【数学】2019届一轮复习人教B版 由“导”寻“源”，破解函数不等式问题学案
压轴题命题区间(二)函数与导数
增分点 由“导”寻“源”，破解函数不等式问题
在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数与导数交汇的重要题型，这类问题由于比较抽象，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍．实际上，根据所解不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法．
[典例] (2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
[思路点拨]
观察xf′(x)－f(x)<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，尝试构造函数F(x)＝求解．
[方法演示]
法一：构造抽象函数求解
设F(x)＝.因为f(x)是奇函数，故F(x)是偶函数，F′(x)＝，易知当x>0时，F′(x)<0，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(－1)＝0，则f(1)＝0，于是F(－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x与F(x)的符号相同的区间，易知当x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)>0，故选A.
法二：构造具体函数求解
设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1整除．因此可取f(x)＝x－x3，检验知f(x)满足题设条件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
答案：A
[解题师说]
抽象函数的导数问题在高考中常考常新，可谓变化多端，解决此类问题的关键是构造函数，常见的构造函数方法有如下几种：
(1)利用和、差函数求导法则构造函数
①对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；
②对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；
特别地，对于不等式f′(x)>k(或
0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；
②对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)．
(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数
①对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；
②对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；
③对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xnf(x)；
④对于不等式xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；
⑤对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝exf(x)；
⑥对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝；
⑦对于不等式f(x)＋f′(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝sin xf(x)；
⑧对于不等式f(x)－f′(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝(sin x≠0)；
⑨对于不等式f′(x)－f(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝cos xf(x)；
⑩对于不等式f′(x)＋f(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝(cos x≠0)．
⑪(理)对于不等式f′(x)＋kf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝ekxf(x)；
⑫(理)对于不等式f′(x)－kf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝；
[应用体验]
1．定义在R上的函数f(x)，满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lg x)>的解集为__________．
解析：构造函数g(x)＝f(x)－，
则g′(x)＝f′(x)－<0，
∴g(x)在定义域上是减函数．
又g(1)＝f(1)－1＝0，
∴原不等式可化为g(lg x)>g(1)，
∴lg x<1，解得01的解集为( )
A．(－3，－2)∪(2,3)
B．(－，)
C．(2,3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：选A 由y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f(－2)＝1，f(3)＝1，∴f(x2－6)>1可化为－2(x－1)f(x2－1)的解集为( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
解析：选D 因为f(x)＋xf′(x)<0，所以[xf(x)]′<0，故xf(x)在(0，＋∞
)上为单调递减函数，又(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以x＋12.
3．(2018·沈阳质检)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)0时，xf′(x)＋2f(x)>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，则g(x)也是偶函数，所以g(x)＝g(|x|)，由g(x)0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：选D 设F(x)＝f(x)g(x)，当x<0时，
∵F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
∴F(x)在(－∞，0)上为增函数．
又∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，
故F(x)为R上的奇函数．
∴F(x)在(0，＋∞)上也为增函数．
由g(－3)＝0，
得F(－3)＝F(3)＝0.
画出函数F(x)的大致图象如图所示，
∴F(x)<0的解集为{x|x<－3或00，f(x)≥0.
∴f′(x)≤－，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
又0x2，则下面的不等式在R上恒成立的是( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)>x D．f(x)0时，g′(x)>0，∴g(x)>g(0)，
即x2f(x)－x4>0，从而f(x)>x2>0；
当x<0时，g′(x)<0，∴g(x)>g(0)，
即x2f(x)－x4>0，从而f(x)>x2>0；
当x＝0时，由题意可得2f(0)>0，∴f(0)>0.
综上可知，f(x)>0.
法二：∵2f(x)＋xf′(x)>x2，
令x＝0，则f(0)>0，故可排除B、D.
如果f(x)＝x2＋0.1，已知条件2f(x)＋xf′(x)>x2成立，但f(x)>x不恒成立，故排除C，选A.
7．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则不等式f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析：选B 令m(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则m′(x)＝f′(x)－2>0，
∴函数m(x)在R上为单调递增函数．
又∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，
∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，
即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
8．设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)上可导，且f′(x)g(x)
B．f(x)g(x)＋f(b)，故选项C正确．
9．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(－2)＝0，且x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，则不等式xf(x)≥0的解集是( )
A．[－2,0] B．[0,2]
C．[－2,2] D．[－2,0]∪[2，＋∞)
解析：选D 因为x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，故构造函数y＝xf(x)，则该函数在(0，＋∞)上单调递增．
又因为f(x)为偶函数，故y＝xf(x)为奇函数．
结合f(－2)＝0，画出函数y＝xf(x)的大致图象如图所示．
所以不等式xf(x)≥0的解集为[－2,0]∪[2，＋∞)．
10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝0，且x<0时，xf′(x)f′(x)对任意x∈R都成立，则下列不等式中成立的是( )
A．f(2 018)>e2 018f(0)，f(2 018)>ef(2 017)
B．f(2 018)>e2 018f(0)，f(2 018)ef(2 017)
D．f(2 018)f′(x)，得f′(x)－f(x)<0，
所以g′(x)＝＝<0，
即函数g(x)＝在R上单调递减．
所以<<，
即有f(2 018)k>1，则下列结论中一定错误的是( )
A．f< B．f>
C．f< D．f>
解析：选C 令g(x)＝f(x)－kx＋1，
则g(0)＝f(0)＋1＝0，
g＝f－k·＋1
＝f－.
∵g′(x)＝f′(x)－k>0，
∴g(x)在[0，＋∞)上为增函数．
又∵k>1，∴>0，
∴g>g(0)＝0，
∴f－>0，
即f>.
二、填空题
13．设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)＋xf′(x)>0，则不等式f()>f()的解集为________．
解析：令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，∴g(x)是R上的增函数．又f()>f()可等价转化为f()>f()，即g()>g()，所以解得1≤x<2，∴原不等式的解集为{x|1≤x<2}．
答案：[1,2)
14．设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 018)2·f(x＋2 018)－4f(－2)>0的解集为________．
解析：令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)．
结合条件2f(x)＋xf′(x)>x2，将条件两边同时乘以x，
得2xf(x)＋x2f′(x)0，
即g(x＋2 018)>g(－2)，
得x＋2 018<－2，解得x<－2 020，
∴原不等式的解集为(－∞，－2 020)．
答案：(－∞，－2 020)
15．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)0，
故原不等式的解集为{x|x>0}．
答案：(0，＋∞)
16．设f(x)是R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x>0时，(x2＋1)f′(x)－2xf(x)<0，则不等式f(x)>0的解集为______．
解析：令g(x)＝，则g′(x)＝.因为当x>0时，(x2＋1)f′(x)－2xf(x)<0，
所以g′(x)<0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递减．
又f(x)＝g(x)(x2＋1)，
所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
又f(x)是R上的奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝0.
当x>0时，f(x)>0＝f(1)⇒00＝f(－1)⇒x<－1.
综上，可得不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
答案：(－∞，－1)∪(0,1)
