数学卷·2018届江西省九江一中高二下学期第一次月考数学试卷(文科) (解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届江西省九江一中高二下学期第一次月考数学试卷(文科) (解析版)

‎2016-2017学年江西省九江一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数,i为虚数单位.则z的虚部为(  )‎ A.i B.﹣i C.1 D.﹣1‎ ‎2.已知集合A={x|x+2>0},B={x|x2+2x﹣3≤0},则A∩B=(  )‎ A.[﹣3,﹣2) B.[﹣3,﹣1] C.(﹣2,1] D.[﹣2,1]‎ ‎3.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(  )‎ A.100 B.99 C.98 D.97‎ ‎4.给出下列结论:①命题“∀x∈R,sinx≠1”的否定是“∃x∈R,sinx=1”;‎ ‎②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件;‎ ‎③数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件.‎ 其中正确的是(  )‎ A.①② B.①③ C.②③ D.①②③‎ ‎5.从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:‎ 身高x(cm)‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎170‎ ‎175‎ ‎180‎ 体重y(kg)‎ ‎63‎ ‎66‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎74‎ 根据上表可得回归直线方程=0.56x+,据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为(  )‎ A.70.09kg B.70.12kg C.70.55kg D.71.05kg ‎6.已知等比数列{an}的各项都是正数,且3a1, a3,2a2成等差数列,则=(  )‎ A.1 B.3 C.6 D.9‎ ‎7.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(  )‎ A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 ‎8.已知函数f(x)=,其中e是自然对数的底数,若直线y=2与函数y=f(x)的图象有三个交点,则常数a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,2] C.(2e﹣2,+∞) D.[2e﹣2,+∞)‎ ‎9.在△ABC中,A=,AB=3,AC=3,D在边BC上,且CD=2DB,则AD=(  )‎ A. B. C.5 D.‎ ‎10.已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(  )‎ A.(﹣1,3) B.(﹣1,) C.(0,3) D.(0,)‎ ‎11.已知点A(0,1),曲线C:y=alnx恒过定点B,P为曲线C上的动点且•的最小值为2,则a=(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.1‎ ‎12.已知圆O1:(x﹣2)2+y2=16和圆O2:x2+y2=r2(0<r<2),动圆M与圆O1、圆O2都相切,动圆圆心M的轨迹为两个椭圆,这两个椭圆的离心率分别为e1、e2(e1>e2),则e1+2e2的最小值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知曲线C的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ,则其直角坐标方程为  .‎ ‎14.如图所示为函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,那么f(﹣1)=  .‎ ‎15.若实数x,y满足,则z=的最小值为  .‎ ‎16.给出不等式≥(x∈R),若此不等式对任意的实数x都成立,则实数c的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本题共6小题,共70分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17.在直角坐标系xOy,圆C1和C2方程分别是C1:(x﹣2)2+y2=4和C2:x2+(y﹣1)2=1.以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆C1和C2的极坐标方程;‎ ‎(2)射线OM:θ=α与圆C1的交点为O,P,与圆C2的交点为O,Q,求|OP|•|OQ|的最大值.‎ ‎18.已知函数f(x)=2sinxcosx﹣cos2x+1.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)角A,B,C为△ABC的三个内角,且f(+)=,f(+)=,求sinC的值.‎ ‎19.如图,在三棱锥P﹣ABC中,平面APC⊥平面ABC,且PA=PB=PC=4,AB=BC=2.‎ ‎(1)求三棱锥P﹣ABC的体积VP﹣ABC;‎ ‎(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎20.某教育机构为了解本地区高三学生上网的情况,随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天上网时间的频率分布直方图:将每天上网时间不低于40分钟的学生称为“上网迷”.