天津市西青区2020届高三上学期期末考试数学试题

天津市西青区2020届高三上学期期末考试数学试题

天津市西青区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.将正确箸案填在下面的括号内.‎ ‎1.若集合A＝{﹣1,0,1,2,3,5}，集合B＝{2,3,4,5,6,7}，则集合A∩B等于（ ）‎ A. {2} B. {2，3} C. {2，3，5} D. {2，3，5，7}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交运算即可求得结果.‎ ‎【详解】因A＝{﹣1,0,1,2,3,5}，B＝{2,3,4,5,6,7}，‎ ‎∴A∩B＝{2,3,5}．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.‎ ‎2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）2﹣c2，则tanC＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用面积公式，以及余弦定理对已知条件进行转化，再利用同角三角函数关系，将正余弦转化为正切，解方程即可求得.‎ ‎【详解】△ABC中，∵S△ABC，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC，‎ 且 2S＝（a+b）2﹣c2，∴absinC＝（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），‎ 整理得sinC﹣2cosC＝2，∴（sinC﹣2cosC）2＝4．‎ ‎∴4，化简可得 3tan‎2C+4tanC＝0．‎ ‎∵C∈（0，180°），∴tanC，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理以及面积公式的使用，涉及同角三角函数关系，属基础题.‎ ‎3.设，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可．‎ ‎【详解】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，‎ 若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，‎ 故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜‎0”‎的必要不充分条件，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可．‎ ‎4.已知a＝log23﹣log2，b＝log0.5π，c＝0.9﹣1.1，则（　 　）‎ A. c＞a＞b B. a＞b＞c C. a＞c＞b D. b＞c＞a ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将数据与0或者1进行比较，从而区分大小.‎ ‎【详解】∵a＝log2log23∈（，1），‎ b＝log0.5π＜0，‎ c＝0.9﹣1.1＞1．‎ ‎∴c＞a＞b．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查指数式，对数式的比较大小，一般地，我们将数据与0或者1进行比较，从而区分大小.‎ ‎5.正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为，例如＝9，则等于（ ）‎ A. 2018 B. ‎2019 ‎C. 2020 D. 2021‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果.‎ ‎【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时1＝1，‎ 第2行第1列的数为2，此时1＝2，‎ 第3行第1列的数为4，此时1＝4，‎ ‎……‎ 据此分析可得：第64行第1列的数为1＝2017，则＝2020；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理能力，要善于发现数据之间的规律，属基础题.‎ ‎6.双曲线的左右焦点分别为、，渐近线为，点在第一象限内且在上，若则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：分别求得双曲线的两条渐近线的方程，设出点P的坐标，根据直线的斜率公式，求得直线的斜率及直线的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得 的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.‎ 详解：设双曲线渐近线的方程为， 的方程为，‎ 则设点坐标为，‎ 则直线的斜率，直线的斜率，‎ 由，则，即（1）‎ 由，则，解得（2），‎ 联立（1）（2），整理得：，‎ 由双曲线的离心率，‎ 所以双曲线的离心率为2，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要先设出点P的坐标，利用两点斜率坐标公式，将对应的直线的斜率写出，再利用两直线平行垂直的条件，得到的关系，之后借助于双曲线中的关系以及离心率的公式求得结果.‎ ‎7.设函数f（x）＝sin（ωx+φ）cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的图象与直线y＝2的两个相邻的交点之间的距离为π，且f（x）+f（﹣x）＝0，若g（x）＝sin（ωx+φ），则（　 　）‎ A. g（x）在（0，）上单调递增 B. g（x）在 （0，）上单调递减 C. g（x）在（，）上单调递增 D. g（x）在（，）上单调递减 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性和周期性求得参数，再求的单调区间即可.‎ ‎【详解】函数f（x）＝sin（ωx+φ）cos（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ）．‎ 由于函数的图象与直线y＝2的两个相邻的交点之间的距离为π，所以T＝π，解得ω＝2．‎ 由于f（x）+f（﹣x）＝0，所以函数为奇函数．所以φkπ（k∈Z），由于|φ|，‎ 所以当k＝0时，φ．‎ 所以g（x）＝sin（2x）．‎ 令：（k∈Z），‎ 解得：（k∈Z），‎ 当k＝0时，g（x）在（，）上单调递增．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查由三角函数的性质求解三角函数的解析式，以及正弦型三角函数的单调区间.‎ ‎8.已知,是互不相同的正数,且,则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：不妨设，由图像知，所以，选D.‎ 考点：函数图像 ‎【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上.‎ ‎9.已知i为虚数单位，z，则|z|＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过复数的除法，先计算出复数，再计算其模长即可.‎ ‎【详解】∵z，‎ ‎∴|z|．