江苏省淮阴中学2020届高三下学期数学综合测试（4）

江苏省淮阴中学2020届高三下学期数学综合测试（4）

江苏省淮阴中学2020届高三下学期数学综合测试（4）‎ 一、填空题：‎ ‎1．复数的虚部为 .‎ ‎2．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 .‎ ‎3。根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为 ‎ ‎0‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎0.015‎ ‎0.025‎ 成绩 ‎0.030‎ ‎4．若等差数列的前5项和，且，则 .‎ ‎5．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是 ．（填序号）‎ ‎①若则；②若则；‎ ‎③若则；④若则．‎ ‎6．在中,已知,若 分别是角所对的边,则的最大值为__________．‎ ‎7．已知向量，，，若夹角为锐角，则取值范围是 ‎ ‎8．先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为，则是奇数的概率是 ．‎ ‎9．设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为 ‎ ‎10．对于三次函数，给出定义：设是函数 的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。请你根据这一发现，求：函数对称中心为 ；‎ ‎11．已知椭圆的标准方程为，若椭圆的焦距为，则的取值集合为 。‎ ‎12．一个质点从A上出发依次沿图中线段到达B、C、D、E、F、G、H、I、J各点，最后又回到A（如图所示），其中：，AB//CD//EF//HG//IJ，BC//DE//FG//HI//JA。欲知此质点所走路程，至少需要测量n条线段的长度，则n的值为 ‎ ‎13．记，已知函数 是偶函数 ‎（为实常数），则函数的零点为__________．（写出所有零点）‎ ‎14．已知对角线互相垂直且面积为5的四边形，其顶点都在半径为3的圆上，设圆心到两对角线的距离分别为，则的最大值为 。‎ 二、解答题 ‎15、（本小题共14分）已知动点在角的终边上.‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）记，试用将S表示出来.‎ ‎16、（本小题共14分）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且，侧面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，点G为AD的中点.‎ ‎（1）求证：BG面PAD；（2）E是BC的中点，在PC上求一点F，使得PG面DEF.‎ ‎17．（本小题满分14分） 某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元。‎ ‎（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；‎ ‎（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）‎ ‎18、（本小题共16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点 在直线上．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程 ‎（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；‎ ‎（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N．‎ 求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．‎ ‎19．（本小题共16分）已知.‎ ‎（1）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当，时，求证：.‎ ‎20．设数列的前n项和为，‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由。‎ ‎（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由。‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.（本小题满分10分）‎ ‎ 已知正数，，满足，求证：．‎ ‎22（本小题满分10分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点，‎ 求实数的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 椭圆中心在原点，焦点在轴上。离心率为，点是椭圆上的一个动点，若的最大值为，求椭圆的标准方程．‎ ‎24. （本小题满分10分）已知，（其中）⑴求及；⑵试比较与的大小，并说明理由．‎ 江苏省淮阴中学2020届高三数学(下)综合（4）答案 ‎1、-1 2、160 3、21 4、13 5、②④ 6、 7、‎ ‎8、 9、-10 10、（,1） 11、{2，4，5} 12、3 ‎ ‎13、 14、‎ ‎15、解：（1）是角的终边上一点，‎ 则--------------------------3分 又，则，所以. ---------------- 6分 ‎（2）==-9分 ‎ -------------------12分 ‎ ----------------------------14分 ‎16、（1）连结BD，因为四边形ABCD为菱形，且，‎ 所以三角形ABD为正三角形，又因为点G为AD的中点，所以BGAD；---------4分 因为面PAD底面ABCD，且面PAD底面ABCD=AD，‎ 所以BG面PAD. ----------------7分 ‎（2）当点F为PC的中点时，PG面DEF 连结GC交DE于点H 因为E、G分别为菱形ABCD的边BC、AD的中点，所以四边形DGEC为平行四边形 所以点H为DE的中点，又点F为PC的中点 所以FH时三角形PGC的中位线，所以PGFH ------------------------------10分 因为面DEF，面DEF 所以PG面DEF.‎ 综上：当点F为PC的中点时，PG面DEF. ---------------------------14分 ‎17．解：（Ⅰ） ………………………………………3分 ‎ 由基本不等式得 ‎ ‎ 当且仅当，即时，等号成立 ……………………5分 ‎∴，成本的最小值为元． ……………………6分 ‎（Ⅱ）设总利润为元，则 ‎ ‎ 当时, ……………………………………………………13分 答：生产件产品时，总利润最高，最高总利润为元．………………14分 ‎18、解：（1）又由点M在准线上，得 故， ……………2分 ‎ 从而 所以椭圆方程为……………4分 ‎（2）以OM为直径的圆的方程为 即 ‎ 其圆心为,半径 ……………6分 因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2‎ 所以圆心到直线的距离 ‎ 所以，……………8分 解得 所求圆的方程为 ……………10分 ‎（3）方法一：由平几知：……………11分 直线OM：，直线FN： ‎ 由得……………13分 ‎……………15分 所以线段ON的长为定值．……………16分 方法二、设，则 ……………11分 ‎ ……………13分 ‎ 又………15分 所以，为定值……………16分 ‎19．解：（1）， ‎ 当时，；当时，；‎ 函数在区间（0，1）上为增函数；在区间为减函数 -------------------------3分 当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值.‎ ‎，解得. ---------------------------5分 ‎（2）由（1）得的极大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：. ----------10分 ‎（另解：，，‎ 令，所以，当时，‎ 当时，；当时，‎ 当时，函数取得极大值为 当方程有实数解时，.）‎ ‎（3）函数在区间为减函数，而，‎ ‎，即 ‎ ‎--------------12分 即，而，‎ 结论成立. ----------------------16分 ‎20．解：（1）n=1时，， ‎ 时，（n=1也符合） ‎ ‎，，即数列是等比数列。 ‎ ‎（2）若则 ‎ 可设，两边同除以得：‎ 因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在。‎ ‎（3）若则 ‎ 可设，，，不成立。 ‎ ‎21.已知正数，，满足，求证：．‎ ‎ 证明： …………………………………………4分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （当且仅当时等号成立）． ……………………………………………10分 ‎22．解：设变换T：，则，即…………………………5分 ‎ 代入直线，得．‎ ‎ 将点代入上式，得k4．……………………………………………………………10分 ‎23.【解】离心率为，设椭圆标准方程是，它的参数方程为是参数 ‎ 最大值是，椭圆的标准方程是 ‎ ‎24. 解】⑴取，则；取，则，‎ ‎∴； ------4分 ‎⑵要比较与的大小，即比较：与的大小，‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 猜想：当时，，下面用数学归纳法证明：‎ 由上述过程可知，时结论成立，‎ 假设当时结论成立，即，‎ 两边同乘以3 得：‎ 而 ‎∴，即时结论也成立，∴当时，成立.‎ 综上得，当时，；当或时， ‎