‎ ‎(1)根据已知条件完成下面的2×‎ ‎2列联表,并据此资料你是否认为“上网迷“与性别有关?‎ 非上网迷 上网迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量高三学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名学生中的“上网迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X=2的概率.‎ 附:X2=,‎ P(X2≥k)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎.‎ ‎21.已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交椭圆C于E,G两点,且△EGF2的周长为4‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程; ‎ ‎(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数t的取值范围.‎ ‎22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1),g(x)=ex ‎(1)求当a=1时,函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)过原点分别作曲线y=f(x)与y=g(x)的切线l1、l2,已知两切线的斜率互为倒数,证明:a=0或<a<.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年江西省九江一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数,i为虚数单位.则z的虚部为(  )‎ A.i B.﹣i C.1 D.﹣1‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.‎ ‎【解答】解: =,‎ ‎∴z的虚部为﹣1.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.已知集合A={x|x+2>0},B={x|x2+2x﹣3≤0},则A∩B=(  )‎ A.[﹣3,﹣2) B.[﹣3,﹣1] C.(﹣2,1] D.[﹣2,1]‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】化简集合A、B,根据交集的定义写出A∩B.‎ ‎【解答】解:集合A={x|x+2>0}={x|x>﹣2},‎ B={x|x2+2x﹣3≤0}={x|﹣3≤x≤1},‎ 则A∩B={x|﹣2<x≤1}=(﹣2,1].‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(  )‎ A.100 B.99 C.98 D.97‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】根据已知可得a5=3,进而求出公差,可得答案.‎ ‎【解答】解:∵等差数列{an}前9项的和为27,‎ ‎∴9a5=27,a5=3,‎ 又∵a10=8,‎ ‎∴d=1,‎ ‎∴a100=a5+95d=98,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎4.给出下列结论:①命题“∀x∈R,sinx≠1”的否定是“∃x∈R,sinx=1”;‎ ‎②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件;‎ ‎③数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件.‎ 其中正确的是(  )‎ A.①② B.①③ C.②③ D.①②③‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】利用命题的否定判断①的正误;充要条件判断②的正误;等比数列的定义判断③的正误.‎ ‎【解答】解:对于①,命题“∀x∈R,sinx≠1”的否定是“∃x∈R,sinx=1”;满足命题的否定形式,所以①正确.‎ 对于②,命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件;前者能够说明后者成立,sinα=成立则α=不一定成立,所以②正确;‎ 对于③,数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件错误.例如:数列是常数列{0},则满足“an+1=3an”,数列不是等比数列,所以③不正确;‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:‎ 身高x(cm)‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎170‎ ‎175‎ ‎180‎ 体重y(kg)‎ ‎63‎ ‎66‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎74‎ 根据上表可得回归直线方程=0.56x+‎ ‎,据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为(  )‎ A.70.09kg B.70.12kg C.70.55kg D.71.05kg ‎【考点】回归分析的初步应用.