【数学】2018届一轮复习人教A版函数的奇偶性与周期性教案
1.了解函数奇偶性的含义.
2.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
3.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
知识点一 函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有__________,那么函数f(x)就叫做偶函数
关于____对称
奇函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有__________,那么函数f(x)就叫做奇函数
关于____对称
答案
f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点
1.(必修①P39习题1.3B组第3题改编)
下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A.y=-x3,x∈R B.y=sinx,x∈R
C.y=x,x∈R D.y=x,x∈R
解析:选项B在其定义域内是奇函数但不是减函数;选项C在其定义域内既是奇函数又是增函数;选项D在其定义域内不是奇函数,是减函数.故选A.
答案:A
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.- B.
C. D.-
解析:∵f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,∴a-1+2a=0,∴a=.又f(-x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.
答案:B
3.(必修①P39A组第6题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于( )
A.-2 B.0
C.1 D.2
解析:f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.
答案:A
知识点二 周期性
1.周期函数
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有__________,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数,那么这个________就叫做f(x)的最小正周期.
答案
1.f(x+T)=f(x) 2.最小 最小正数
4.判断正误
(1)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.( )
(2)函数f(x)为R上的奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(2 014)=0.( )
答案:(1)√ (2)√
5.(2016·四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0
0.
从而有f(x)==,
这时有f(-x)==-=-f(x),
故f(x)是奇函数.
④已知f(x)的定义域为(-1,1),其定义域关于原点对称.
因为f(x)=(x-1)=-,
所以f(-x)=-=f(x).
即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
【答案】 (1)D
【总结反思】
1.判断函数的奇偶性,首先看函数的定义域是否关于原点对称;在定义域关于原点对称的条件下,再化简解析式,根据f(-x)与f(x)的关系作出判断.
2.分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数.分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.
(1)下列函数为奇函数的是( )
A.f(x)=2x- B.f(x)=x3sinx
C.f(x)=2cosx+1 D.f(x)=x2+2x
(2)判断函数f(x)=的奇偶性.
解析:(1)对于A选项,函数的定义域为R.f(-x)=2-x-=-2x=-f(x),故A正确;对于B选项,函数的定义域为R,函数y=x3是奇函数,函数y=sinx是奇函数,该函数为偶函数;对于C选项,函数定义域为R,f(-x)=2cos(-x)+1=2cosx+1=f(x),f(x)为偶函数;对于D选项,由f(1)=3,f(-1)=,f(1)≠f(-1),f(1)≠-f(-1),知该函数为非奇非偶函数,故选A.
(2)解:方法1:画出函数f(x)=的图象如图所示,图象关于y轴对称,故f(x)为偶函数.
方法2:f(x)还可以写成f(x)=x2-|x|(x≠0),故f(x)为偶函数.
答案:(1)A
热点二 函数周期性及应用
【例2】 设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 016)=________.
【解析】 ∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期T=2.
又当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,所以f(0)=0,f(1)=1,所以f(0)=
f(2)=f(4)=…=f(2 016)=0.
f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 015)=1.
故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 016)=1 008.
【答案】 1 008
1.若将“f(x+2)=f(x)”改为“f(x+1)=-f(x)”,则结论如何?
解:∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f[(x+1)+1]
=-f(x+1)=f(x).故函数f(x)的周期为2.
由本例可知,f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 016)=1 008.
2.若将“f(x+2)=f(x)”改为“f(x+1)=”,则结论如何?
解:∵f(x+1)=,∴f(x+2)=f[(x+1)+1]==f(x).故函数f(x)的周期为2.
由本例可知,f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 016)=1 008.
【总结反思】
(1)判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
(1)(2017·晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意
x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 017)=________.
(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为________.
解析:(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,又对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),∴当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,∴f(-3)=0,f(3)=0,所以有f(x+6)=f(x),周期为6.故f(2 017)=f(1)=2.
(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数,所以f=f,且f(-1)=f(1),故f=f,所以=-a+1,即3a+2b=-2.①
由f(-1)=f(1),得-a+1=,即b=-2a.②
由①②得a=2,b=-4,
从而a+3b=-10.
答案:(1)2 (2)-10
热点三 函数奇偶性的应用
考向1 利用奇偶性求值
【例3】 已知f(x)=+sinx,则f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值是____.
【解析】 因为f(x)-1=+sinx是奇函数,所以f(-x
)-1=-[f(x)-1]=1-f(x),故f(-x)+f(x)=2,且f(0)=1,所以f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=[f(-4)+f(4)]+[f(-3)+f(3)]+[f(-2)+f(2)]+[f(-1)+f(1)]+f(0)=2×4+1=9.
【答案】 9
考向2 奇偶性与单调性的结合
【例4】 (2017·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增,则满足f(2x-1)0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为( )
A.8 B.-8
C.0 D.-4
【解析】 ∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),∴函数f(x)是以8为周期的周期函数,又由f(x-4)=-f(x)可得f(x+2)=-f(x+6)=-f(x-2),因为f(x)是奇函数,所以f(x+2)=-f(x-2)=f(2-x),所以f(x
)的图象关于x=2对称,结合在[0,2]上为增函数,可得函数的大致图象如图,由图看出,四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,所以x1+x2+x3+x4=-8.故选B.
【答案】 B
【总结反思】
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
(1)(2017·山东青岛一模)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x
+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=1-x,
则下列命题:
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;
④当x∈(3,4)时,f(x)=x-3.
其中正确命题的序号是________.
解析:(1)∵f(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数,∴f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,∴f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2.∴f(4)+f(5)=0+2=2,故选A.
(2)由已知条件得f(x+2)=f(x),
则f(x)是以2为周期的周期函数,∴①正确.
当-1≤x≤0时,0≤-x≤1.
f(x)=f(-x)=1+x,
函数y=f(x)的图象如图所示,由图象知②正确,③不正确.
当3
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