2019高三数学（人教B版理）一轮：单元质检卷四+三角函数、解三角形（B）

2019高三数学（人教B版理）一轮：单元质检卷四+三角函数、解三角形（B）

单元质检卷四　三角函数、解三角形(B)‎ ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)‎ ‎1.若将函数y=sin 2x的图象向左平移π‎6‎个单位长度,则平移后的图象(　　)‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　‎ A.关于点‎-π‎12‎,0‎对称 B.关于直线x=-π‎12‎对称 C.关于点π‎12‎‎,0‎对称 D.关于直线x=π‎12‎对称 ‎2.设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若a=3,b=‎3‎,A=π‎3‎,则B=(　　)‎ A.π‎6‎ B.‎‎5π‎6‎ C.π‎6‎或‎5π‎6‎ D.‎‎2π‎3‎ ‎3.(2017东北三校联考)若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)‎ A.a km B.‎2‎a km C.2a km D.‎3‎a km ‎4.(2017山东烟台一模,理8)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导函数的图象f'(x)如图所示,则fπ‎2‎的值为(　　)‎ A.2‎3‎ B.2‎ C.2‎2‎ D.4〚导学号21500620〛‎ ‎5.(2017江西新余一中模拟七,理10)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,其中N,P的坐标分别为‎5π‎8‎‎,-A‎,‎‎11π‎8‎‎,0‎,则函数f(x)的单调递减区间不可能为(　　)‎ A.π‎8‎‎,‎‎5π‎8‎ B.‎‎-‎7π‎8‎,-‎‎3π‎8‎ C.‎9π‎4‎‎,‎‎21π‎8‎ D.‎9π‎8‎‎,‎‎33π‎8‎〚导学号21500621〛‎ ‎6.(2017福建厦门二模,理7)已知函数f(x)=‎3‎sin(2x+φ)+cos(2x+φ)为偶函数,且在‎0,‎π‎4‎上是增函数,则φ的一个可能值为(　　)‎ A.π‎3‎ B.‎2π‎3‎ C.‎4π‎3‎ D.‎‎5π‎3‎ 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎7.(2017河北邯郸二模,理15)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,△ABC的面积为S,(a2+b2)tan C=8S,则sin‎2‎A+sin‎2‎Bsin‎2‎C=　　　　　. ‎ ‎8.化简‎2sin(π-α)+sin2α‎2cos‎2‎α‎2‎=　　　　　　　. ‎ 三、解答题(本大题共3小题,共44分)‎ ‎9.(14分)(2017福建厦门二模,理17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C=(2a-c)cos B.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)已知b=‎3‎,BD为AC边上的高,求BD的取值范围.‎ ‎10.(15分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b≠c,且sin2C-sin2B=‎3‎sin Bcos B-‎3‎sin Ccos C.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若a=‎3‎,sin C=‎3‎‎4‎,求△ABC的面积.‎ ‎〚导学号21500622〛‎ ‎11.(15分)(2017黑龙江大庆三模,理17)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosBb‎+cosCc=‎‎2‎3‎sinA‎3sinC.‎ ‎(1)求b的值;‎ ‎(2)若cos B+‎3‎sin B=2,求a+c的取值范围.‎ ‎〚导学号21500623〛‎ 参考答案 单元质检卷四　三角函数、‎ 解三角形(B)‎ ‎1.D　平移后得y=sin‎2x+‎π‎3‎的图象,令2x+π‎3‎=kπ,k∈Z,可得x=kπ‎2‎‎-‎π‎6‎,k∈Z,图象的对称中心为kπ‎2‎‎-‎π‎6‎‎,0‎,k∈Z,故排除A,C;令2x+π‎3‎=kπ+π‎2‎,k∈Z,可得对称轴方程为x=kπ‎2‎‎+‎π‎12‎,k∈Z,故排除B,故选D.