‎ ‎【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上,利用待定系数法做出的值,现在方程是一个确定的方程,根据所给的x的值,代入线性回归方程,预报身高为172cm的高三男生的体重 ‎【解答】解:由表中数据可得==170, ==69‎ ‎∵(,)一定在回归直线方程=0.56x+上 故69=0.56×170+解得 =﹣26.2‎ 故 =0.56x﹣26.2‎ 当x=172时, =0.56×172﹣26.2=70.12 ‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.已知等比数列{an}的各项都是正数,且3a1, a3,2a2成等差数列,则=(  )‎ A.1 B.3 C.6 D.9‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合.‎ ‎【分析】设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q,(q>0),由题意可得关于q的式子,解之可得q,而所求的式子等于q2,计算可得.‎ ‎【解答】解:设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q,(q>0)‎ 由题意可得2×a3=3a1+2a2,即q2﹣2q﹣3=0,‎ 解得q=﹣1(舍去),或q=3,‎ 故==q2=9.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(  )‎ A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 ‎【考点】双曲线的应用.‎ ‎【分析】过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,先看直线AB斜率不存在时,求得横坐标之和等于2,不符合题意;进而设直线AB为y=k(x﹣1)与抛物线方程联立消去y,进而根据韦达定理表示出A、B两点的横坐标之和,进而求得k.得出结论.‎ ‎【解答】解:过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,‎ 若直线AB的斜率不存在,则横坐标之和等于2,不适合.‎ 故设直线AB的斜率为k,则直线AB为y=k(x﹣1)‎ 代入抛物线y2=4x得,k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0‎ ‎∵A、B两点的横坐标之和等于5,‎ ‎∴,‎ 则这样的直线有且仅有两条,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎8.已知函数f(x)=,其中e是自然对数的底数,若直线y=2与函数y=f(x)的图象有三个交点,则常数a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,2] C.(2e﹣2,+∞) D.[2e﹣2,+∞)‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系.‎ ‎【分析】由题意,二次函数开口应该向上,并且ae2≥2,得到a≥2e﹣2,得到选项.‎ ‎【解答】解:函数图象如下,‎ 要使直线y=2与函数y=f(x)的图象有三个交点,只要ae2≥2,解得a≥2e﹣2;‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎9.在△ABC中,A=,AB=3,AC=3,D在边BC上,且CD=2DB,则AD=(  )‎ A. B. C.5 D.‎ ‎【考点】余弦定理.‎ ‎【分析】在三角形ABC中,利用余弦定理求出BC的长,进而确定出BD与CD的长,再三角形ABD与三角形ACD中分别利用余弦定理表示出cos∠ADB与cos∠ADC,根据两值互为相反数求出AD的长即可.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,A=,AB=3,AC=3,‎ 利用余弦定理得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC=27+9﹣27=9,即BC=3,‎ ‎∴BD=1,CD=2,‎ 在△ABD中,由余弦定理得:cos∠ADB=,‎ 在△ADC中,由余弦定理得:cos∠ADC=,‎ ‎∴cos∠ADB=﹣cos∠ADC,即=﹣,‎ 解得:AD=(负值舍去),‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(  )‎ A.(﹣1,3) B.(﹣1,) C.(0,3) D.(0,)‎ ‎【考点】双曲线的标准方程.‎ ‎【分析】由已知可得c=2,利用4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得m2=1,又(m2+n)(3m2﹣n)>0,从而可求n的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵双曲线两焦点间的距离为4,∴c=2,‎ 当焦点在x轴上时,‎ 可得:4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=1,‎ ‎∵方程﹣=1表示双曲线,‎ ‎∴(m2+n)(3m2﹣n)>0,可得:(n+1)(3﹣n)>0,‎ 解得:﹣1<n<3,即n的取值范围是:(﹣1,3).‎ 当焦点在y轴上时,‎ 可得:﹣4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=﹣1,‎ 无解.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.