2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．‎ ‎1．（5分）如果a＜b＜0，下列不等式成立的是（　　）‎ A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C． D．a2＜b2‎ ‎2．（5分）命题“∃x∈R，x+1＜0”的否定是（　　）‎ A．∃x∈R，x+1≥0 B．∀x∈R，x+1≥0 C．∃x∈R，x+1＞0 D．∀x∈R，x+1＞0‎ ‎3．（5分）曲线的长轴长为（　　）‎ A．8 B．4 C．6 D．3‎ ‎4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a8=13，且S7=35．则a7=（　　）‎ A．11 B．10 C．9 D．8‎ ‎5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（　　）‎ A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4‎ ‎6．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（　　）‎ A． B．7 C．6 D．‎ ‎7．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x﹣y的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，3] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣1，6] D．[﹣6，1]‎ ‎8．（5分）已知数列{an}满足，若{an}的前n项和为，则项数n为（　　）‎ A．2010 B．2011 C．2012 D．2013‎ ‎9．（5分）设集合A={x|ax2﹣ax+1＜0}，若A=∅，则实数a取值的集合是（　　）‎ A．（0，4） B．[0，4） C．（0，4） D．[0，4]‎ ‎10．（5分）已知数列{an}满足，则a2001等于（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎11．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）‎ ‎12．（5分）设a＞b＞c，n∈N，且恒成立，则n的最大值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎　‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡横线上．‎ ‎13．（5分）已知p：1≤x≤2，q：≤0，则p是q的　 　 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写）‎ ‎14．（5分）已知x＞0，y＞0且+=1，则x+y最小值是　 　．‎ ‎15．（5分）已知等差数列{an}、{bn}前n项的和分别是Sn、Tn，若=，则=　 　．‎ ‎16．（5分）如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=　 　．‎ ‎　‎ 三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．‎ ‎（1）求a，b的值．‎ ‎（2）当c∈R时，解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．‎ ‎19．（12分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1Sn，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，试求函数y=（x＞0）的最小值；‎ ‎（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）已知数列{an}满足a1=2，an+1=F（an），求证：是等差数列，并求{an}的通项公式．‎ ‎（2）求的值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A，C上顶点为B，过F，B，C三点作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．‎ ‎（1）若FC是⊙P的直径，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若⊙P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．‎ ‎1．（5分）如果a＜b＜0，下列不等式成立的是（　　）‎ A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C． D．a2＜b2‎ ‎【分析】由a＜b＜0，结合不等式的性质和函数y=在x＜0递减，y=x2在x＜0递减，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：a＜b＜0，‎ 则a﹣b＜0；若c=0，则ac=bc；‎ 由y=在x＜0递减，可得＞；‎ 由y=x2在x＜0递减，可得a2＞b2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查不等式的性质和应用，考查函数的单调性的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）命题“∃x∈R，x+1＜0”的否定是（　　）‎ A．∃x∈R，x+1≥0 B．∀x∈R，x+1≥0 C．∃x∈R，x+1＞0 D．∀x∈R，x+1＞0‎ ‎【分析】特称命题P：∃x∈M，p（x），它的否定￢P：∀x∈M，￢p（x），‎ ‎【解答】解：命题“∃x∈R，x+1＜0”的否定是∀x∈R，x+1≥0；‎ 故选B．‎ ‎【点评】特称命题的否定是全称命题，否定是注意格式的转化．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）曲线的长轴长为（　　）‎ A．8 B．4 C．6 D．3‎ ‎【分析】由方程可知，曲线表示椭圆，且焦点在x轴上，故可解．‎ ‎【解答】解：由题意，a2=16，∴a=4，∴2a=8‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题以椭圆方程为载体，考查椭圆的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a8=13，且S7=35．则a7=（　　）‎ A．11 B．10 C．9 D．8‎ ‎【分析】由等差数列的性质和求和公式可得a4=5，进而可得a4+a7=13，代入可得答案．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得：‎ S7===35，解得a4=5，‎ 又a3+a8=a4+a7=13，故a7=8，‎ 故选D ‎【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（　　）‎ A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4‎ ‎【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．‎ ‎【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2xln2﹣ln2=ln2（），‎ 当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；‎ 同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．‎ 由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．‎ 故选C．‎ ‎【点评】只有p1与P2都是真命题时，p1∧p2才是真命题．只要p1与p2中至少有一个真命题，p1∨p2就是真命题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（　　）‎ A． B．7 C．6 D．‎ ‎【分析】由数列{an}是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．