2018-2019学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中高二下学期优生联考数学（理科）试题 解析版

2018-2019学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中高二下学期优生联考数学（理科）试题 解析版

绝密★启用前 湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中2018-2019学年高二下学期优生联考数学（理科)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(　　)‎ A． B． C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用复数的模及除法运算，整理(3-4i)z=|4+3i|即可得解。‎ ‎【详解】‎ 设，由(3-4i)z=|4+3i|得：‎ ‎，‎ 整理得：，‎ 所以z的虚部为：，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的模及除法运算，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2．已知f(x)满足对任意x∈R,f(-x)+f(x)=0,且当x≥0时,f(x)=(m为常数),则 f(-ln 5)的值为( )‎ A．-4 B．4 C．6 D．-6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f(-x)+f(x)=0求得，结合x≥0时,f(x)=可得：‎ 利用整理计算即可解决问题。‎ ‎【详解】‎ 因为f(x)满足对任意x∈R,f(-x)+f(x)=0,令，解得：，‎ 即：，解得：，‎ 所以当x≥0时,f(x)=‎ 又 f(-ln 5)=.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了方程思想及转化思想，还考查了赋值法，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件、80件、60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则 (   )‎ A．9 B．13 C．12 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分层抽样方法中对应比例相等列方程即可求解 ‎【详解】‎ 由分层抽样方法列方程得：，‎ 解得：，‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样方法的特点及比例关系，属于基础题。‎ ‎4．若变量满足不等式组，且的最大值为7，则实数的值为 A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出直线， ，再作直线，而向下平移直线时， 增大，而直线的斜率为1，因此直线过直线与的交点时， 取得最大值，由得，所以，故选A．‎ ‎5．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的 ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 阅读流程图，初始化数值. ‎ 循环结果执行如下：‎ 第一次：；‎ 第二次：；‎ 第三次：；‎ 第四次：；‎ 第五次：；‎ 第六次：；‎ 结束循环，输出.故选B.‎ 点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.‎ ‎6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的几何特征，该几何体是一个四棱锥其底面是一个对角线为2的正方形，面积S=,高为1,则体积V=，故选C.‎ 考点：本题考查的知识点是由三视图求体积.‎ 点评：根据已知中的三视图判断该物体是一个底面为对角为2的正方形，高为1的四棱锥是解答本题的关键.‎ ‎7．已知向量的夹角为,,与共线,则的最小值为(   )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在直角坐标系中，根据向量加法作图，‎ 由图形特征即可求得的最小值。‎ ‎【详解】‎ 如图，设，，‎ 以为邻边构造平行四边形,则=，‎ 又与共线，在直线OC上取一点D，设，‎ 以为邻边构造平行四边形,则,‎ 点E在过点A且平行于OD的直线上运动，‎ 由图可得：当时，即点在点处，最小，‎ 因为向量的夹角为且，所以，解得：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的加法运算及向量共线知识，考查转化能力及计算能力，属于中档题。‎ ‎8．若实数， 满足， ，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】构造函数 ，故函数在上单调递增，即由“” 可得到“”,反之，由“”亦可得到“”‎ 选C ‎9． 下列推理是归纳推理的是 A．已知为定点，动点满足，得动点的轨迹为椭圆 B．由求出，猜想出数列的前项和的表达式 C．由圆的面积为，猜想出椭圆的面积为 D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用演绎推理、归纳推理和类比推理的定义判断.‎ 详解：选项A,是演绎推理；选项B是归纳推理；选项C和D是类比推理，‎ 故答案为：B.‎ 点睛：本题主要考查演绎推理、归纳推理和类比推理的定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.‎ ‎10．已知点为抛物线上的动点,点在轴上的射影是,点坐标为,则 的最小值是(    )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作图：‎ 将转化成，利用图形特征即可得解 ‎【详解】‎ 如图，根据题意作出抛物线及点A，抛物线的准线：，焦点 由图可得：=,‎ 又，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线的定义，考查了转化思想及计算能力，属于基础题。‎ ‎11．已知,分别是双曲线 的左、右焦点, 为双曲线右支上的一点,且=4,则双曲线的离心率e的最大值是(    )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则，由双曲线定义列方程即可求得：，‎ ‎，结合三角形两边之和大于第三边即可解决问题。‎ ‎【详解】‎ 依题意作出如下图像：‎ 令，则，由双曲线定义得：，‎ 所以，所以，，‎ 在三角形中，,‎ 所以，当且仅当三点共线时等号成立，‎ 整理得：，‎ 所以双曲线的离心率e的最大值是，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的定义及三角形中的结论，考查方程思想，属于基础题。‎ ‎12．已知函数，，，若，，使得成立，则的最小值为（ ）‎ A．-5 B．-4 C． D．-3‎ ‎【答案】A ‎【解析】,则当时，,当时，,,,作函数的图像如图所示，当时，方程两根分别为和，则的最小值为.‎ 点晴:本题考查函数导数与单调性,任意性与存在性问题，可利用数形结合的办法解决，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.对于方程的有解，恒成立问题以及可转化为有解、恒成立问题的问题，注意利用数形结合的数学思想方法.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13． 若sin()=,则sin= ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】略 ‎14．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，解得或，∴曲线及直线的交点为和因此，曲线及直线所围成的封闭图形的面积是，故答案为.‎ 点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．‎ ‎15．半径为1的球O内有一个内接正三棱柱,当正三棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是__________.‎ ‎【答案】4π-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正三棱柱底面边长为，高为，利用它内接于半径为1的球O得，利用基本不等式得：取得最大值为，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 设正三棱柱底面边长为，高为，‎ 因为正三棱柱内接于半径为1的球O内，所以，‎ 正三棱柱的侧面积为：，由得：‎ 当且仅当时，取得最大值为，此时，‎ 所以球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三棱柱的内接球知识，考查了基本不等式的应用及球面积、柱体侧面积计算，属于中档题。