已知点A(0,1),曲线C:y=alnx恒过定点B,P为曲线C上的动点且•的最小值为2,则a=(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.1‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】运用对数函数的图象特点可得B(1,0),设P(x,alnx),运用向量的数量积的坐标表示,可得f(x)=•=x﹣alnx+1,x∈(0,+∞)再由导数,求得极值点即为最值点,对a讨论通过单调性即可判断.‎ ‎【解答】解:曲线C:y=alnx恒过点B,则令x=1,可得y=0,‎ 即B(1,0),又点A(0,1),设P(x,alnx),‎ 则•=f(x)=x﹣alnx+1,‎ 由于f(x)=x﹣alnx+1在(0,+∞)上有最小值2,‎ 且f(1)=2,故x=1是f(x)的极值点,即最小值点.‎ f′(x)=1﹣=,‎ a<0,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以没有最小值;故不符合题意;‎ 当a>0,x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,a)是减函数,在(a,+∞)是增函数,有最小值为f(a)=2,即a﹣alna+1=2,解得a=1;‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎12.已知圆O1:(x﹣2)2+y2=16和圆O2:x2+y2=r2(0<r<2),动圆M与圆O1、圆O2都相切,动圆圆心M的轨迹为两个椭圆,这两个椭圆的离心率分别为e1、e2(e1>e2),则e1+2e2的最小值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】分别求出e1、e2(e1>e2),利用基本不等式求出e1+2e2的最小值.‎ ‎【解答】解:①当动圆M与圆O1、O2都相内切时,|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a,∴e1=.‎ ‎②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时,|MO1|+|MO2|=4+r=2a′,∴e2=‎ ‎∴e1+2e2=+=,‎ 令12﹣r=t(10<t<12),e1+2e2=2×≥2×==‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知曲线C的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ,则其直角坐标方程为 x2+(y+1)2=1 .‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】先将极坐标方程ρ=2sinθ两边同乘以ρ后,即可化成直角坐标方程.‎ ‎【解答】解:将极坐标方程ρ=﹣2sinθ两边同乘ρ,化为:ρ2=﹣2ρsinθ,‎ 化成直角坐标方程为:x2+y2+2y=0,‎ 即x2+(y+1)2=1.‎ 故答案为:x2+(y+1)2=1.‎ ‎ ‎ ‎14.如图所示为函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,那么f(﹣1)= 2 .‎ ‎【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.‎ ‎【分析】根据题意,求出函数的半周期,计算ω的值,再求出φ的值,写出f(x)的解析式,即可计算出f(﹣1)的值.‎ ‎【解答】解:根据题意,A,B两点之间的距离为5,A,B两点的纵坐标的差为4,‎ 所以函数的半周期为T==3,解得T=6;‎ 则ω==,‎ 函数解析式为f(x)=2sin(x+φ);‎ 由f(0)=1,得2sinφ=1,∴sinφ=;‎ 又0≤φ≤π,∴φ=,;‎ 则f(x)=2sin(x+),或f(x)=2sin(x+),‎ ‎∴f(﹣1)=2sin(﹣+)=2sin=2.或f(﹣1)=2sin(﹣+)=﹣1(由函数图象舍去),‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎15.若实数x,y满足,则z=的最小值为 4 .‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部.设Q(x,y)为区域内一点,定点P(2,﹣2),可得目标函数z表示P、Q两点连线的斜率,运动点Q并观察直线PQ斜率的变化,即可得到z的最小值.‎ ‎【解答】解:由题意作平面区域如下:‎ 得到如图的△ABC及其内部,‎ 其中A(0,1),B(﹣1,2),C(1,2),‎ 设Q(x,y)为区域内一个动点,定点P(2,﹣2).‎ 可得z=的几何意义是表示P、Q两点连线的斜率,‎ 运动点Q,可得当Q与C重合时,kPQ==﹣4达到最小值,‎ 即z的最小值是﹣4,‎ 故答案为:﹣4‎ ‎ ‎ ‎16.给出不等式≥(x∈‎ R),若此不等式对任意的实数x都成立,则实数c的取值范围是 c≥1 .‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】由不等式≥(x∈R),可得: +≥+,化为: ≥0,由于≥0.即有1﹣≥0,可得•≥1,化为x2≥﹣c,化为﹣c≤0,即可得出.‎ ‎【解答】解:由不等式≥(x∈R),可得: +≥+,‎ 化为: ≥0,‎ 由于≥0.即有1﹣≥0,可得•≥1⇒x2≥﹣c,‎ 若恒成立则必有﹣c≤0,解得c≥1.‎ 故答案为:c≥1.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本题共6小题,共70分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17.