2018-2019学年江西省南昌市第十中学高二下学期第二次月考数学(理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市第十中学高二下学期第二次月考数学(理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省南昌市第十中学高二下学期第二次月考数学(理）试题 一、单选题 ‎1．复数在复平面上对应的点位于 （）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限 解：∵复数=,∴复数对应的点的坐标是（）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A ‎【考点】复数的实部和虚部 点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中 ‎2．若是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的 （ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】利用直线与平面平行与垂直的关系，再利用充要条件的判定方法，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由是两条不同的直线，平行于平面，则“”可能“”或“”，‎ 反之，“”一定有“”，‎ 所以是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的必要不充要条件，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的应用，以及充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，准确利用充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎3．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 (    )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，恰好两件都是次品，共有 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有 种不同的取法，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有 种不同的取法，‎ 恰好两件都是次品，共有 种不同的取法，‎ 恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有 种不同的取法，‎ 所以至少取到1件次品的概率为，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4．曲线在点（1，3）处的切线的倾斜角为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，故有，所以。‎ ‎5．若，则　　‎ A．8 B．7 C．6 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据组合数的公式，求得，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据组合数的公式，可得，‎ 即，整理得，解得，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了组合数的应用，其中解答中熟记组合数的计算公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎6．已知双曲线（，）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意， ， ∵抛物线的准线方程为 ‎ 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， ‎ ‎ ∴双曲线的方程为 故选B．‎ ‎7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）‎ ‎∴=（-2，0，1），=（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．‎ ‎∴．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ‎【考点】直线与平面所成的角 ‎8．将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(    )‎ A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，可分为两种情况讨论：①甲在最左端，将剩余的4人全排列；②乙在最左端，分析可得此时的排法数目，由分类计数原理，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，最左端只能拍甲或乙，可分为两种情况讨论：‎ ‎①甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有种不同的排法；‎ ‎②乙在最左端，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排好在剩余的三个位置上，此时共有种不同的排法，‎ 由分类计数原理，可得共有种不同的排法，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中注意优先元素受到的限制条件，合理分类求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎9．已知、是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），‎ 一条渐近线方程为y= x，则F2到渐近线的距离为=b．‎ 设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，‎ ‎∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，‎ 又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，‎ ‎∴△MF1F2为直角三角形，‎ ‎∴由勾股定理得4c2=c2+4b2‎ ‎∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，‎ 即c=2a，e=2．故答案为：C ．‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎10．已知，若，则（ ）‎ A． B． C．15 D．35‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，可得，解得，把二项式化为，再利用二项展开式的通项，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，可得，解得，‎ 所以二项式为 所以展开式中的系数为，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答熟练应用赋值法求得二项展开式的系数，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ）‎ A．2016 B．2015 C．4030 D．1008‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）＝2，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：函数g（x），函数的导数g′（x）＝x2﹣x+3，‎ g″（x）＝2x﹣1，‎ 由g″（）＝0得2﹣1＝0‎ 解得，而g（）＝1，‎ 故函数g（x）关于点（，1）对称，‎ ‎∴g（x）+g（1﹣x）＝2，‎ 故设g（）+g（）+…+g（）＝m，‎ 则g（）+g（）+…+g（）＝m，‎ 两式相加得2×2015＝2m，‎ 则m＝2015．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．‎ 二、填空题 ‎12．已知，，的夹角为，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，利用向量的夹角公式，求得，再由向量的数量积的公式，可得，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，向量，则，‎ 又由的夹角为，所以，‎ 解得，所以，‎ 又由向量的夹角为，则，即，‎ 所以实数．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎13．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由体积相等得：‎ ‎【考点】圆柱及圆锥体积 ‎14．从0，2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5，7中任取2个数字，组成没有重复的四位数，其中能被5整除的四位数共有______个用数字作答 ‎【答案】300‎ ‎【解析】根据题意，分三种情况进行讨论，四位数红包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，再由分步计数原理，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，分三种情况进行讨论，‎ ‎（1）四位数红包含5和0的情况，共有个；‎ ‎（2）四位数中包含5，不含0的情况，共有个；‎ ‎（3）四位数中包含0，不含5的情况，共有个，‎ 再由分步计数原理，可得个．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，以及被5整除的数的特点，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎15．已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱平面ABCD，若在四棱锥的内部有一个半径为R的球，则R的最大值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出棱锥的表面积与体积，根据，即可求出内切球的半径，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，，且平面，平面，‎ 所以四棱锥的四个侧面均为直角三角形，‎ 所以四棱锥的表面积，‎ 四棱锥的体积为，‎ 当最大时，球与棱锥的5个面均相切，球心到每个面的距离均为，‎ 于是，即，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了棱锥的结构特征，以及棱锥的表面积公式和体积公式的应用，其中解答熟练应用几何体的结构特征，合理利用棱锥的表面积公式和体积公式，列出方程是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ 三、解答题 ‎16．已知二项式的展开式中各项系数和为64．‎ ‎（1）求n；‎ ‎（2）求展开式中的常数项．‎ ‎【答案】（1）6；（2）15‎ ‎【解析】（1）令，则展开式中各项系数和为，即，即可求解．‎ ‎（2）由（1），求得二项式展开式中的第项为，令，求得，　代入即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，二项式的展开式中各项系数和为64，‎ 令，则展开式中各项系数和为，即，解得．‎ ‎（2）由（1）知，二项式展开式中的第项为，‎ 令，则，　此时常数项为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，以及熟练利用赋值法求解二项展开式的系数问题是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎17．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，曲线的参数方程为为参数，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线和的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的极坐标方程为，直线l与曲线和分别交于不同于原点的A，B两点，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用极径的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），‎ 转换为直角坐标方程为：y2=8x，‎ 转换为极坐标方程为：ρsin2θ=8cosθ．‎ 曲线C2的参数方程为（α为参数），‎ 转换为直角坐标方程为：x2+y2-2x-2y=0，‎ 转换为极坐标方程为：ρ-2cosθ-2sinθ=0．‎ ‎（2）设A（）B（），‎ 所以：，，‎ 所以：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎18．某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，‎ ‎（1）请列出X的分布列；‎ ‎（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．‎ ‎【答案】（1）‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．‎ ‎（2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．‎ 解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，‎ 随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．‎ ‎．‎ ‎∴所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎（2）由分布列可知至少选3名男生，‎ 即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=+=．‎ 点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．‎ ‎19．已知椭圆E的右焦点与抛物线的焦点重合，点M在椭圆E上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，直线与椭圆E交于A,B两点，若直线PA,PB均与圆相切，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析: （1）由焦点坐标为,以及椭圆的定义求出方程; （2）设，因为直线PA, PB与圆 相切,所以,将坐标代入化简,联立椭圆与直线,写出韦达定理代入,即可求得k值.‎ 试题解析:解：（Ⅰ） 因为抛物线的焦点坐标为,所以, ‎ ‎ 所以， ‎ ‎ 即.因为，‎ ‎ 所以椭圆E的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 因为直线PA, PB与圆 相切，‎ ‎ 所以， ‎ 即，‎ 通分得，‎ 所以，‎ ‎ 整理，得. ① ‎ 联立得，‎ ‎ 所以， ‎ 代入①，得 .‎ ‎20．设函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明当时，；‎ ‎（Ⅲ）设，证明当时，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为.‎ 所以当时，.‎ 故当时，，，即.‎ ‎（Ⅲ）由题设，设，则，令，‎ 解得.‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减.‎ 由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，.‎ 所以当时，.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性、不等式的证明与解法 ‎【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．‎