‎ ‎【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；‎ a7a8a9=10⇒a83=10，‎ a52=a2a8，‎ ‎∴，∴，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x﹣y的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，3] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣1，6] D．[﹣6，1]‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围．‎ ‎【解答】解：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，‎ 作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：‎ 平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点B（0，1）时，直线y=2x﹣z的截距最大，‎ 此时z最小，最小值z=0﹣1=﹣1‎ 当直线y=2x﹣z经过点C（3，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．‎ z的最大值为z=2×3=6，．‎ 即﹣1≤z≤6．即[﹣1，6]．‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知数列{an}满足，若{an}的前n项和为，则项数n为（　　）‎ A．2010 B．2011 C．2012 D．2013‎ ‎【分析】=，用裂项相消法求和，可知前2011项之和为，继而得出项数n．‎ ‎【解答】解：=，‎ 则Sn=a1+a2+…+an=1﹣+…+=1﹣，‎ 由题意可得1﹣=，‎ 解得n=2011．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查数列的求和，注意运用数列的求和方法：裂项相消法的运用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）设集合A={x|ax2﹣ax+1＜0}，若A=∅，则实数a取值的集合是（　　）‎ A．（0，4） B．[0，4） C．（0，4） D．[0，4]‎ ‎【分析】需要分类讨论，根据根的判别式即可求出 ‎【解答】解：当a=0时，A=∅，‎ 当时，解得0＜a≤4时，为空集，‎ 综上所述a的取值范围为[0，4]，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了空集的定义以及根的判别式，属于基础题 ‎　‎ ‎10．（5分）已知数列{an}满足，则a2001等于（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【分析】利用数列的递推关系式，求出数列的前几项，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：数列{an}满足，，‎ 可得a2=，a3=，a4=2，‎ 所以数列是周期数列，周期为3，‎ a2001=a666×3+3=a3=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推式，考查了数列的周期性，解答此题的关键在于求出数列的周期，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）‎ ‎【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2‎ ‎．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，‎ ‎∵•=0，‎ ‎∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．‎ 又M点总在椭圆内部，‎ ‎∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．‎ ‎∴e2=＜，∴0＜e＜．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设a＞b＞c，n∈N，且恒成立，则n的最大值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【分析】分离参数n，将不等式恒成立转化为求函数的最值，将函数分离常数将解析式变形为两部分的乘积是定值，利用基本不等式求出最值 ‎【解答】解：∵恒成立 ‎∴恒成立 ‎∴的最小值 ‎∵‎ ‎=2+‎ 得n≤4．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查通过分离参数求函数的最值解决不等式恒成立问题、利用基本不等式求函数的最值要注意满足的条件：一正、二定、三相等 ‎　‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡横线上．‎ ‎13．（5分）已知p：1≤x≤2，q：≤0，则p是q的　必要不充分　 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写）‎ ‎【分析】根据分式不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵≤0，‎ ‎∴1＜x≤2，即q：1＜x≤2，‎ ‎∵p：1≤x≤2，q：1＜x≤2，‎ ‎∴p是q的必要不充分条件，‎ 故答案为：必要不充分 ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知x＞0，y＞0且+=1，则x+y最小值是　9　．‎ ‎【分析】x+y=（x+y）（+）=5+，利用基本不等式即可求得最小值，注意等号取得的条件．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0且+=1，‎ ‎∴x+y=（x+y）（+）=5+≥5+2=9，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴当时，x+y取得最小值9，‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】该题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属基础题，注意使用基本不等式求函数最值的条件：一正、二定、三相等．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知等差数列{an}、{bn}前n项的和分别是Sn、Tn，若=，则=　　．‎ ‎【分析】把转化为求值．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}、{bn}中，由=，得 ‎===．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=　35　．‎ ‎【分析】根据椭圆的对称性知，|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F2|=2a，同理其余两对的和也是2a，又|P4F|=a，由此可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，把椭圆 的长轴AB分成8等份，‎ 过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，‎ 则根据椭圆的对称性知，|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F2|=2a，‎ 同理其余两对的和也是2a，‎ 又|P4F|=a，‎ ‎∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|‎ ‎=7a=35，‎ 故答案为35．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的定义，解题过程中结合图象，数形结合，会使得问题简单化，数形结合是数学中的重要思想．‎ ‎　‎ 三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎【分析】由￢p是￢q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是p的必要不充分条件，即p 是q的充分不必要条件，也就是p⇒q且q推不出p．