在直角坐标系xOy,圆C1和C2方程分别是C1:(x﹣2)2+y2=4和C2:x2+(y﹣1)2=1.以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆C1和C2的极坐标方程;‎ ‎(2)射线OM:θ=α与圆C1的交点为O,P,与圆C2的交点为O,Q,求|OP|•|OQ|的最大值.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(1)先分别求出一般方程,再写出极坐标方程;‎ ‎(2)利用极径的意义,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)C1:(x﹣2)2+y2=4,即x2+y2﹣4x=0,极坐标方程为C1:ρ=4cosθ;‎ C2:x2+(y﹣1)2=1,即x2+y2﹣2y=0,极坐标方程为C1:ρ=2sinθ;‎ ‎(2)设P,Q对应的极径分别为ρ1,ρ2,则|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=4sin2α,‎ ‎∴sin2α=1,|OP|•|OQ|的最大值为4.‎ ‎ ‎ ‎18.已知函数f(x)=2sinxcosx﹣cos2x+1.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)角A,B,C为△ABC的三个内角,且f(+)=,f(+)=,求sinC的值.‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性.‎ ‎【分析】首先利用倍角公式化简解析式为一个角的一个三角函数的形式,然后求单调区间和sinC.‎ ‎【解答】解:由题意可得f(x)=2sinxcosx﹣cos2x+1=2sin(2x﹣)‎ ‎(1)令2kπ≤2x﹣≤2kπ+‎ 所以增区间为:[kπ﹣,kπ+],k∈Z.…‎ ‎(2)由f(+)=得sinA=;…‎ f()=得cosB=,sinB=;…‎ 由于sinA=<sinB=,则a<b⇒cosA=…‎ 所以sinC=sin(A+B)=.…‎ ‎ ‎ ‎19.如图,在三棱锥P﹣ABC中,平面APC⊥平面ABC,且PA=PB=PC=4,AB=BC=2.‎ ‎(1)求三棱锥P﹣ABC的体积VP﹣ABC;‎ ‎(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎【考点】直线与平面所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【分析】(1)取AC中点O,连结PO,BO,证明OP⊥平面ABC,利用三棱锥的体积公式,即可求三棱锥P﹣ABC的体积VP﹣ABC;‎ ‎(2)建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面PBC的法向量,利用向量的夹角公式,即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎【解答】解:(1)取AC中点O,连结PO,BO,‎ ‎∵PA=PC,AB=BC,∴OP⊥AC,OB⊥AC,‎ 又∵平面APC⊥平面ABC,∴OP⊥平面ABC…,‎ ‎∴OP⊥OB,∴OP2+OB2=PB2,‎ 即16﹣OC2+4﹣OC2=16,得OC=,‎ 则OA=,OB=,OP=,AC=2,…‎ ‎∴S△ABC==2.‎ ‎∴VP﹣ABC==.…‎ ‎(2)建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 得O(0,0,0),A(0,﹣,0),B(,0,0),C(0,,0),P(0,0,),…‎ ‎∴=(﹣),=(﹣,0,),‎ 设平面PBC的法向量=(x,y,z).‎ 则,取z=1,得=(,,1).‎ ‎∵=(),‎ ‎∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.…‎ ‎ ‎ ‎20.某教育机构为了解本地区高三学生上网的情况,随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天上网时间的频率分布直方图:将每天上网时间不低于40分钟的学生称为“上网迷”.‎ ‎(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否认为“上网迷“与性别有关?‎ 非上网迷 上网迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量高三学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名学生中的“上网迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X=2的概率.‎ 附:X2=,‎ P(X2≥k)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎.‎ ‎【考点】独立性检验的应用.‎ ‎【分析】(1)根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表,再代入公式计算得出K2,与3.841比较即可得出结论;‎ ‎(2)由频率分布直方图知抽到“上网迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“上网迷”的概率为,可得结论.‎ ‎【解答】解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“上网迷”有25人,从而2×2列联表如下:‎ 非上网迷 上网迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算,得X2=≈3.030,‎ 因为3.030<3.841,所以没有理由认为“上网迷”与性别有关.