2018-2019学年浙江省慈溪市慈溪中学等六校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省慈溪市慈溪中学等六校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省慈溪市慈溪中学等六校高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算 ‎【详解】‎ 因为，由得 ，其与不等式为同解不等式，‎ 所以 ；‎ ‎ ‎ 则 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.‎ ‎2．下列函数中，既是奇函数，又在上为增函数的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 奇函数满足即可，单调性由函数模型得到即可.‎ ‎【详解】‎ A., f(-x)=-x-=-f(x),故函数是奇函数，在（0，1）上是增函数，在（1，）上是减函数；故不正确；‎ B., f(-x)=,故函数不是奇函数，且在（2，）上为减，故不正确；‎ C．，f(-x)=，函数不是奇函数，在（2，）上是增函数；故不正确；‎ D.,=-，是奇函数，在上为增函数，故正确.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数奇偶性的应用和函数单调性的应用，研究函数单调性，先要注意函数的定义域问题，之后常见方法有：图像法，即根据函数图像得到单调区间；复杂函数需要借助导函数，对函数求导来研究函数的单调性.‎ ‎3．下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据函数的概念，由两个函数的定义域，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数．‎ ‎【详解】‎ 对于A中，函数与的定义域不同，所以不是相同的函数；‎ 对于B中，函数与的定义域不同，所以不是相同的函数；‎ 对于C中，函数与的定义域不同，所以不是相同的函数；‎ 对于D中，函数与的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数；‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两个函数是否是同一个函数的判定问题，其中熟记函数的基本概念和同一函数的判定标准是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎4．函数的单调递减区间是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为为增函数，根据复合函数同增异减知，只需求的减区间，因此当时，函数是减函数，故选A．‎ ‎5．若，则， ， ， 的大小关系为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，‎ 因为， ，所以,.‎ 综上；故选D.‎ ‎6．若直角坐标平面内、两点满足①点、都在函数的图象上；②点、关于原点对称，则点（）是函数的一个“姊妹点对”．点对（）与（）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（ ）‎ A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意可知，只需作出函数（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数（）交点个数即可．‎ ‎【详解】‎ 根据题意可知，“友好点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．‎ 可作出函数（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数（）交点个数即可．如图所示：‎ 当时，‎ 观察图象可得：它们有2个交点．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．‎ ‎7．已知函数当时，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵当x1≠x2时，＜0，∴f（x）是R上的单调减函数，‎ ‎∵f（x）=，∴，‎ ‎∴0＜a≤，故选：A．‎ ‎8．已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 先导出再由函数是增函数知，a＞1．再由对数函数的图象进行判断．‎ ‎【详解】‎ 由函数是增函数知，a＞1．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力．这类试题经常出现，要高度重视．‎ ‎9．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）‎ A． -2018 B． 0 C． 2 D． 50‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．‎ 详解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），‎ ‎∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，‎ 则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），‎ 即函数f（x）是周期为4的周期函数，‎ ‎∵f（1）=2，‎ ‎∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，‎ f（4）=f（0）=0，‎ 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，‎ 则 ‎=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）+f（2018）‎ ‎=f（1）+f（2）=2+0=2，‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．‎ ‎10．已知函数，给出下列命题：①必是偶函数；②当时，的图像关于直线对称；③若，则在区间上是增函数；④若，在区间上有最大值. 其中正确的命题序号是：（ ）‎ A． ③ B． ②③ C． ③④ D． ①②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当a≠0时，f（x）不具有奇偶性，故①不正确；令a=0，b=﹣2，则f（x）=|x2﹣2|，此时f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x2﹣2|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，故②不正确；若b﹣a2≥0，即f（x）的最小值b﹣a2≥0时，f（x）=（x﹣a）2+（b﹣a2），显然f（x）在[a，+∞）上是增函数，故③正确；又f（x）无最大值，故④不正确．