‎ ‎2.A　∵a=3,b=‎3‎,A=π‎3‎,∴由正弦定理,得sin B=bsinAa‎=‎3‎‎×‎‎3‎‎2‎‎3‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎∵a>b,A为锐角,‎ ‎∴B=π‎6‎.故选A.‎ ‎3.D　依题意知∠ACB=180°-20°-40°=120°,在△ABC中,由余弦定理知AB=a‎2‎‎+a‎2‎-2×a×a×‎‎-‎‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎a(km),即灯塔A与灯塔B的距离为‎3‎a km.‎ ‎4.D　函数的导函数f'(x)=ωAcos(ωx+φ),‎ 由图象可知f'(x)的周期为4π.‎ 所以ω=‎1‎‎2‎.又因为Aω=2,所以A=4.函数f'(x)经过‎3π‎2‎‎,-2‎,‎ 所以-2=2cos‎1‎‎2‎‎×‎3π‎2‎+φ,‎ 所以‎1‎‎2‎‎×‎‎3π‎2‎+φ=2kπ+π,k∈Z,‎ 又0<φ<π,所以φ=π‎4‎.‎ 所以f(x)=4sin‎1‎‎2‎x+‎π‎4‎.‎ 所以fπ‎2‎=4sin‎1‎‎2‎‎×π‎2‎+‎π‎4‎=4.‎ ‎5.D　根据题意,设函数f(x)=Acos(ωx+φ)的周期为T,则‎3‎‎4‎T=‎11π‎8‎‎-‎5π‎8‎=‎‎3π‎4‎,解得T=π.‎ 又选项D中,区间长度为‎33π‎8‎‎-‎‎9π‎8‎=3π,∴f(x)在区间‎9π‎8‎‎,‎‎33π‎8‎上不是单调减函数.故选D.‎ ‎6.C　根据题意,f(x)=‎3‎sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2‎3‎‎2‎sin(2x+φ)‎‎+‎‎1‎‎2‎cos(2x+φ)‎=2sin‎2x+φ+‎π‎6‎,‎ 若f(x)为偶函数,则有φ+π‎6‎=kπ+π‎2‎,k∈Z,即φ=kπ+π‎3‎,k∈Z,‎ 分析选项,可以排除B,D,‎ 对于A,当φ=π‎3‎时,f(x)=2sin‎2x+‎π‎2‎=2cos 2x,在‎0,‎π‎4‎上是减函数,不符合题意,‎ 对于C,当φ=‎4π‎3‎时,f(x)=2sin‎2x+‎‎3π‎2‎=-2cos 2x,在‎0,‎π‎4‎上是增函数,符合题意,故选C.‎ ‎7.2　∵(a2+b2)tan C=8S,‎ ‎∴(a2+b2)sin C=8×‎1‎‎2‎absin C×cos C,‎ 即a2+b2=4abcos C=4ab·a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab,可得a2+b2=2c2,‎ 由正弦定理得sin‎2‎A+sin‎2‎Bsin‎2‎C‎=‎a‎2‎‎+‎b‎2‎c‎2‎=2.‎ ‎8.2sin α　由‎2sin(π-α)+sin2α‎2cos‎2‎α‎2‎ ‎=‎‎2sinα+2sinαcosα‎1+cosα ‎=‎2sinα(1+cosα)‎‎1+cosα=2sin α.‎ ‎9.解 (1)由bcos C=(2a-c)cos B得b·a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=(2a-c)a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac,‎ 化简得a2+c2-b2=ac,‎ ‎∴cos B=a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎∵B∈(0,π),∴B=π‎3‎.‎ ‎(2)设BD为AC边上的高,为h,‎ ‎∵S=‎1‎‎2‎acsin B=‎1‎‎2‎bh,‎ ‎∴h=‎3‎ac‎2b‎=‎‎1‎‎2‎ac,‎ 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B⇒a2+c2-ac=3⇒3≥2ac-ac,当且仅当a=c时,等号成立.‎ ‎∴ac≤3,∴h=‎1‎‎2‎ac≤‎3‎‎2‎.‎ 故BD的取值范围为‎0,‎‎3‎‎2‎.‎ ‎10.解 (1)由题意,得‎1-cos2C‎2‎‎-‎1-cos2B‎2‎=‎‎3‎‎2‎sin 2B-‎3‎‎2‎sin 2C,‎ 整理,得‎3‎‎2‎sin 2B-‎1‎‎2‎cos 2B=‎3‎‎2‎sin 2C-‎1‎‎2‎cos 2C,‎ 即sin‎2B-‎π‎6‎=sin‎2C-‎π‎6‎.‎ 由b≠c,得B≠C.因为B+C∈(0,π),所以2B-π‎6‎+2C-π‎6‎=π,‎ 所以B+C=‎2π‎3‎,所以A=π‎3‎.‎ ‎(2)因为在△ABC中,a=‎3‎,A=π‎3‎,sin C=‎3‎‎4‎,‎ 由正弦定理,得‎3‎sinπ‎3‎‎=‎c‎3‎‎4‎,‎ 解得c=‎3‎‎2‎.‎ 由c

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