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法以及复数模长的计算，属基础题.‎ ‎10.在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图如图，但是年龄组为的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在的人数为______．‎ ‎【答案】160‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设年龄在的志愿者的频率是，则有，解得，故区间内的人数是.‎ 考点：频率分布直方图.‎ ‎11.在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.‎ ‎【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，‎ 然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生，‎ 故选派的方法为：.‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎12.已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，‎2ACAB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四面体是球的内接四面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算.‎ ‎【详解】设该球的半径为R，则AB＝2R，‎2ACAB2R，‎ ‎∴ACR，‎ 由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2＝AB2﹣AC2＝R2，‎ 所以Rt△ABC面积SBC×ACR2，‎ 又PO⊥平面ABC，且PO＝R，四面体P﹣ABC的体积为，‎ ‎∴VP﹣ABCRR2，即R3＝9，R3＝3，‎ 所以：球的体积V πR3π×34π．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态，从而解决问题.‎ ‎13.已知ab＞0，a+b＝3，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，巧妙配凑出1，使得均值不等式可以使用，再用均值不等式求解最小值.‎ ‎【详解】∵ab＞0，a+b＝3，∴a+2+b+1＝6．‎ 则[（a+2）+（b+1）] ‎ ‎[a2+b2+2ab]，‎ 当且仅当b（b+1）＝a（a+2），a+b＝3，即，a时取等号．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查均值不等式的使用，重点是1的配凑，属基础题.‎ ‎14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，A（1，1），则的取值范围为___‎ ‎【答案】[，]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用向量表示，将问题转化为求解向量夹角范围的问题，即可求解.‎ ‎【详解】因为是单位圆的内接等边三角形，‎ 故=‎ 又因为 故 则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题用用向量求解范围问题，涉及到向量的数量积运算，属基础题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a＝2,c＝3，又知bsinA＝acos（B）．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小、b边的长：‎ ‎（Ⅱ）求sin（‎2A﹣B）的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）B，b；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将已知条件利用余弦的差角公式展开，再利用正弦定理将边化角，整理后得到角，再利用余弦定理，求得边即可；‎ ‎（2）由（1）中所求，结合正弦定理，即可求得，再利用正弦的差角公式以及倍角公式展开代值计算即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵bsinA＝acos（B）．∴bsinA＝a（cosBsinB），‎ ‎∴由正弦定理可得sinBsinA＝sinA（cosBsinB），∵sinA≠0，‎ ‎∴sinBsinA＝sinA（cosBsinB），可得sin（B）＝0，‎ ‎∵B∈（0，π），B∈（，），‎ ‎∴B0，可得B．‎ ‎∵a＝2，c＝3，‎ ‎∴由余弦定理可得 b．‎ ‎（Ⅱ）∵B，a＝2，b．∴由正弦定理，‎ 可得sinA，cosA，‎ sin‎2A＝2sinAcosA，cos‎2A＝2cos‎2A﹣1，‎ ‎∴sin（‎2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB．‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，以及利用正余弦定理解三角形，涉及倍角公式，正余弦和差角公式，属综合性基础题.‎ ‎16.为弘扬中华优秀传统文化，某中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛．比赛规则：每个参赛者回答A、B两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得1分，答错得0分，两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩．小明估计答对A组每道题的概率均为，答对B组每道题的概率均为．‎ ‎（Ⅰ）按此估计求小明A组题得分比B组题得分多1分的概率；‎ ‎（Ⅱ）记小明在比赛中的得分为ξ，按此估计ξ的分布列和数学期望Eξ．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见详解，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分析满足题意的事件，然后分别计算出概率，再用概率加法公式计算即可；‎ ‎（2）先根据题意求得ξ可取的值，再根据题意，分别求出概率，通过分布列计算数学期望即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设小明A组题得1分，B组题得0分为事件M，‎ A组题得2分，B组题得1分为事件N，‎ 则小明A组题得分比B组题得分多1分的概率：‎ P（M∪N）＝P（M）+P（N）‎ ‎ ．‎ ‎（Ⅱ）由题意小明在比赛中的得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4（单位：分）‎ 则P（ξ＝0）＝（1）2（1）2，‎ P（ξ＝1），‎ P（ξ＝2），‎ P（ξ＝3），‎ P（ξ＝4）＝（）2（）2，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Eξ．‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，属基础题；此类题目要认真分析题意，搞清楚每个事件背后的具体情况，是重中之重.‎ ‎17.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4﹣‎2a1，S11＝11b4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和为Tn（n∈N*）．‎ ‎【答案】（Ⅰ）an＝3n﹣2，bn＝2n；（Ⅱ）Tn＝（6n﹣7）•2n+4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，用等差数列和等比数列的基本量解方程，从而计算出数列的公差和公比即可求得通项公式；‎ ‎（2）根据通项公式的特点，选用错位相减法求数列的前项和.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则q＞0．‎ 故2q（1+q）＝12，解得q＝2，‎ 由题意，得，解得．‎ ‎∴an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；bn＝2•2n﹣1＝2n．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an•bn＝（3n﹣2）•2n．‎ ‎∴Tn＝a1b1+a2b2+…+anbn＝1•2+4•22+…+（3n﹣2）•2n，①‎ ‎2Tn＝1•22+4•23+…+（3n﹣5）•2n+（3n﹣2）•2n+1，②‎ ‎①﹣②，得﹣Tn＝1•2+3•22+3•23+…+3•2n﹣（3n﹣2）•2n+1‎ ‎＝2+6•（2++…+2n﹣1）﹣（3n﹣2）•2n+1‎ ‎＝2+6•（3n﹣2）•2n+1‎ ‎＝（10﹣6n）•2n﹣10‎ ‎∴Tn＝（6n﹣10）•2n+10．‎ ‎【点睛】本题考查用基本量求解数列的通项公式，以及错位相减法求解数列的前项和，属基础题.‎ ‎18.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，平面ADE⊥平面CDEF，∠ADE＝60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝4，点G是棱CF上的动点．‎ ‎（Ⅰ）当CG＝3时，求证EG∥平面ABF；‎ ‎（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）若二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值为，求线段CG的长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过证明直线AB∥EG，从而由线线平行推证线面平行；‎ ‎（2）过A作DE垂线AO，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，从而求解线面角的正弦值；‎ ‎（3）由（2）中所建的直角坐标系，根据二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值，求得G点的坐标，即可求得CG的长度.‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：由已知得CG∥DE且CG＝DE，‎ 故四边形CDEG为平行四边形，‎ ‎∴CD∥EG，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴CD∥AB，∴AB∥EG，‎ 又EG⊄平面ABF，AB⊂平面ABF，‎ ‎∴EG∥平面ABF．‎ ‎（Ⅱ）过点A作AO⊥DE交DE于点O，过点O作OK∥CD交CF于点K 由（1）知平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE，AO⊂平面ADE，‎ ‎∴AO⊥平面CDEF，∵CD⊥DE，∴OK⊥DE，以O为原点建立如图的空间直角坐标系，‎ 则D（0，﹣1，0），E（0，2，0），C（3，﹣1，0），‎ F（3，3，0），，D（0，﹣1，0），‎ ‎∴‎ 设平面ABCD的法向量为，‎ 即，令z＝﹣1，则，‎ ‎，‎ ‎∴直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为，‎ ‎（Ⅲ）由题意得，G（3，4λ﹣1，0）．‎ ‎∴，‎ 设平面AEG的法向量为，即，‎ 令y＝3，则，x＝3﹣4λ，‎ ‎∴，‎ 容易得平面AED的法向量为，‎ 故可得，‎ 解得，‎ ‎∴，∴|CG|＝λ|CF|＝4λ，‎ ‎∵|CG|≤4，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及由向量法求解线面角，利用二面角的大小求解线段的长度，属综合性中档题；本题的难点在于坐标系的选择.‎ ‎19.已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P‎2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P‎2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.‎ 试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C方程为.‎ ‎（2）设直线P‎2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.‎ 则，得，不符合题设.‎ 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即 解得.‎ 当且仅当时，，欲使l：，即，‎ 所以l过定点（2，）‎ 点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，求在处的切线方程；‎ ‎（2）令，已知函数有两个极值点，且，求实数的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若存在，使不等式对任意（取值范围内的值）恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导数，计算，由点斜式写出切线方程并整理成一般式；‎ ‎（2）求出，由，可得有两个满足题意的不等实根，由二次方程根的分布可得的范围；‎ ‎（3）由（2）求出两极值点，确定的单调性，得在单调递增，因此题设中使不等式成立，取为最大值，使之成立即可。化简为不等式对任意的恒成立，引入函数，由导数研究此函数的单调性得不等式成立的条件．‎ ‎【详解】解：当时，‎ 时，‎ 在处的切线方程为 化简得：‎ 对函数求导可得，‎ 令，可得 ‎，解得的取值范围为 由，解得 而在上递增，在上递减，在上递增 在单调递增 在上，‎ ‎，使不等式对恒成立 等价于不等式恒成立 即不等式对任意的恒成立 令，则 ‎①当时，在上递减 不合题意 ‎②当时，‎ 若，即时，则在上先递减 时，不能恒成立 若即，则在上单调递增 恒成立 的取值范围为 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的极值，研究不等式恒成立问题．解题关键是问题的转化，如函数有两个极值点，转化为相应方程有两个不等实根，不等式恒成立问题转化为研究函数的最值．对学生的推理论证能力、运算求解能力要求较高，难度很大，属于困难题．‎