‎ ‎【详解】‎ 当a≠0时，f（x）不具有奇偶性，①错误；‎ 令a=0，b=﹣2，则f（x）=|x2﹣2|，‎ 此时f（0）=f（2）=2，‎ 但f（x）=|x2﹣2|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，②错误；‎ 又∵f（x）=|x2﹣2ax+b|=|（x﹣a）2+b﹣a2|，图象的对称轴为x=a．‎ 根据题意a2﹣b≤0，即f（x）的最小值b﹣a2≥0，‎ f（x）=（x﹣a）2+（b﹣a2），显然f（x）在[a，+∞）上是增函数，‎ 故③正确；‎ 又f（x）无最大值，故④不正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的性质和应用，涉及函数的对称性、单调性、最值，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎11．设函数，则__________，方程的解为__________．‎ ‎【答案】 1 4或-2‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴．‎ ‎（2）当时，由可得，解得；‎ 当时，由可得，解得或（舍去）．‎ 故方程的解为或．‎ 答案：1，或 ‎12．已知，若，，则=______，=_______.‎ ‎【答案】4 2 ‎ ‎【解析】‎ 设t=logba并由条件求出t的范围，代入logab+logba=化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入ab=ba化简后列出方程，求出a、b的值．‎ ‎【详解】‎ 设t=logba，由a＞b＞1知t＞1，‎ 代入logab+logba=得，‎ 即2t2﹣5t+2=0，解得t=2或t=（舍去），‎ 所以logba=2，即a=b2，‎ 因为ab=ba，所以b2b=ba，则a=2b=b2，‎ 解得b=2，a=4，‎ 故答案为：4；2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题．‎ ‎13．（1）函数的图象必过定点，定点坐标为_____．‎ ‎（2）已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为____．‎ ‎【答案】（-1,-1） [-1,2] ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意，令x+1=0，即x=-1时，y=1-2=-1；从而求得；‎ ‎（2）根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，令x+1=0，即x=-1时，y=1-2=-1；‎ 故函数的图象必过定点（-1,-1），‎ 故答案为：（-1,-1）．‎ ‎（2）∵函数y=f（x2﹣1）的定义域为[﹣，]，‎ ‎∴﹣≤x≤，‎ 即0≤x2≤3，‎ ‎﹣1≤x2﹣1≤2，‎ 即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，2]，‎ 故答案为：[﹣1，2]‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的定点问题，考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握复合函数定义域之间的关系．‎ ‎14．若指数函数的图像过点，则_______________；不等式的解集为_______________________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 设出指数函数解析式，将点的坐标代入，求参数a，然后将不等式具体化，换元得到一元二次不等式解之，然后还原求解集．‎ ‎【详解】‎ 设指数函数解析式为y=ax，因为指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），所以4=a﹣2，解得a=，所以指数函数解析式为y=，所以f（3）=；‎ 不等式f（x）+f（﹣x）＜为，设2x=t，不等式化为，所以2t2﹣5t+2＜0解得＜t＜2，即＜2x＜2，所以﹣1＜x＜1，所以不等式的解集为（﹣1，1）．‎ 故答案为：；（﹣1，1）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了待定系数法求指数函数解析式以及解指数不等式；考查了换元的方法．‎ ‎15．设任意实数，要使恒成立，则的最小值为_______________．‎ ‎【答案】-9‎ ‎【解析】‎ 先利用换底公式进行化简，然后令s=，t=，将题目转化成不等式恒成立问题，最后利用均值不等式求出最值即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 要使恒成立 即使+≥m•恒成立 令s=，t=，而 ‎∴s＞0，t＞0，‎ 即使得≥m•（s＞0，t＞0）恒成立 即-m≤（）（s+t）的最小值 ‎∵（）（s+t）‎ ‎∴-m≤9，即m≥-9‎ ‎∴m的最小值是9‎ 故答案为：-9‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数恒成立问题，以及均值不等式的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．‎ ‎16．定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使得不等式成立的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴ [f（x）+f（﹣x）]＜0等价为2f（x）＜0，‎ ‎∵在（﹣∞，0]上是增函数，且f（﹣2）=0，‎ ‎∴在（0，+∞]上是减函数，且f（2）=0，函数f（x）的简图如图，‎ 则不等式等价为或，‎ 即x＞2或﹣2＜x＜1，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎17．定义区间的长度均为，多个互无交集的区间的并集长度为各区间长度之和，例如的长度。用表示不超过 的最大整数，例如。记。设，，若用、和分别表示不等式、方程和不等式解集区间的长度，则当时，____________.‎ ‎【答案】2016‎ ‎【解析】‎ 先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＞g（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，2018]时，从而得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2018时的解集的长度；对于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）进行类似的讨论即可．