‎ ‎(2)由频率分布直方图知抽到“上网迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“上网迷”的概率为.则.‎ ‎ ‎ ‎21.已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交椭圆C于E,G两点,且△EGF2的周长为4‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程; ‎ ‎(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数t的取值范围.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据椭圆的离心率找出a与b的关系式,再根据△EGF2的周长求出a与b的值,即可确定出椭圆C方程;‎ ‎(Ⅱ)根据题意得到直线AB斜率存在,设出直线AB方程,以及A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),联立直线AB解析式与椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理表示出两根之和与两根之积,根据不等式求出k的范围,进而确定出t的范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意知椭圆的离心率e==,‎ ‎∴e2===,即a2=2b2,‎ 又△EGF2的周长为4,即4a=4,‎ ‎∴a2=2,b2=1.‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1;‎ ‎(Ⅱ)由题意知直线AB的斜率存在,即t≠0.‎ 设直线AB的方程为y=k(x﹣2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),‎ 由,得(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0,‎ 由△=64k4﹣4(2k2+1)(8k2﹣2)>0,得k2<.‎ 根据韦达定理得:x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∵+=t,‎ ‎∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),‎ x==,‎ y== [k(x1+x2)﹣4k]=,‎ ‎∵点P在椭圆C上,∴16k2=t2(1+2k2),‎ ‎∵|﹣|<,∴|x1﹣x2|<,‎ ‎∴(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1x2]<,‎ ‎∴(1+k2)[﹣4•]<,‎ ‎∴(4k2﹣1)(14k2+13)>0,‎ ‎∴k2>,‎ ‎∴<k2<.‎ ‎∵16k2=t2(1+2k2),∴t2==8﹣,‎ 又<1+2k2<2,∴<t2=8﹣<4,‎ ‎∴﹣2<t<﹣或<t<2,‎ ‎∴实数t的取值范围为(﹣2,﹣)∪(,2).‎ ‎ ‎ ‎22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1),g(x)=ex ‎(1)求当a=1时,函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)过原点分别作曲线y=f(x)与y=g(x)的切线l1、l2,已知两切线的斜率互为倒数,证明:a=0或<a<.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;‎ ‎(2)设出切线方程以及切点坐标,根据函数的单调性证明即可.‎ ‎【解答】解:(1)当a=1时,.‎ 当x∈(0,1)时,f′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,‎ 所以,函数f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).…‎ ‎(2)解法1 设切线l2的方程为y=k2x,切点为(x2,y2),‎ 则, =,所以x2=1,y2=e,于是,‎ 由题意知,切线l1的斜率为,l1的方程为.‎ 设l1与曲线y=f(x)的切点为(x1,y1),‎ 则,所以﹣ax1,.‎ 又因为y1=lnx1﹣a(x1﹣1),消去y1和a后,整理得.‎ 令,则,‎ m(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.‎ 若x1∈(0,1),因为,‎ 所以,而在上单调递减,所以.‎ 若x1∈(1,+∞),因为m(x)在(1,+∞)上单调递增,且m(e)=0,‎ 所以x1=e,所以=0.‎ 综上可知:a=0或.…‎ 解法2 设切线l2的方程为y=k2x,切点为(x2,y2),‎ 则, =,‎ 所以x2=1,y2=e,于是,‎ 由题意知,切线l1的斜率为,l1的方程为.‎ 设l1与曲线y=f(x)的切点为(x1,y1),‎ 则,所以.‎ 又因为y1=lnx1﹣a(x1﹣1),所以,‎ 所以,消去x1得ea﹣ae﹣1=0.‎ 令p(a)=ea﹣ae﹣1,则p′(a)=ea﹣e,‎ p(a)在(﹣∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增.‎ 当a∈(﹣∞,1)时,因为p(0)=0,所以a=0.‎ 当a∈(1,+∞)时,因为p(1)=﹣1<0,‎ p(2)=e2﹣2e﹣1>0,所以1<a<2,‎ 而,,所以,‎ 综上可知:a=0或.…‎
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