‎ ‎【解答】解：化简条件p得，A={x|3a＜x＜a，a＜0}，‎ 化简条件q：由x2﹣x﹣6≤0，解得﹣2≤x≤3，由x2+2x﹣8＞0，解得x＞2或x＜﹣4．‎ 可得：B={x|x＜﹣4或x≥﹣2}．‎ 由￢p是￢q的必要不充分条件，可得：p是q的充分不必要条件．‎ ‎∴A⊊B，得或 解得a≤﹣4或﹣≤a＜0．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．‎ ‎（1）求a，b的值．‎ ‎（2）当c∈R时，解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．‎ ‎【分析】（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得1和b是相应方程的两个实数根，由根与系数的关系建立关于a、b的方程组，解之即可得到实数a、b的值．‎ ‎（2）由（1）的结论，所求不等式即x2﹣（c+2）x+2c＜0，再讨论实数c与2的大小关系，即可得到不等式在各种情况下的解集，得到本题答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，‎ 即1、b是方程ax2﹣3x+2=0的两根，‎ 则有，解可得，‎ ‎（2）由（1）的结论，a=1，b=2；‎ 原不等式即x2﹣（c+2）x+2c＜0；即（x﹣2）（x﹣c）＜0，‎ 方程x2﹣（c+2）x+2c=0有两根，2和c，‎ 当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，‎ 当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，‎ 当c=2时，不等式的解集为∅．‎ 综合可得：当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，‎ 当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，‎ 当c=2时，不等式的解集为∅．‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式的解法，涉及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，关键是求出a、b的值．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1Sn，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用已知条件和递推关系式求出数列的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，直接利用乘公比错位相减法求出数列的和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）令n=1，得，‎ 即，‎ ‎∵a1≠0，‎ ‎∴a1=1，‎ 令n=2，得2a2﹣1=1+a2，‎ 解得：a2=2．‎ 当n≥2时，‎ 由2an﹣1=Sn①，‎ ‎2an﹣1﹣1=Sn﹣1②，‎ ‎①﹣②得：2an﹣2an﹣1=an，‎ 即：an=2an﹣1，‎ ‎∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴数列的通项公式为：．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，‎ 所以：，‎ 则：n•2n﹣1①，‎ n•2n②‎ ‎①﹣②得：﹣Tn=（1+21+…+2n﹣1）﹣n•2n，‎ 解得：．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，试求函数y=（x＞0）的最小值；‎ ‎（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由y===x﹣4．利用基本不等式即可求得函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）由题意可得不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在[0，2]恒成立”．不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意得y===x﹣4．‎ 因为x＞0，所以x，当且仅当x=时，即x=1时，等号成立．‎ 所以y≥﹣2．‎ 所以当x=1时，y=的最小值为﹣2．…（6分）‎ ‎（Ⅱ）因为f（x）﹣a=x2﹣2ax﹣1，所以要使得“∀x∈[0，2]，‎ 不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在[0，2]恒成立”．‎ 不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．‎ 因为g（x）=x2﹣2ax﹣1=（x﹣a）2﹣1﹣a2，‎ 所以即，解得a≥．‎ 所以a的取值范围是[，+∞）． …（13分）‎ ‎【点评】本题主要考查函数的最值即恒成立问题的划归转化等知识，考查学生的运算求解能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）已知数列{an}满足a1=2，an+1=F（an），求证：是等差数列，并求{an}的通项公式．‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【分析】（1）利用数列与函数的关系式，推出递推关系式，然后利用等差数列的定义求解即可．‎ ‎（2）通过求解F（a）+F（1﹣a）=3，利用倒序相加法，求解数列表达式的和即可．‎ ‎【解答】解：（1）．由an+1=F（an），两边同减去1，得an+1﹣1==．‎ 所以=2+，‎ 即：是以2为公差，=1为首项的等差数列，‎ 所以=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，‎ ‎∴an=.6’‎ ‎（2）．F（a）+F（1﹣a）==3，‎ 设S=，①‎ 则S=F（）+F（）+F（）+…+F（）．②‎ ‎①+②得2S=2010×=2010×3=6030，‎ 所以S=3015.12’‎ ‎【点评】本题考查数列与函数的应用，数列的递推关系式以及数列求和，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A，C上顶点为B，过F，B，C三点作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．‎ ‎（1）若FC是⊙P的直径，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若⊙P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆的方程知a=1，点B（0，b），C（1，0），设F的坐标为（﹣c，0），由FC是⊙P的直径，知FB⊥BC．由，知b2=c=1﹣c2，c2+c﹣1=0．由此能求出椭圆的离心率．‎ ‎（2）由P过点F，B，C三点，知圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为．由BC的中点为，kBC=﹣b，知BC的垂直平分线方程为，所以．由P（m，n）在直线x+y=0上，知b=c．由此能求出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆的方程知a=1，∴点B（0，b），C（1，0），‎ 设F的坐标为（﹣c，0），（1分）‎ ‎∵FC是⊙P的直径，‎ ‎∴FB⊥BC ‎∵‎ ‎∴（2分）‎ ‎∴b2=c=1﹣c2，c2+c﹣1=0（3分）‎ 解得（5分）‎ ‎∴椭圆的离心率（6分）‎ ‎（2）解：∵⊙P过点F，B，C三点，‎ ‎∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，‎ FC的垂直平分线方程为①（7分）‎ ‎∵BC的中点为，kBC=﹣b ‎∴BC的垂直平分线方程为②（9分）‎ 由①②得，‎ 即（11分）‎ ‎∵P（m，n）在直线x+y=0上，‎ ‎∴⇒（1+b）（b﹣c）=0‎ ‎∵1+b＞0‎ ‎∴b=c（13分）‎ 由b2=1﹣c2得 ‎∴椭圆的方程为x2+2y2=1（14分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．‎ ‎　‎