专题17 正弦定理和余弦定理及解三角形-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题17 正弦定理和余弦定理及解三角形-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎【高频考点解读】‎ ‎1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 ‎2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等 ‎3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 应用正弦、余弦定理解三角形 例1、【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以，选A.‎ ‎【变式探究】 (1)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b。若2asinB＝b，则角A等于(　　)‎ A.　　　B. C. ‎ ‎ (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC＝________。‎ 答案： （1）A （2） ‎【提分秘籍】解三角形的方法技巧 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。‎ ‎【举一反三】 ‎ 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．120° D．150°‎ 热点题型二 判断三角形的形状 例2、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(‎2c－b)sinC。‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状。‎ 解析：(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(‎2c－b)sinC，得‎2a2＝(2b－c)b＋(‎2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，‎ ‎∴cosA＝＝，∴A＝60°。‎ ‎(2)∵A＋B＋C＝180°，‎ ‎∴B＋C＝180°－60°＝120°。‎ 由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin(120°－B)＝，‎ ‎∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝。‎ ‎∴sinB＋cosB＝，即sin(B＋30°)＝1。‎ ‎∵0°＜B＜120°，∴30°＜B＋30°＜150°。‎ ‎∴B＋30°＝90°，B＝60°。‎ ‎∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形。‎ ‎【提分秘籍】 判断三角形形状的方法技巧 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系。另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响。‎ ‎【举一反三】 ‎ 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎2c2＝‎2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(　　)‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 热点题型三 与三角形面积有关的问题 例3．【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，‎ ‎△ABE中，，，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ 综上可得，△BCD面积为，．‎ ‎【变式探究】在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b。‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积。‎ 解析：(1)由2asinB＝b，得‎2a＝，‎ 又由正弦定理＝，得＝，所以sinA＝，因为A为锐角，所以A＝。‎ ‎(2)由(1)及a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝36，‎ 又b＋c＝8，所以bc＝，由S＝bcsinA，得△ABC的面积为。‎ ‎【提分秘籍】‎ 三角形面积公式的应用原则 ‎(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式。‎ ‎(2)已知三角形的面积解三角形。与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。‎ ‎【举一反三】 ‎ 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A．3 B. C. D．3 解析：由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6　①。‎ 由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab　②。所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6。所以S△ABC＝absin＝×6×＝。‎ 答案：C ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，‎ ‎△ABE中，，，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ 综上可得，△BCD面积为，．‎ ‎2.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ‎ ‎（1）求sinBsinC;‎ ‎（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题设得，即.‎ 由正弦定理得.‎ 故.‎ ‎（2）由题设及（1）得，即.‎ 所以，故.‎ 由题设得，即.‎ 由余弦定理得，即，得.‎ 故△ABC的周长为.‎ ‎3.【2017课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ，a=2,b=2.‎ ‎（1）求c；‎ ‎（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知得 ，所以 .‎ 在 △ABC中，由余弦定理得 ，即 .‎ 解得： (舍去)， .‎ ‎【考点】 余弦定理解三角形；三角形的面积公式 ‎4.【2017天津，理15】在中，内角所对的边分别为.已知，，.‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】 (1) .(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.‎ 由正弦定理,得.‎ 所以，的值为，的值为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以，‎ ‎.故.‎ ‎1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎3.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由余弦定理得,选A.‎ ‎4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 ▲ .‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】，又，因即最小值为8.‎ ‎【2015高考天津，理13】在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，‎ 又，解方程组得，由余弦定理得，所以.‎ ‎【2015高考北京，理12】在中，，，，则 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 . ‎ ‎【答案】（，）‎ ‎【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）‎ 在中，已知.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值 ‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由余弦定理知，，‎ 所以．‎ ‎（2）由正弦定理知，，所以．‎ 因为，所以为锐角，则．‎ 因此．‎ ‎【2015高考湖南，理17】设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）由及正弦定理，得，∴，即，‎ 又B为钝角，因此，故，即；‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，∴，于是 ‎，∵，∴，因此，由此可知的取值范围是.‎ ‎（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：‎ f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差．‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于‎11℃‎，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎【解析】(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.‎ 故实验室这一天的最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎.‎ ‎（2014·江西卷）已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.‎ ‎(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；‎ ‎(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．‎ ‎【解析】(1)f(x)＝sin＋cos＝‎ (sin x＋cos x)－sin x＝cos x－sin x＝sin.‎ 因为x∈[0，π]，所以－x∈，‎ 故f(x)在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1.‎ ‎(2)由得 又θ∈，知cos θ≠0，‎ 所以 解得 ‎（2014·四川卷）已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．‎ ‎【解析】(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋≤x≤＋，k∈Z.‎ 所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，‎ 所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，‎ 得α＝＋2kπ，k∈Z，‎ 此时，cosα－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎ 1.在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的　(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】选A.当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若当A=C≠60°时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分不必要条件.‎ ‎2.在△ABC中，若A=，B=，BC=3，则AC=(　　)‎ A. B. C.2 D.4‎ ‎【解析】选C.由正弦定理可得:=，‎ 即有AC===2.‎ ‎3.在△ABC中，若a2+b2b B.a

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