四川省达州市2020高三第一次模拟数（文）答案

四川省达州市2020高三第一次模拟数（文）答案

文科数学第 1 页,共 5 页 四川省达州市普通高中 2020 届第一次模拟考试 文科数学参考答案及评分参考 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再得分。 3．解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题不给中间分。 一、选择题： 1. D 2. B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8. A 9.D 10. B 11.C 12.A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．1 14． 3 15．      3 2 0或3 4 1 0x y x y 16．  4 3 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1)∵  12nnaa( *)Nn ， ∴  1 1 2nnaa ，………………………………………………………………2 分 ∵ 1 1a ， ∴数列{}na 是以1为首项，以 1 2 为公比的等比数列，………………………………3 分 所以， () 111 2 n na ，…………………………………………………………………5 分 即数列 的通项公式为  1 1 2n na ．…………………………………………………6 分 (2)∵ ， 1 n n bna ， ∴ 12n nbn，…………………………………………………………………………7 分 ∴    12nnS b b b ( ) ( )       0 1 12 2 2 1 2n n ( ) ( )   1 1 2 1 1 2 2 n nn……………………………………………………………10 分    2112122 n nn． 所以，    2112122 n nS n n ． ………………………………………………………12 分 18．解：(1)根据条件， 22列联表如下， ……………………………………………3 分 入围 未入围 合计 男 24 76 100 女 20 80 100 合计 44 156 200 文科数学第 2 页,共 5 页 ∴ 2K 的观测值 ().     2200 24 80 20 76 200 2 70644 156 100 100 429k ， …………………………5 分 所以，没有 %90 的把握认为脑力考试后是否入围与性别有关． …………………6 分 (2) 由(1)可知，用分层抽样的方法，以性别为分层依据在入围人员中随机抽取 11 人， 其中男性 6 人，女性 5 人． …………………………………………………………8 分 设这 11 人中至少通晓三个国家语言的男性有 x 人，由题意可得， ()  6 2 5xx． 解得，  4x ．…………………………………………………………………………10 分 设“这位小组牵头人至少通晓三个国家语言”为事件 A，则 () 2 4 8 11 11PA ， 答：这位小组牵头人至少通晓三个国家语言的概率是 8 11 ．………………………12 分 19．(1)证明：∵  23AB ，  2BC ，  4AC ， ∴ 2 2 2AB BC AC ， ∴ BC BA． ………………………………………………………………………1 分 ∵ 1AA 平面 1 1 1A B C ，平面 ∥ABC 平面 ， ∴ 平面 ABC ． …………………………………………………………………2 分 ∵ BC 平面 ， ∴ 1AA BC ． …………………………………………………………………………3 分 ∵ AB ， 1AA 是平面 11AA B B内两相交直线， ∴ BC 平面 ． ………………………………………………………………4 分 ∵ AD 平面 ， ∴ BC AD ． ………………………………………………………………………5 分 (2)解：根据条件，三棱柱侧面 11AA C C 是边长为 4 的正方形， 1△AA D的面积为      1△ 11 114 3 2 322AA DS AA A D ．…………………………6 分 又 ()  224 3 19AD ， 1 42AC ， ()  22 1 2 3 7DC ， ∴cos       2 2 2 11 1 1 32 19 7 11 2 2 4 2 19 2 38 AC AD DCC AD AC AD ，.即sin1 31 2 38C AD ． ∴ 1△ADC 的面积为 sin        1△ 11 1 1 3119 4 2 31222 38ADCS AD AC C AD ． ……………………………………………………………………………………………8 分 设点 1A 到平面 1AC D 的距离为 h ，由 1 1 1 1C AA D A ADCVV得，   11△ △ 11 33AA D ADCS BC S h ， 即    1131 2 3 233h ． 解得，  4 93 31h ． …………………11 分 ∵ 11A D DB ， A B C D 1A 1B 1C 文科数学第 3 页,共 5 页 ∴求点 1B 到平面 1AC D 的距离为 4 93 31 ． …………………………………………12 分 20．解：(1)设点 M的坐标为( , )xy，因为点 A是( , ) 20，所以，直线AM 的斜率 AMk ()  2 2 y x x ；………………………………………………………………………2 分 同理， BM 的斜率 BMk ()  2 2 y x x ． …………………………………………3 分 由已知有 ()      1 2222 yy x xx ，……………………………………………4 分 化简，得 的轨迹C 的方程为 ()    2 2 122 x yx ．