‎ ‎16．若方程有且仅有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则方程有6解等价有6解,判断的单调性得出的根的分布情况，得出方程的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 令，则，‎ 当或时，，当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 当时，取得极大值， ‎ 又时，时，，‎ 作出的函数图象如图所示，‎ 令，由图象可知，当时，方程有3解，‎ 当或时，方程有1解， ‎ 当时，方程有2解，当时，方程无解，‎ 方程有6个解，‎ 即有6个解，‎ 关于的方程在有2个解，‎ ‎，解得，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数f(x)与函数g(x)的图像关于原点对称，且f(x)= +2x, 若函数F（x)=g(x)-f(x)+1在区间上是增函数，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（-，0]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数f(x)与函数g(x)的图像关于原点对称，且f(x)= +2x即可求得g(x)=-+2x，从而求得：F（x)=-(1+)+2(1-)x+1，对的范围分类即可求得使F（x)在区间上是增函数的实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，g(x)=-f（-x)=-+2x,则F（x)=-(1+)+2(1-)x+1.‎ 当1+=0，即=-1时，F（x)=4x+1在区间上是增函数,从而=-1；‎ 当1+〉0，即〉-1时，若F（x)在区间上是增函数,则，解得-1< 0;‎ 当1+< 0，即<-1时，若F（x)在区间上是增函数,则显然成立，从而<-1;‎ 综上所述，实数的取值范围为（-，0]。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数图像的对称性及二次函数在某区间的单调性问题，考查了分类思想及二次函数的性质，属于基础题。‎ ‎18．在锐角中, 分别为角所对的边,且.‎ ‎(1).确定角的大小;‎ ‎(2).若,且的面积为,求的值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1).由整理得：，问题得解。‎ ‎(2)由的面积为列方程求得，由余弦定理得，从而求得 ‎，问题得解。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由及正弦定理得, ‎ ‎∵,∴‎ ‎∵是锐角三角形,∴‎ ‎(2)解法1:∵,,由面积公式得即,①‎ 由余弦定理得即,②‎ 由②变形得,故;‎ 解法2:前同解法1,联立①、②得 ‎ 消去并整理得,解得或,‎ 所以或,故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎19．已知等比数列中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)记＝log2，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1)=2n;(2)2＋(n－1)·2n＋1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的公比，结合等差中项列式，最后解出公比即可求得通项；‎ ‎（2）将数列的通项公式代入表达式，可求出，利用错位相减的方法求出.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设数列{an}的公比为q，‎ 由题意知：2(a3＋2)＝a2＋a4，‎ ‎∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.‎ ‎∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n.‎ ‎(2)bn＝n·2n，‎ ‎∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.①‎ ‎2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②‎ ‎①－②得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1‎ ‎＝－2－(n－1)·2n＋1.‎ ‎∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列与等差中项的性质以及错位相减法求和，当数列通项公式为等差乘等比的形式时，一般采用错位相减法即可.‎ ‎20．如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC, PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.‎ ‎(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值.‎ ‎(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值 ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由异面直线所成角的概念即可判断就是它们的一个夹角，求的余弦值即可.‎ ‎(2)过点D作AB的平行线交BC于点F，证明PD⊥平面PBC，从而可得∠DFP为直线DF和平面PBC所成角的一个平面角，解三角形PDF即可解决问题。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为AD∥BC,所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角,‎ 因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD,‎ 在Rt△PDA中,,‎ 所以,cos∠DAP,‎ 所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为 .‎ ‎(2)过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.‎ 因为AD⊥平面PDC,AD∥BC，所以BC⊥平面PDC，‎ 所以BC⊥PD，又PD⊥PB 所以PD⊥平面PBC,‎ 故PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.‎ 由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知得：CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,‎ 在Rt△DCF中,可得.‎ 在Rt△DPF中,sin∠DFP=.‎ 所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直线所成的角及线面角知识，关键是找到对应的平面角，解三角形即可，考查了空间思维能力及转化能力，属于基础题。‎ ‎21．已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.‎ 试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.‎ 则，得，不符合题设.‎ 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时，，欲使l：，即，‎ 所以l过定点（2，）‎ 点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.‎ ‎22．已知函数．‎ 若在定义域上不单调，求a的取值范围；‎ 设，m，n分别是的极大值和极小值，且，求S的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：由已知，‎ ‎(1)①若在定义域上单调递增，讨论可得；②若在定义域上单调递减，讨论可得.据此可得.‎ ‎(2)由(1)知，.令的两根分别为，设，则，计算可得 令，换元讨论可得.‎ 详解：由已知，‎ ‎(1)①若在定义域上单调递增，则，即在(0，+∞)上恒成立，‎ 而，所以；‎ ‎②若在定义域上单调递减，则，即在(0，+∞)上恒成立，‎ 而，所以.‎ 因为在定义域上不单调，所以，即.‎ ‎(2)由(1)知，欲使在(0，+∞)有极大值和极小值，必须.‎ 又，所以.‎ 令的两根分别为，‎ 即的两根分别为，于是.‎ 不妨设，‎ 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 令，于是.‎ ‎，‎ 由，得.‎ 因为，‎ 所以在上为减函数.‎ 所以.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