‎ ‎【详解】‎ f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1，‎ ‎（i）由f（x）＞g（x），得到[x]x﹣[x]2＞x﹣1，即（[x]﹣1）x＞[x]2﹣1，‎ 当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＜1，此时x∈[0，1）；‎ 当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＜0，此时x∈∅；‎ 当x∈[2，2018]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＞[x]+1，此时x∈∅；‎ 综上，x∈[0，1），即d1=1；‎ ‎（ii）由f（x）=g（x），得到[x]x﹣[x]2=x﹣1，即（[x]﹣1）x=[x]2﹣1，‎ 当x∈[0，1）时，[x]=0，上式化为x=1，此时x∈∅，‎ 当x∈[1，2）时，[x]=1，上式化为0=0，此时x∈[1，2），‎ 当x∈[2，2018]时，可得[x]﹣1＞0，上式可化为x=[x]+1，此时x∈∅，‎ ‎∴f（x）=g（x）在0≤x≤2018的解集为[1，2），即d2=1；‎ ‎（iii）由f（x）＜g（x），得到[x]x﹣[x]2＜x﹣1，即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1，‎ 当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，此时x∈∅，‎ 当x∈[1，2）时，[x]=1，上式化为0＞0，此时x∈∅，‎ 当x∈[2，2018]时，[x]﹣1＞0，上式化为x＜[x]+1，此时x∈[2，2018]，‎ ‎∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2018时的解集为[2，2018]，即d3=2016，‎ 则d1•d2•d3=2016，‎ 故答案为：2016．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎18．（1）‎ ‎（2） 已知，求和的值．‎ ‎【答案】（1）0；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据指数的运算性质，可得答案；‎ ‎（2）由已知利用平方法，可得及，进而得到答案．‎ 试题解析：‎ ‎（1）原式 ‎（2） ‎ ‎∵，‎ ‎∴由得 ‎19．已知集合，．‎ ‎（1）分别求，；‎ ‎（2）已知集合，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）a≤3.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）利用指数函数与对数函数的单调性分别化简A，B，再利用集合的运算性质即可得出；‎ ‎（2）由可知C⊆A，对集合C分类讨论：当C为空集时，当C为非空集合时，即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由3≤3x≤27，即3≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A=[1，3]． ‎ 由log2x＜1，可得0＜x＜2，∴B=（0，2）．‎ ‎∴A∩B=[1，2）．‎ A∪B=（0，3]．‎ ‎.‎ ‎（2）由,所以C⊆A， ‎ 当C为空集时，a≤1．‎ 当C为非空集合时，可得 1＜a≤3． ‎ 综上所述：a的取值范围是a≤3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的单调性、集合的运算性质、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．已知为二次函数，且， ‎ ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）设，其中，为常数且，求函数的最小值. ‎ ‎【答案】（1）f（x）=x2﹣2x﹣1；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）用待定系数法，设出的解析式，代 中，求出系数即可． （2）设 即可得到 再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设f（x）=ax2+bx+c ‎ 因为f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，‎ 所以a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x 所以2ax2+2bx+2a+2c=2x2﹣4x 故有即，所以f（x）=x2﹣2x﹣1 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎;,‎ ‎,‎ ‎ ‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求二次函数的解析式的问题，以及二次函数的性质，属于中档题．‎ ‎21．已知定义域为的函数是奇函数．‎ ‎（1）求实数的值； （2）判断并证明在上的单调性；‎ ‎（3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）在上是减函数，证明见解析；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由奇函数的条件可得 即可得到 ； （2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证； （3）不等式 由奇函数 得到 ，再由单调性，即可得到 对 恒成立，讨论或解出即可．‎ 试题解析：（1）由于定义域为R的函数是奇函数，‎ ‎，经检验成立.‎ ‎（2）f（x）在上是减函数．证明如下：‎ 设任意， ， ， ，‎ 在上是减函数 ,‎ ‎（3）不等式，‎ 由奇函数f（x）得到f（-x）=-f（x），所以，‎ 由f（x）在上是减函数， 对恒成立，‎ 或 综上： .‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和运用，单调性的判断和运用，其中（3）利用奇函数的性质将不等式转化为，再利用单调性得到 对恒成立是解题的关键.‎ ‎22．已知函数，且定义域为.‎ ‎（1）求关于的方程在上的解；‎ ‎（2）若在区间上单调减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】分析：（1）由题意得，讨论和两种情况去绝对值解方程即可；‎ ‎（2）由，函数单减则有，从而得解；‎ ‎（3）讨论和下解方程即可.‎ 详解：（1）令，即有.‎ 当时，方程即为，方程无解；‎ 当时，方程即为，解得（负值舍去）.‎ 综上，方程的解为. ‎ ‎（2），‎ 由在上单调递减，则， ‎ 解得，所以实数的取值范围是.‎ ‎（3）当时，， ①‎ 当时，， ②‎ 若，则①无解，②的解为，故不成立； ‎ 若，则①的解为 .‎ ‎（Ⅰ）当，即时，中，‎ 则一个根在内，另一根不在内，设，‎ 因为，所以，解得， ‎ 又，则此时， ‎ ‎（Ⅱ）当，即或时，②在内有不同两根，‎ 由，知②必有负数根，所以不成立， ‎ 综上.‎ 点睛：分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是二次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于二次函数，要关注开口方向和对称轴与区间的位置关系.两段分别递减还不行，还需要在两段交接的地方减，这样才能满足在身上单调递减.‎