………………………………5 分 (2)由(1)知，轨迹 是以 ( , )10F 与( , )10 为左，右焦点，除去长轴端点的椭圆． …6 分 设 D， E 两点的坐标分别为( , )11xy ，( , )22xy， 由方程组 , .    2 2 12 1 2 x y y x b 得，    223 4 4 4 0x bx b .……………………………………7 分 ∴( ) ( )   224 4 3 4 4 0bb，且   12 4 3 bxx ， ∴ ()    1 2 1 2 14223 by y x x b ，………………………………………………………8 分 ∴ ( , ) ( , )     1 2 1 2 44 33 bbOD OE x x y y ． …………………………………………9 分 ∵直线 2l 的方向向量是 OD OE ， ∴直线 的斜率是 1． 由于直线 经过点 ，所以，直线 的方程是   1yx．………………………10 分 ∴点G 的坐标是 ，是轨迹 的上顶点． ………………………………………11 分 所以，△FGH的周长为42． ………………………………………………………12 分 21．(1) 解：函数 ( ) ln  1f x x x 的定义域是( , )0 ， ……………………………1 分 且 ()    111 xfx xx ， ………………………………………………………………2 分 ∴当 01x 时， ()  0fx ， ()fx递减；当 1x 时， ()  0fx ， 递增．……4 分 所以， ()fx增减区间是( , ]01，递增区间是[ , )1 ． ………………………………5 分 (2)证明：（方法一）由(1)知，当 e1x 时， ( ) ( )10f x f ，即 ln  10xx ， ∴ ln  10xx．………………………………………………………………………6 分 ∵ 02a ， ∴ ln 22a x x ． ………………………………………………………………………8 分 设 ( ) lnexg x x，则 e() ee    11 xgx xx ， ∴当 e≥x 时， () ≥0gx ， ()gx在区间[e, ) 递增，所以， ( ) (e) ≥ 0g x g ． ∴ ln e 1≤ ≤ xx ，即 ln e 2≤ xax ． 文科数学第 4 页,共 5 页 ∴ ln e 22 ≤ 22xa x x 即 ln ( )e  111a x x ．………………………………………10 分 所以，当 02a 时， 对一切 [e, ) x 恒成立． ……………12 分 （方法二）设 ( ) ( ) lne   11 2 1g x x x ，则  0x ， 且 ee()ee()     12 1x gx x ．………………………………………………………………6 分 当 e≥x 时， e e  2 1x ， ()  0gx ， ()gx递增． ∴ ( ) (e) e  ≥ 20g x g ， ∴( ) lne   11 2 1 0xx ，即( ) lne  11 1 2xx………………………………………8 分 ∵ ， ， ∴ ln ln2 x a x ，………………………………………………………………………10 分 ∴ ．…………………………………………………………………11 分 所以，当 时， 对一切 恒成立． ……………12 分 22.解：(1) 分别将 2 2 2xy ， cos  x ， sin  y 代入 cos sin  2 2 4 4     得，    222 4 4x y x y ， ∴圆C 的直角坐标方程为( ) ( )   221 2 1xy ．……………………………………2 分 ∴圆 的圆心坐标为 ( , )12C ． ∵圆心C 在直线 : 3l y mx 上， ∴   23m ，即 1m ， ……………………………………………………………3 分 直线l 的参数方程为 ,  41 31． xt yt (t 为为参数) ． 消去参数t 得直线 的普通方程为   3 4 7 0xy ． …………………………………5 分 (2) 将直线 向左平移 () 0nn 个单位后，得到直线 : ( )    3 4 7 0l x n y ， 即 :    3 4 7 3 0l x y n ． ……………………………………………………………7 分 由题意得， () = +       22 ｜3 1 4 2 7 3｜ 2 34 n ， ………………………………………………9 分 解得，  2n （负值已舍）． …………………………………………………………10 分 23.解：(1) ∵ ( ) | | | |   4f x x a x ， 1a ， ∴ ( ) | | | |   14f x x x ，即 ,, ( ) , , ,      2 5 1 31≤ ≤4 2 5 4． xx f x x xx …………………………………1 分 当 1x 时，由 ()f x x 得，   25xx，解得，  5 3x ，舍． ……………………2 分 当1≤ ≤4x 时，由 得，  3x ，解得， 3 ≤4x ． ………………………3 分 当  4x 时，由 得， 25xx，解得， 45x ．…………………………4 分 所以，不等式 的解集为( , )35 ． ……………………………………………5 分 文科数学第 5 页,共 5 页 (2)当 ≥4a 时， () 4≥ 1fx a 恒成立． ………………………………………………6 分 当  4a 时， ( ) | ( ) ( ) |    ≥ 44f x x a x a ∴ min() =4f x a ， ……………………………………………………………………7 分 ∴ 44 ≥ 1a a ． ………………………………………………………………………8 分 解得，  0a 或 1≤ 4a ． ……………………………………………………………9 分 综上所述，实数a 的取值范围( , ) [ , ) 01 ．……………………………………10 分