【数学】2020届一轮复习人教B版坐标系与参数方程学案

【数学】2020届一轮复习人教B版坐标系与参数方程学案

‎　 ‎1．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：‎ ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos θ；‎ ‎(3)当圆心位于M(a，)，半径为a：ρ＝2asin θ.‎ ‎2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；‎ ‎(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过点M(b，)且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化方法 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎【解析】　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程的一般思路 曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．‎ ‎(2)解决极坐标问题的一般思路 一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．　 ‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝(ρ≥0，0≤θ<2π)．‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．‎ ‎【解析】：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，‎ 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，‎ 即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得解得 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．‎ ‎2．(2019·福建质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：θ＝(ρ>0)，A(2，0‎ ‎)．‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△APQ的面积．‎ ‎【解析】：(1)C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，‎ 即x2＋y2－4x＝0，‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.‎ ‎(2)法一：依题意，设点P，Q的极坐标分别为(ρ1，)，(ρ2，)．‎ 将θ＝代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝2，‎ 将θ＝代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，‎ 所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2－1，‎ 依题意，点A(2，0)到曲线θ＝(ρ>0)的距离 d＝|OA|sin ＝1.‎ 所以S△APQ＝|PQ|·d＝×(2－1)×1＝－.‎ 法二：依题意，设点P，Q的极坐标分别为(ρ1，)，(ρ2，)．‎ 将θ＝代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝2，即|OP|＝2，‎ 将θ＝代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，即|OQ|＝1，‎ 因为A(2，0)，所以∠POA＝，‎ 所以S△APQ＝S△OPA－S△OQA＝|OA||OP|sin－|OA||OQ|sin ‎＝×2×2×－×2×1×＝－.‎ 参数方程及其应用 ‎1．直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．‎ 设P是直线上的任意一点，则t表示有向线段的长度． ‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点P(1，0)．若点M的极坐标为(1，)，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．‎ ‎【解析】：(1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 所以直线l的普通方程为y＝tan α·(x－1)．‎ 由ρcos2θ－4sin θ＝0得ρ2cos2θ－4ρsin θ＝0，‎ 即x2－4y＝0.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.‎ ‎(2)因为点M的极坐标为(1，)，‎ 所以点M的直角坐标为(0，1)．‎ 所以tan α＝－1，直线l的倾斜角α＝.‎ 所以直线l的参数方程为 (t为参数)．‎ 代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.‎ 因为Q为线段AB的中点，‎ 所以点Q对应的参数值为＝＝3.‎ 又点P(1，0)，则|PQ|＝||＝3.‎ ‎2．(2019·成都第二次诊断性检测)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈(，π)．‎ ‎(1)求θ的值；‎ ‎(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．‎ ‎【解析】：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.‎ 由ρ＝2，得sin θ＝，‎ 因为θ∈(，π)，所以θ＝.‎ ‎(2)由题易知，直线l的普通方程为x＋y－4＝0，‎ 所以直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.‎ 又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，‎ 联立，‎ 解得ρ＝4.‎ 所以点B的极坐标为(4，)，‎ 所以|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.‎ 课时作业 ‎1．(2019·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为(3，)，半径为1的圆．‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程，C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．‎ ‎【解析】：(1)消去参数φ可得C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 曲线C2的圆心的直角坐标为(0，3)，‎ 所以C2的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝1.‎ ‎(2)设M(2cos φ，sin φ)，曲线C2的圆心为C2(0，3)，‎ 则|MC2|＝＝ ‎＝＝.‎ 因为－1≤sin φ≤1，‎ 所以|MC2|min＝2，|MC2|max＝4.‎ 根据题意可得|MN|min＝2－1＝1，‎ ‎|MN|max＝4＋1＝5，‎ 即|MN|的取值范围是[1，5]．‎ ‎2．(2019·合肥模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值．‎ ‎【解析】：(1)由ρ＝4cos θ，得(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)将代入圆的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化简得t2－2tcos α－3＝0.‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，‎ 则，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ 所以4cos2α＝2，故cos α＝±，即α＝或.‎ ‎3．(2019·广东五校协作体第一次诊断考试)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝4.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到曲线C2上点的距离的最小值．‎ ‎4．(2019.贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积．‎ 解：(1)由得C1的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝9.‎ 由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，‎ 将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1C2上时，|AB|取得最小值，‎ 由(1)得C1(4，5)，C2(0，1)，‎ 所以kC1C2＝＝1，则直线C1C2的方程为x－y＋1＝0，‎ 所以点O到直线C1C2的距离d＝＝，‎ 又|AB|＝|C1C2|－1－3＝－4＝4－4，　‎ 所以S△AOB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－. ‎ ‎5．(2019·南昌一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．‎ 以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．‎ ‎【解析】：(1)因为曲线C1的参数方程为，‎ 所以其普通方程为x－y－a＋1＝0.‎ 因为曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，‎ 所以ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，‎ 所以x2＋4x－x2－y2＝0，‎ 即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，‎ 由 得2t2－2t＋1－4a＝0.‎ Δ＝(2)2－4×2(1－4a)>0，‎ 即a>0，由根与系数的关系得.‎ 根据参数方程的几何意义可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|，　‎ 又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|，‎ 即t1＝2t2或t1＝－2t2.‎ 所以当t1＝2t2时，有，‎ 解得a＝>0，符合题意．‎ 当t1＝－2t2时，有，‎ 解得a＝>0，符合题意．‎ 综上所述，实数a的值为或.‎ ‎6．(2019·福州综合质量检测)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，其左焦点F在直线l上．‎ ‎(1)若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；‎ ‎(2)求椭圆C的内接矩形周长的最大值． ‎ ‎【解析】：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12化为直角坐标方程，得＋＝1，则其左焦点F(－2，0)，则m＝－2.将直线l的参数方程(t为参数)与曲线C的方程＋＝1联立，化简可得t2－2t－2＝0，‎ 由直线l的参数方程的几何意义，令|FA|＝|t1|，|FB|＝|t2|，则|FA|·|FB|＝|t1t2|＝2.‎ ‎(2)由曲线C的方程＋＝1，可设曲线C上的任意一点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)(0＜θ＜)，‎ 则以P为顶点的内接矩形的周长为4×(2cos θ＋2sin θ)＝16sin(θ＋)，‎ 因此当θ＝时，可得该内接矩形周长的最大值为16.‎