直线a,b所成的角).‎ ‎(2)直线和平面所成的角的求法:如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=.‎ ‎(3)求二面角的大小:①如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=‎ ‎②如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ=〈n1,n2〉(或π-〈n1,n2〉).‎ ‎21.已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率为,点在椭圆上,且的面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知直线与椭圆交于不同的两点,若在轴上存在点,使得,求点的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)利用待定系数法求出椭圆方程;(2)联立方程组,利用根与系数的关系求出的中点的坐标,根据得出点横坐标的表达式,利用基本不等式得出的取值范围.‎ 试题解析:(1)由已知得,解得,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)设,的中点为,点,使得,‎ 则.‎ 由得,由,得.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵∴,即,‎ ‎∴.‎ 当时,(当且仅当,即时,取等号),‎ ‎∴;‎ 当时,(当且仅当,即时,取等号),‎ ‎∴,∴点的横坐标的取值范围为.‎ ‎22.已知函数在处的切线与直线平行.‎ ‎(1)求实数的值,并判断函数的单调性;‎ ‎(2)若函数有两个零点,且,求证:.‎ ‎【答案】(1)在上是单调递减;在上是单调递增. (2)详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由可得,利用导数可求的单调区间.‎ ‎(2)由可得,,令,则且,构建新函数,利用导数可以证明即.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数的定义域:,‎ ‎,解得,‎ ‎,‎ 令,解得,故在上是单调递减;‎ 令,解得,故在上是单调递增. ‎ ‎(2)由为函数的两个零点,得 两式相减,可得 ‎ 即,, ‎ 因此, ‎ 令,由,得.‎ 则, ‎ 构造函数, ‎ 则 所以函数在上单调递增,故,‎ 即,可知.故命题得证.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)一般地,若在区间上可导,且,则在上为单调增(减)函数;反之,若在区间上可导且为单调增(减)函数,则.‎ ‎(2)函数有两个不同的零点,考虑它们的和或积的性质时,我们可以通过设,再利用得到、‎ 与的关系式,最后利用导数证明所考虑的性质成立.‎
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